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1、平面与平面垂直的平面与平面垂直的判定和性质判定和性质一、二面角的定义：一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：二、二面角的表示方法：三、三、二面角的平面角二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：五、二面角的计算：二二面面角角 AB 二二面面角角CAB D二二面面角角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂直作出来直作出来3、借助三垂线定理或、借助三垂线定理或其逆定理作出来其逆定理作出来1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2、证明、证明1中的角就是所求的中的角就是所求的角角3、计算所求的角、计算
2、所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。221、二面角的平面角、二面角的平面角必须满足三个条件必须满足三个条件2、二面角的平面角、二面角的平面角的大小与的大小与其顶点其顶点在棱上的位置无关在棱上的位置无关3、二面角的大小用、二面角的大小用它的平面角的大它的平面角的大小来度量小来度量一、两个平面垂直的定义一、两个平面垂直的定义 情境问题情境问题 （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满
3、足怎样的位）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？置呢？（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？地面又应该满足怎样的位置关系呢？容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜（3）我们怎样用所学知识去描述）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜墙面不倾斜”这一事实呢这一事实呢？探索研究探索研究1平面与平面垂直的定义平面
4、与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直说这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建提出问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？筑中的一面墙和地面是否垂直呢？二、两个平面垂直的判定定理二、两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直面互相垂直已知：AB，AB（图1）求证：。证明：设=CD=CD， ABAB，
5、CDCD，ABCDABCD 在平面内过点B B作直线BECDBECD，则ABEABE是二面角-CD-CD-的平面角， 而ABBEABBE，故，故-CD-CD-是直二面角 。三、两个平面垂直的性质定理三、两个平面垂直的性质定理 情境问题情境问题 ：为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直当书将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？ 探索研究探索研究：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于如果两个
6、平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？由物理学原理知，它会倒塌由物理学原理知，它会倒塌三、两个平面垂直的性质定理三、两个平面垂直的性质定理如图如图2，AB，ABCD，=CD，求证：，求证：AB。分析分析在在内作内作BECD。要证。要证AB，只需证，只需证AB垂直于垂直于内的两条相交直线就行。内的两条相交直线就行。而我们已经有而我们已经有ABCD，只需寻求另一，只需寻求另一条就够了。条就够了。而我们还有而我们还有这个条件没使用，由这个条件没使用，由定义，则定义，则ABE为直角，即有为直角，即有ABBE，也就有，也就有AB，问
7、题也就得到解决问题也就得到解决四、两个平面垂直的性质四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理1如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面线的直线垂直于另一个平面两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理2如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内于第二个平面的直线，在第一个平面内五、两个平面垂直应用举例五、两个平面垂直应用举例例题例题 如图如图4 4，ABAB是是O的直径，点的直径，点C C是是O上的动点，过动
8、上的动点，过动点点C C的直线的直线VCVC垂直于垂直于O所在平面，所在平面，D D、E E分别是分别是VAVA、VCVC的中点，的中点，直线直线 DEDE与平面与平面VBCVBC有什么关系？试说明理由有什么关系？试说明理由解：由VC垂直于O所在平面，知VCAC，VCBC，即 ACB是二面角A-VC-B的平面角由ACB是直径上的圆周角，知 ACB =90。因此，平面 VAC平面VBC由DE是VAC两边中点连线，知 DEAC，故DEAC由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。注意：本题也可以先推出注意：本题也可以先推出ACAC垂直于平面垂直于平面VBCVBC，再由，再由DEDEAC
9、AC，推出上面的结论。推出上面的结论。总结提炼总结提炼 课本第37页上的例2也可以当作面面垂直的一条性质定理 在解题时注意应用 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的1给出下列四个命题：给出下列四个命题：垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一个平面的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行其中正确的命题的个数是（其中正确的命题的个数是（）A1
10、B2C3D4六、两个平面垂直课堂练习六、两个平面垂直课堂练习B2给出下列四个命题：（其中给出下列四个命题：（其中a，b表直线，表直线，表平面）。表平面）。若若ab，a，则，则b；若若a，则，则a；若若，则，则；若若，a，则，则a。其中不正确的命题的个数是（其中不正确的命题的个数是（）A1B2C3D4D3在二面角在二面角-l-l-的一个面的一个面内有一条直线内有一条直线AB，若，若AB与棱与棱l的夹角为的夹角为45，AB与平面与平面所成的角为所成的角为30，则此二面角的大小是（，则此二面角的大小是（）A.A.30，B.B.30或或150，C.C.45，D.D.45或或135。如图，过如图，过A点
11、作点作AO于于O，在，在内作内作AC垂直棱于垂直棱于C，连，连OB、OC，则，则ABC=45，ABO=30，ACO就是所求二面角的平就是所求二面角的平面角。面角。设设AB=a,则则AC=，AO=则则sinACO=ACO=45六、两个平面垂直课堂练习六、两个平面垂直课堂练习ABOCD4线段线段AB长为长为2a，两端点，两端点A，B分别在一个直二面角的两个面内，分别在一个直二面角的两个面内，且且AB与两个面所成的角分别为与两个面所成的角分别为30和和45，设，设A，B两点在棱上的射两点在棱上的射影分别为影分别为A，B，则，则AB长等于（长等于（）AABBC提示：利用直线与平面所成用的定义和垂直关系得：BAB=30，ABA=45在RtBBA中，BB=AB/2=a，在在RtBBA中，中，在RtBAA中作业：P39页，8，9题
