《微积分课件：ch4_7 二阶常系数线性微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分课件：ch4_7 二阶常系数线性微分方程（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节第七节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程本节要点本节要点一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性微分方程的应用三、二阶常系数非齐次线性微分方程的应用一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程 在在上节的上节的方程方程中中, 如果如果 都是常数都是常数, 即方即方则则称称为为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程. 在在上一节的上一节的讨论中看到讨论中看到, 如能求出如能求出的两个线性无关的两个线性无关程可写成程可写成解解 则可得到方程则可
2、得到方程的通解的通解. 我们看到我们看到, 当当 为常数时为常数时, 指数函数指数函数 及其各阶及其各阶 对函数对函数 求一阶及二阶导数求一阶及二阶导数, 得到得到将将上式代入到上式代入到式式, 得到得到由于由于 由此得到由此得到导数都只相差一个常数导数都只相差一个常数. 由此我们考虑方程由此我们考虑方程是否具有是否具有这种形式的解这种形式的解.此此说明只要说明只要 是是的根的根, 则函数则函数 就是微分方程就是微分方程由由 不同取值不同取值, 可得到方程可得到方程的三种不同形式的三种不同形式的的的解的解. 因此我们称代数方程因此我们称代数方程是微分方程是微分方程的的特征方程特征方程.由一元二
3、次方程的求根公式由一元二次方程的求根公式, 它的两个根为它的两个根为通解通解. 现依次讨论如下现依次讨论如下: 此时方程此时方程有两个不同的实根有两个不同的实根因而方程因而方程有两个线性无关解有两个线性无关解 故方故方程程的通解为的通解为 此时方程此时方程有两个相同的实根有两个相同的实根同理我们得到方程同理我们得到方程的一个解的一个解再再代入代入, 有有一个解一个解 并使得并使得 常数常数, 利用常数变易法利用常数变易法, 设设对对 求导得求导得为求方程的另为求方程的另即即因因 是特征方程是特征方程的二重根的二重根, 故故且且于是有于是有 故令故令 即得方程即得方程的另一个根的另一个根从而得到
4、方程从而得到方程的通解为的通解为 此时方程此时方程有一对共轭复根有一对共轭复根此时方程此时方程有解有解 , 但注意但注意到到从而将从而将 改写成改写成该解为复数形式该解为复数形式. 为求实数形式的解为求实数形式的解, 利用欧拉公式利用欧拉公式利用共轭复数的性质利用共轭复数的性质, 得得容易看到容易看到 仍然是方程仍然是方程的解的解, 它们不仅仅是实数它们不仅仅是实数解解, 而且是线性无关的而且是线性无关的. 由此得到方程的通解由此得到方程的通解综上所述综上所述, 求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程的的通解的步骤如下通解的步骤如下:写出微分方程写出微分方程的特征方程的特征方
5、程求出求出特征方程的两个根特征方程的两个根根据特征方程的两个根的不同形式根据特征方程的两个根的不同形式, 按照下列规则写按照下列规则写出微分方程出微分方程的通解的通解:若若特征方程有两个不同的实根特征方程有两个不同的实根 若若特征方程有两个相同的实根特征方程有两个相同的实根 若特征方程有一对共轭复根若特征方程有一对共轭复根则则则则则则例例1 求解微分方程求解微分方程解解 特征方程为特征方程为方程的两个解为方程的两个解为 因而方程的通解为因而方程的通解为例例2 求解微分方程求解微分方程解解 特征方程为特征方程为因而方程有二重根因而方程有二重根故故方程的通解为方程的通解为例例3 求解微分方程求解微
6、分方程解解 特征方程为特征方程为相应的解为一对共轭复根相应的解为一对共轭复根此时此时 故原方程的通解为故原方程的通解为 二二阶常阶常系数齐次线性微分方程的上述解法可以推广到系数齐次线性微分方程的上述解法可以推广到阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程. 阶常系数齐次线性微阶常系数齐次线性微其中其中 为常数为常数. 对应的特征方程为对应的特征方程为根据特征方程的根根据特征方程的根, 可以写出其对应的微分方程的解如可以写出其对应的微分方程的解如分方程的一般形式为分方程的一般形式为下下:单实根单实根 共轭复根共轭复根 重实根重实根 重共轭复根重共轭复根 项项:一项一项:两项两项:项项:例例
7、4 求解微分方程求解微分方程解解 方程所对应的特征方程为方程所对应的特征方程为因因即即相应的特征根为相应的特征根为由此得到方程的通解为由此得到方程的通解为例例5 求解微分方程求解微分方程解解 方程所对应的特征方程为方程所对应的特征方程为因因由此得到特征方程的根分别为由此得到特征方程的根分别为因而微分方程的通解为因而微分方程的通解为例例6 求解初值问题求解初值问题解解 先求出微分方程的通解先求出微分方程的通解. 由特征方程由特征方程由此得到由此得到 因而微分方程的通解为因而微分方程的通解为由由初始条件初始条件 得方程组得方程组解此解此方程组得方程组得 因而方程的解为因而方程的解为二、二阶常系数非
8、齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程 二二阶阶常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程的一般形式是的一般形式是其中其中 是常数是常数, 不恒等于零不恒等于零. 由定理由定理2可知可知, 求方求方的的通解与非齐次线性微分方程通解与非齐次线性微分方程的一个特解的一个特解. 由上一目由上一目程程的通解可归结为求对应的齐次线性微分方程的通解可归结为求对应的齐次线性微分方程知知, 二阶齐次线性微分方程的解法已经知道二阶齐次线性微分方程的解法已经知道, 所以现在所以现在只需讨论方程只需讨论方程的一个特解的一个特解 的解法的解法. 在这里我们只介绍当在这里我们只介绍当中的中的 取以下两种
9、常见的取以下两种常见的函数形式时函数形式时, 特解特解 的求法的求法. （其中（其中 是常数是常数, 分别是分别是 的的 次多项式）次多项式）.次多项式）次多项式）: （其中（其中 是常数是常数, 是是 的的 这里介绍的方法的特点是不用积分就可以求出这里介绍的方法的特点是不用积分就可以求出 来来, 实际上是先确定解的形式实际上是先确定解的形式, 再把形式解代入方程定出解再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值中包含的常数的值. 这种方法称为这种方法称为待定系数法待定系数法. 数函数的乘积数函数的乘积, 所以我们推测所以我们推测 因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指因为多项式与指数函数
10、乘积的导数仍然是多项式与指是某个多项式）可能是方程是某个多项式）可能是方程的特解的特解. 为此为此, 将将（其中（其中 代入方程代入方程并消去并消去 得到得到比较等式的两端比较等式的两端, 得到得到若若 不是对应的特征方程的根不是对应的特征方程的根, 即即 代入代入式并比较等式两端的系数式并比较等式两端的系数, 可确定可确定 则由则由式知式知 是一个是一个 次的多项式次的多项式. 即令即令但但 则则 为一个为一个 次多项式次多项式, 即令即令若若 是特征方程所对应的单根是特征方程所对应的单根, 即即 用用同样的方法可确定同样的方法可确定 的系数的系数若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根,
11、 即即则由则由式知式知 为一个为一个 次的多项式次的多项式, 故故令令且且 用用同样的方法可确定同样的方法可确定 的系数的系数由此我们有以下的结论由此我们有以下的结论: 方程方程具有形如具有形如的的特解特解, 其中其中 为一个与为一个与 同次的多项式同次的多项式, 而而若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,若若 是特征方程的单根是特征方程的单根,若若 是特征方程的二重根是特征方程的二重根.令令 将将 代入代入, 即即确定确定 中的中的 个系数个系数, 从而确定方程的一个特解从而确定方程的一个特解.例例7 求方程求方程解解 微分方程对应的特征方程为微分方程对应的特征方程为从而从而代入代入, 得
12、得比较系数后有比较系数后有的某一特解的某一特解.时时 是特征方程的单根是特征方程的单根, 故可设故可设而此而此即原方程的特解为即原方程的特解为 例例8 求解微分方程求解微分方程解解 特征方程为特征方程为的的通解为通解为又又 为特征方程的二重根为特征方程的二重根, 故令故令为二重根为二重根, 因而原方程对应的齐次方程因而原方程对应的齐次方程故故从而从而代入代入, 得得即即故故方程的通解为方程的通解为例例9 求解微分方程求解微分方程解解 先求出原方程对应的齐次方程的通解先求出原方程对应的齐次方程的通解, 易得易得再再求求 的特解的特解 因因 不不代入代入有有 是特征方程根是特征方程根, 故可设故可
13、设求导得求导得比较等式两端的系数比较等式两端的系数, 得得即即即即最后求最后求 的特解的特解因因 为特征为特征方程的单根方程的单根, 故可设故可设即令即令 代入代入, 得得比较系数得比较系数得故故由此得到方程的通解为由此得到方程的通解为 应用欧拉公式应用欧拉公式, 将三角函数表示为复指数函数的的形将三角函数表示为复指数函数的的形式式, 从而有从而有型型其中其中是互为是互为共轭的共轭的 次多项式次多项式, 而而应用情形应用情形的结果的结果, 对与对与 中的第一项中的第一项有有解解 由于由于 中的第二项中的第二项 与第一项共轭与第一项共轭, 所以与所以与 共轭的函数共轭的函数的的解解, 于是由定理
14、于是由定理3, 方程方程具有形如具有形如方程方程必然是方程必然是方程的特解的特解. 又由于上式可写成又由于上式可写成:由于括号内的两项相互共轭由于括号内的两项相互共轭, 相加后无虚部相加后无虚部, 故可写成故可写成实函数的形式实函数的形式综上所述综上所述, 我们有如下的结论我们有如下的结论 方程方程具有形如具有形如的的特解特解, 其中其中 是不超过是不超过 次的多项式次的多项式, 而而 按按 是否为特征方程的根而是否为特征方程的根而分别取分别取1或或0.例例10 求微分方程求微分方程解解 原微分方程对应的特征方程为原微分方程对应的特征方程为因因代入原方程代入原方程, 得得的一个特解的一个特解.
15、解为解为为为相应的相应的而此时而此时 不是特征方程的根不是特征方程的根. 设特解设特解比较两端同类项的系数比较两端同类项的系数, 得得由此得由此得解得解得从而得方程的一个特解从而得方程的一个特解例例11 求解微分方程求解微分方程解解 齐次方程齐次方程 的通解为的通解为:求求再记再记 则则代入代入得得:令令 的特解的特解得得:求求 的特解的特解 容易得到容易得到:最后求最后求 的特解的特解令令:即即:代入方程代入方程, 得得即即得得即即所以原方程的通解为所以原方程的通解为:例例12 若曲线若曲线 是方程是方程的倾角为的倾角为 曲率为零曲率为零, 求曲线求曲线 的方程的方程.解解 齐次方程为齐次方
16、程为 相应的特征方程为相应的特征方程为方程的解为方程的解为 故齐次方程的通解故齐次方程的通解的一条积分曲线的一条积分曲线, 此曲线过此曲线过 且在点且在点 处的切线处的切线为为非齐次方程非齐次方程 有特解有特解代入原方程代入原方程, 得得即方程的通解为即方程的通解为再由初始条件再由初始条件, 得方程的解为得方程的解为三、应用举例三、应用举例例例13 自由振动问题自由振动问题这个位置就是物体的平衡位置这个位置就是物体的平衡位置. 取取 如果使物体有一个初始位移如果使物体有一个初始位移 与初与初始速度始速度 那么物体便会离开平衡位那么物体便会离开平衡位下端挂一个质量为下端挂一个质量为 的物体的物体
17、. 当物体处于静止状态时当物体处于静止状态时,用在这个物体上的重力与弹性力大小相等用在这个物体上的重力与弹性力大小相等, 方向相反方向相反,轴垂直向下轴垂直向下, 并取物体的平衡位置为并取物体的平衡位置为坐标原点坐标原点.设有一个弹簧设有一个弹簧, 它的上端固定它的上端固定,置置, 并且在平衡位置附近作上下振动并且在平衡位置附近作上下振动,作用作用. 当速度不大时当速度不大时, 其大小与速度成其大小与速度成设设时刻时刻 物体的平衡位置为物体的平衡位置为 设弹性恢复力为设弹性恢复力为其中其中 为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数, 另外物体在另外物体在由力学知道由力学知道, 恢复力与物体离开平衡位置
18、的位移恢复力与物体离开平衡位置的位移 成成正比正比: 即即在运动过程中还受到阻尼介质的阻力在运动过程中还受到阻尼介质的阻力 正比正比, 比例系数为比例系数为 则有则有 由上面的受力分析由上面的受力分析, 及牛顿第二定律得及牛顿第二定律得移项整理移项整理, 并记并记则上式为则上式为此为在有此为在有阻尼的情况下阻尼的情况下, 物体物体自由振动的微分方程自由振动的微分方程. 下面我们讨论两种情况下的自由振动下面我们讨论两种情况下的自由振动.1.无阻尼自由振动无阻尼自由振动此此方程称为无阻尼自由振动的微分方程方程称为无阻尼自由振动的微分方程. 容易求出方程容易求出方程满足初值条件满足初值条件 的特解是
19、的特解是微分方程为微分方程为设物体只受到恢复力设物体只受到恢复力 的作用的作用. 则则的通解是的通解是令令 其中其中 则则 于是上式为于是上式为函数函数反映的运动就是简谐振动反映的运动就是简谐振动. 在这个简谐振动中在这个简谐振动中,振幅为振幅为 初相为初相为 周期为周期为 角频率为角频率为2.有阻尼自由振动有阻尼自由振动相应的特征根为相应的特征根为以下按以下按 三种不同情形进行讨论三种不同情形进行讨论:小阻尼情形小阻尼情形: 特征方程的根为特征方程的根为方程方程的特征方程为的特征方程为这是一对共轭复根这是一对共轭复根, 故方程的通解为故方程的通解为满足初值条件满足初值条件 的特解是的特解是记
20、记 令令 其中其中从从式中可以看出式中可以看出, 在小阻尼的情形下在小阻尼的情形下, 物体仍然作周物体仍然作周 则则于是上式为于是上式为期期 的振动的振动. 但与简谐振动不同的是但与简谐振动不同的是, 它的振幅它的振幅随着时间的增大而逐渐减少为零随着时间的增大而逐渐减少为零. 大阻尼情形大阻尼情形: 此时特征方程的根为此时特征方程的根为 为两个不相为两个不相其中任意常数其中任意常数 可由初值可由初值等的实根等的实根. 故方程故方程的通解为的通解为条件来确定条件来确定. 临界阻尼情形临界阻尼情形: 此时特征方程的根为两个相同的实数此时特征方程的根为两个相同的实数 故故其中任意常数其中任意常数 可
21、由可由方程方程的通解为的通解为初值条件来确定初值条件来确定. 如果物体在振动过程中还受到了位移方向上的周期性如果物体在振动过程中还受到了位移方向上的周期性的干扰力的干扰力, 这时物体产生的运动叫做强迫振动或干扰振这时物体产生的运动叫做强迫振动或干扰振动动. 这种现象也是比较普遍地存在着的这种现象也是比较普遍地存在着的. 我们以如下的我们以如下的实际问题为例来说明物体在强迫振动下的规律实际问题为例来说明物体在强迫振动下的规律.例例14 强迫振动与共振动问题强迫振动与共振动问题荡器安装在弹性梁荡器安装在弹性梁 上的上的 点处点处, 振荡器开动时对横梁振荡器开动时对横梁不计阻力和在点不计阻力和在点
22、处横梁处横梁的重量的重量, 试求试求 点在干扰点在干扰产生一个垂直方向的干扰力产生一个垂直方向的干扰力 ( 均为常数均为常数 ),使横梁发生振动使横梁发生振动. 如图所示如图所示, 取取 轴过轴过 点点, 方向铅方向铅直直向下向下, 并设平衡点为原点并设平衡点为原点. 如果如果力作用下的运动规律力作用下的运动规律.设一质量为设一质量为 的电动振的电动振解解 如果不计阻力如果不计阻力, 则则 点在振动时受到两个力的作用点在振动时受到两个力的作用,记记 上式化为上式化为并并有初值条件有初值条件一个是弹性恢复力一个是弹性恢复力 另一个是干扰力另一个是干扰力 由牛由牛顿第二定律得顿第二定律得这是二阶非
23、齐次线性微分方程的初值问题这是二阶非齐次线性微分方程的初值问题. 因方程因方程对应的齐次方程对应的齐次方程的的通解为通解为其中其中 是弹性梁的固有频率是弹性梁的固有频率. 根据固有频率与干根据固有频率与干扰频率的关系扰频率的关系, 我们分两种情况来讨论方程我们分两种情况来讨论方程的特解的特解.如果如果 则则 不是特征方程的根不是特征方程的根. 故可设故可设代入方程代入方程得得于是得方程的特解于是得方程的特解由此得到方程的通解由此得到方程的通解由由初值条件可定出初值条件可定出 的值的值. 从而从而 点的运动规律为点的运动规律为 上上式式表明表明, 物体的运动有两部分组成物体的运动有两部分组成,
24、且都是简谐振且都是简谐振动动. 上式第一项表示自由振动上式第一项表示自由振动, 第二项所表示的振动称第二项所表示的振动称为强迫振动为强迫振动. 强迫振动由干扰力引起强迫振动由干扰力引起, 其角频率为干其角频率为干扰扰力的角频率力的角频率 当干扰力的角频率与振动系统的固有频当干扰力的角频率与振动系统的固有频率率 相差很小时相差很小时, 它的振幅它的振幅 可以很大可以很大.如果如果 那么那么 是特征方程的根是特征方程的根, 故可设故可设代入方程代入方程得得于是得方程于是得方程的特解的特解从而当从而当 时方程的通解为时方程的通解为由由初值条件可定出初值条件可定出 从而从而 点的运动规律为点的运动规律
25、为 上上式右端式右端第二项表明强迫振动的振幅第二项表明强迫振动的振幅 随时间随时间 的的增大而无限增大增大而无限增大, 这时就发生共振现象这时就发生共振现象. 共振会对弹性共振会对弹性梁产生严重的破坏梁产生严重的破坏.例例15 核废料问题核废料问题 问题背景问题背景 有一段时间有一段时间, 美国原子能委员会是这样处理浓缩核放美国原子能委员会是这样处理浓缩核放射性废物的射性废物的, 他们把废物放入密封性能很好的圆桶里他们把废物放入密封性能很好的圆桶里,引起放射性污染引起放射性污染. 尽管委员会一再保证这样的作法是绝尽管委员会一再保证这样的作法是绝对安全的对安全的, 但某些工程技术人员对此表示怀疑
26、但某些工程技术人员对此表示怀疑, 他们认他们认为桶在和海底碰撞时可能发生破裂为桶在和海底碰撞时可能发生破裂. 情况究竟如何情况究竟如何?然后扔到水深为然后扔到水深为 的海里的海里, 问题是这样的作法是否会问题是这样的作法是否会 为了探明事实的真相为了探明事实的真相, 工程师们做了大量的实验工程师们做了大量的实验. 已知圆桶的质量是已知圆桶的质量是海水浓度为海水浓度为 圆桶的体积为圆桶的体积为圆桶下沉时所受到的阻力与圆桶下沉时的方位大致无关圆桶下沉时所受到的阻力与圆桶下沉时的方位大致无关,而与下沉时的速度成正比而与下沉时的速度成正比, 比例系数为比例系数为 下面是一些实验的数据下面是一些实验的数
27、据:又又, 实验表明实验表明, 当桶与海底碰撞时的瞬时速度超过当桶与海底碰撞时的瞬时速度超过时圆桶会发生破裂现象时圆桶会发生破裂现象. 根据以上实验根据以上实验, 工程师们将得出什么样的结论工程师们将得出什么样的结论? 模型分析模型分析 圆桶在下落过程中所受到的作用力包括圆桶在下落过程中所受到的作用力包括: 圆桶所受到的重力圆桶所受到的重力 水的浮力水的浮力 水的阻力水的阻力 模型建立模型建立 设圆桶的位移函数为设圆桶的位移函数为速度函数为速度函数为由牛顿定律得微分方程由牛顿定律得微分方程:及初始条件及初始条件由此得到初值问题由此得到初值问题:此即为原问题所对应的数学模型此即为原问题所对应的数
28、学模型.上面方程可以转化为上面方程可以转化为 程序为程序为:结果为结果为 在在MatLab下，可以得到该问题的解下，可以得到该问题的解:该值说明当圆桶到达海底时该值说明当圆桶到达海底时, 相应的瞬时速度为相应的瞬时速度为此速度超过了圆桶能承受的最大速度此速度超过了圆桶能承受的最大速度, 从而说明这样从而说明这样的处理方式并不安全的处理方式并不安全.例例16 跟踪问题跟踪问题 问题背景问题背景 缉私雷达发现缉私雷达发现: 距离距离 处有一走私船正一匀速处有一走私船正一匀速 沿直沿直线行驶线行驶, 缉私船立即以最大速度（匀速缉私船立即以最大速度（匀速 ）追赶）追赶, 若用若用雷达进行跟踪雷达进行跟
29、踪, 保持船的瞬时速度方向始终指向走私船保持船的瞬时速度方向始终指向走私船, 则缉私船的运动轨迹如何则缉私船的运动轨迹如何? 是否能追上走私船是否能追上走私船? 如果能如果能追上追上, 需要多长时间需要多长时间? 模型建立模型建立 设在时刻设在时刻 时时, 巡逻艇的位置为巡逻艇的位置为而在时刻而在时刻时时, 巡逻艇的位置为巡逻艇的位置为此时走私船位于此时走私船位于处处. 直线直线 为巡逻艇在点为巡逻艇在点 处的切线处的切线, 该切线与该切线与 轴正轴正向的夹角为向的夹角为 则由已知条件得则由已知条件得 再由关系式得再由关系式得由此得到微分方程由此得到微分方程:及相应的初始条件及相应的初始条件:
30、 由此得到追踪问题的数学模型由此得到追踪问题的数学模型:对该问题并不能简单地得到相应的解析解对该问题并不能简单地得到相应的解析解. 我们用数值方法得到该问题的数值解我们用数值方法得到该问题的数值解, 并描绘出相应并描绘出相应的追踪曲线的追踪曲线. 设走私船的速度为设走私船的速度为巡逻艇的速度为巡逻艇的速度为两船相距两船相距 首先建立函数文件首先建立函数文件: 再编写求解程序再编写求解程序程序运行过程中描绘巡逻艇的追踪曲线程序运行过程中描绘巡逻艇的追踪曲线.速度分量曲线图形速度分量曲线图形追踪曲线图形追踪曲线图形 结果分析结果分析 计算结果中的计算结果中的 是当时刻是当时刻 时巡逻艇的位置时巡逻
31、艇的位置,再记再记 为走私船的位置为走私船的位置, 即有即有将计算结果代入得到数表将计算结果代入得到数表:8.06.177313.98060.407.04.555212.81700.356.03.200511.34960.305.02,11879.67060.254.01.28997.85150.203.00.69065.94450.152.00.29243.98540.101.00.06981.98840.05000010.09.997915.00460.509.08.027314.74510.45从上表中可以看到从上表中可以看到, 当当 时时, 即巡逻艇几乎追上走私艇即巡逻艇几乎追上走私艇. 设设 不变不变, 而走私船的速度加大而走私船的速度加大, 观察相应的变化观察相应的变化情况情况. 取取经测试取时间经测试取时间为控制精度为控制精度, 设置精度控制选项设置精度控制选项. 最后计算结果如下最后计算结果如下: 图形说明图形说明, 巡逻艇最后以直线方式在追踪走私船巡逻艇最后以直线方式在追踪走私船. 问题问题2 有没有其它的求解方法有没有其它的求解方法? 下面程序给出了该问题的另一种解法下面程序给出了该问题的另一种解法. 计算的各个值分别为计算的各个值分别为: 这个解法有问题吗？这个解法有问题吗？修改后的程序如下修改后的程序如下
