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1、4.4 系统性能分析系统性能分析 7/29/20241闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响，可总结如下：1、稳定性。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。2、运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。3、超调量。超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。7/29/202424、调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值1=n，如果实数极点距虚轴最近，并且它附近没有实数零点，则调节
2、时间主要取决于该实数极点的模值。5、实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增加系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。6、偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可略；接近原点的偶极子，其影响必须考虑。7、主导极点。在s平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点，凡比主导极点的实部大6倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略。例1:某单位反馈系统的开环传递函数为：7/29/20243（1）绘制系统的根轨迹草
3、图；（2）用根轨迹法确定使系统稳定的Kg值范围；（3）用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的Kg最大取值。解：（1）闭环系统特征方程为7/29/202447/29/202457/29/202467/29/202477/29/202487/29/202497/29/2024107/29/2024117/29/2024127/29/2024137/29/2024147/29/202415利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正v由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；v分析参数变化对系统稳定性的影响；v分析系统的瞬态和稳态性能；v根据性能要求确定系统的参数；v对系统进行校正。7/29/20
4、2416一、 条件稳定系统的分析 例4-11：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时的区值范围。开环极点：0，-4，-6，零点：实轴上根轨迹区间：渐进线：与实轴的交点：倾角：解根据绘制根轨迹的步骤，可得：7/29/202417分离角（点）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点。近似求法：分离点在-4，0之间。7/29/202418入射角：与虚轴的交点（略）。这时的增益值：由图可知：当和时，系统是稳定的（为什么？）；当时，系统
5、是不稳定的。左图是用Matlab工具绘制的。7/29/202419条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。v具有正反馈的环节。下面的系统就是条件稳定系统的例子：v开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；7/29/202420例非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。解：根轨迹如右：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。闭环特征方程为：，当s=0时，所以，系统稳定的条件是：7/29/202421二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统
6、参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面上的分布如右图：闭环极点的张角为：所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。7/29/202422我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：7/29/202423上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。解：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的
7、临界增益当时，闭环系统不稳定。7/29/202424下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当时解得：这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数k。设A点坐标为：，则：（1）相角条件为：（2）7/29/202425由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为：。计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：解得：开环传递函数以的形式表示时，k称为开环放大系数。显然的关系
8、为：，式中不计0极点。所以，开环放大系数：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：7/29/202426特别提示特别提示：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。q一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。7/29/2024277/29/202428q若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。7/29/202429Matlab参考书推荐：q现代控制工程，美KatsuhikoOgats,卢伯英译，电子工业出版社qMATLAB控制系统设计，欧阳黎明著，国防工
9、业出版社三、用Matlab绘制根轨迹7/29/202430num=0001;%开环传递函数分子系数，降幂排列den=1320;%开环传递函数分母系数，降幂排列r=rlocus(num,den);例子系统的开环传递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。解打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：执行之，可得到根轨迹。7/29/202431例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。解：（1）画根轨迹：7/29/202432q求出射角：，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；
10、另两条从原点以的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。q会合分离点：由方程得解得在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。7/29/202433q求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当时，由辅助方程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。7/29/202434q 画根轨迹分离（会合）点分别为-2.93和-17.07，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比是，并求此时系统的闭环特征根
11、；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。7/29/202435q当时，阻尼角，表示角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。7/29/202436q对于分离点，由幅值条件可知对于会合点，有由根轨迹图可知，当时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。7/29/202437q由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴
12、夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。7/29/202438例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。7/29/202439系统A和B的闭环传递函数分别为：解：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：7/29/202440由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相
13、同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。图(a)A系统图(b)B系统根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。7/29/202441例4-16:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。7/29/202442解：由根轨迹图知系统的开环传递函数为：单位反馈系统的闭环传递函数为：提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加入零点后，将使根轨迹左移，有利于系统的稳定性。当在系统中加入比例微分控制时，
14、开环传递函数增加了一个零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为：，只要渐近线与负实轴相交,系统的根轨迹就在左半S平面。因此有：，所以。7/29/202443从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。clearall;num1=0013;den1=1600;num2=0015;den2=1600;num3=0017;den3=1600;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3)作业：4-7，4-10，4-117/29/202444小结q 条件稳定系统的分析临界稳定增益的确定；q 瞬态性能分析和开环系统参数的确定 阻尼角和等阻尼线； 超调量、调整时间与闭环极点的关系；根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数；开环零、极点对根轨迹形状的影响。q用Matlab绘制根轨迹的方法7/29/202445
