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1、第九章 幂级数解法 本征值问题9.1二阶常微分方程的幂级数解法二阶常微分方程的幂级数解法9.1.1幂级数解法理论概述幂级数解法理论概述 用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程用其他坐标其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线现各种各样的特殊函数方程它们大多是二阶线性常性常 微分方程微分方程Chang-
2、Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程微分方程 （9.1.1）其中 z为复变数， z0为选定的点，C0, C1 为复数.Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT说明：1.1.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出可用幂级数解法解出2.2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0 0的邻域上，把待求
3、的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数3.3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论助于解析函数的理论进行讨论4.4.求得的解既然是级数，就有是否求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围收敛以及收敛范围的问题的问题. .5. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中求解问题中Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics,
4、 CUPT如果方程（如果方程（9.1.1）的系数函数）的系数函数 和和在在选定的点定的点的的邻域域 中是解析的，中是解析的，则点点方程（方程（9.1.1）的）的常点常点. 如果选定的点如果选定的点 是是或或的奇点，的奇点，则点点 叫作方程（叫作方程（9.1.1）的奇点）的奇点 叫作叫作1方程的常点和奇点概念方程的常点和奇点概念Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT2. 常点邻域上的幂级数解定理定理定理9.1.1 若方程（若方程（9.1.1）的系数）的系数 和和为点点的的邻域域中的解析函数，中的解析函数， 则方程在这圆中存在唯一的解析解
5、则方程在这圆中存在唯一的解析解 满足满足初始条件初始条件，其中，其中是任意是任意给定的复常数定的复常数，Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数. 既然既然线性二性二阶常微分方程在常点常微分方程在常点的的邻域域上存在唯一的解析解，上存在唯一的解析解， （9.1.2）其中其中为待定系数待定系数 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT为了确定级数解（为了确定级数解（9.1.2）中的系数，具体的做法是以）中的系数，具
6、体的做法是以 （9.1.29.1.2）代入方程（）代入方程（9.1.19.1.1），合并同幂项，令合并后的系数），合并同幂项，令合并后的系数分别为零，找出系数分别为零，找出系数之间的递推关系，之间的递推关系， 最后用已给的初值最后用已给的初值，来确定各个系数来确定各个系数 从而求得从而求得确定的级数解确定的级数解 下面以下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT9.1.2常点邻域上的幂级数解法 勒让德方程的求解注注： （参考书上9.1节内容，特别是书上
7、226-228页内容由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 邻域上求解邻域上求解阶勒让德方程阶勒让德方程 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT故方程的系数故方程的系数 在在 ，单值函数，单值函数 ，均均为有限有限值，它，它们必然在必然在解析解析 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT是方程的常点根据常点邻域上解的定理，是方程的常点根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式：解具有泰勒级数形式：（9.1.3） 泰勒级数形式的解，将其代
8、入勒氏方程可得系数间的泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系递推关系 （9.1.4）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT因此，由任意常数因此，由任意常数 可计算出任一系数可计算出任一系数 偶次项的系数偶次项的系数:奇次项的系数奇次项的系数 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式 (9.1.7)其中分别是偶次项和奇次项组成的级数分别是偶次项和奇次项组成的级数Chang-Kui Duan, Institute of
9、Modern Physics, CUPT不是整数时不是整数时 无穷级数，容易求无穷级数，容易求得其收敛半径均为得其收敛半径均为1 时，时， 发散于无穷发散于无穷 是非是非负整数整数 递推公式（递推公式（9.1.4） 是偶数时，是偶数时， 是一个是一个n次多项式，但函数次多项式，但函数 为在为在 处发散至无穷的无穷级数处发散至无穷的无穷级数 是奇数是奇数时， 是是次多次多项式，而式，而仍然是在仍然是在处无界的无无界的无穷级数数 l 是负整数时是负整数时 一个是多项式，另一个一个是多项式，另一个是无界的无穷级数是无界的无穷级数 Chang-Kui Duan, Institute of Modern
10、 Physics, CUPT所以不妨设 导出这个多项式的表达式导出这个多项式的表达式 ,是非是非负整数整数（因在（因在实际问题中一般中一般总要求有界解）要求有界解） 把把系数递推公式系数递推公式（9.1.4）改写成）改写成 (9.1.8)于是可由多于是可由多项式的式的最高次最高次项系数系数来表示其它各来表示其它各低低阶项系数系数Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT取多项式取多项式最高次项系数最高次项系数为为 (9.1.9)Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT这样取主要是为
11、了使所得多项式在这样取主要是为了使所得多项式在 处取值为处取值为1，即实现归一化，即实现归一化. 可得系数的一般式为可得系数的一般式为 (9.1.10)因此，我们得出结论：因此，我们得出结论：Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT是非负偶数时，勒让德方程有解是非负偶数时，勒让德方程有解 （9.1.11）是正奇数时，勒让德方程有解是正奇数时，勒让德方程有解Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.12)对上述讨论进行综合，若用对上述讨论进行综合，若用 表示不大于表示不大
12、于 的的整数部分，整数部分，用大写字母用大写字母写成写成统一形式解一形式解（9.1.13）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT是非负整数时，勒让德方程的是非负整数时，勒让德方程的基本解组基本解组 中只有一个多项式，这个多项式中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式勒让德多项式 ，也称为，也称为第一类勒让德函数；第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数， 记为大写的记为大写的 可以得出它们的关系可以得出它们的关系（9.1.14）Chang-Kui Dua
13、n, Institute of Modern Physics, CUPT经过计算后，经过计算后， 可以通过对数函数及勒让德多项式可以通过对数函数及勒让德多项式 表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 (9.1.15)特别地特别地Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT可以证明这样定义的可以证明这样定义的 ，其递推公式和，其递推公式和 的递推公式具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程的递推公式具有相同的形式而且在一般情况下勒让德方程的的通解通解为为两个独立解的线性叠加两个独立解的线性叠加Ch
14、ang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点的形式容易看出，它在端点 处是无界的，处是无界的，故必须取常数故必须取常数 从而勒让德方程的解就只有从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式：第一类勒让德函数即勒让德多项式： Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT综合可得如下结论：综合可得如下结论：（1）当）当 不是整数不是整数时，勒，勒让德方程在区德方程在
15、区间上无有界的解上无有界的解 （2）当）当 为整数时，勒让德方程的通解为为整数时，勒让德方程的通解为 ，其中，其中 称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式）， 称为第二类勒让德函数称为第二类勒让德函数. Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT为整数，且要求在自然边界条件下为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在即要求在 有界解的情况下有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解求解，则勒让德方程的解只有第一只有第一 类勒勒让德函数即勒德函数即勒让德多德多项式式因因为第二第二类勒让德函数勒让德函数 在闭区
16、间在闭区间 上是无界的上是无界的Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT9.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 表示自变量，以表示自变量，以 表示未知函数，则表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为阶贝塞尔方程为 (9.1.18)Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CU
17、PT其中，其中， 为任意复数，为任意复数， 但在本节中但在本节中 由于方程的系数中出现由于方程的系数中出现 只限于取实数。只限于取实数。 项，不妨暂先假定项，不妨暂先假定 故故 为为 的奇点。的奇点。 下面介绍下面介绍奇点邻域的幂级数解法奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解：贝塞尔方程的求解Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT设方程（设方程（9.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：）的一个特解具有下列幂级数形式： (9.1.19）其中，常数其中，常数 和和 可以通过把可以通过把 和它的导数和它的导数 代入（代入（9.1.18）
18、来确定）来确定 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT将（将（9.1.19）及其导数代入（）及其导数代入（9.1.18）后，得）后，得化简后写成化简后写成要使上式恒成立，必须使得各个要使上式恒成立，必须使得各个 次幂的系数为零，次幂的系数为零， 从而得下列各式：从而得下列各式： Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.20) (9.1.21)(9.1.22)由（由（9.1.20） 得得 ；代入（；代入（9.1.21），得），得 现暂取现暂取 ，代入（，代入（9.1.
19、22）得）得 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT (9.1.23)因为因为 ，由（，由（9.1.23）知：）知： 都可以用都可以用 表示，即表示，即Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPTChang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT由此知（由此知（9.1.19）的一般项为）的一般项为是一个是一个任意常数任意常数，令，令 取一个确定的值，就得（取一个确定的值，就得（9.1.18） 的一个的一个特解特解我们把我们把 取作取作
20、 这样选取这样选取 与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关。与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关。 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT 运用下列恒等式运用下列恒等式 使分母简化，从而，使（使分母简化，从而，使（9.1.19）中一般项的系数变成）中一般项的系数变成 （9.1.24）以（以（9.1.24）代入（）代入（9.1.19）得到贝塞尔方程（）得到贝塞尔方程（9.1.18）的一个）的一个特解特解Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）
21、可以判定用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作阶第一类贝塞尔函数，记作 (9.1.25）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT至此，就求出了至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解贝塞尔方程的一个特解 另外，当另外，当 即取负值时，用同样方法可即取负值时，用同样方法可得得贝塞尔方程（贝塞尔方程（9.1.18）的另一特解）的另一特解 （9.1.26）比较（比较（9.1.25）与（）与（9.1.26
22、）可见，只需在（）可见，只需在（9.1.25）的右）的右端把端把 换成换成 ，即可得到（，即可得到（9.1.26）故不论）故不论 是正是正 数还是负数，总可以用（数还是负数，总可以用（9.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数）统一地表达第一类贝塞尔函数Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT讨论：讨论：(1)当当 不为整数时，例如不为整数时，例如 为分数阶贝塞尔函数：为分数阶贝塞尔函数： 等等, 当当 时，时， Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT故这两个特解故这两个特解 与
23、与 是是线性无关线性无关的，由齐次线的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（性常微分方程的通解构成法知道，（9.1.18）的）的通解通解为为 （9.1.28）其中，其中， 为两个任意常数为两个任意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法根据系数关系，且由达朗贝尔比值法故级数故级数 和和 的的收敛范围收敛范围为为 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT(2)当当 为正整数或零时（注为正整数或零时（注:以下推导凡以下推导凡用 即表整数），即表整数）， 故有故有（9.1.27）称称 为为整数阶贝塞尔函数整数阶贝塞尔函数易得易得 Chang
24、-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT需注意在取整数的情况下，需注意在取整数的情况下， 和和 线性相关，线性相关，这是因为这是因为: 可见正、负可见正、负 阶贝塞尔函数只相差一个常数因子阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT我们定义我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为为 是一个是一个特解特解，它既满足贝塞
25、尔方程，又与，它既满足贝塞尔方程，又与 线性无关线性无关 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT其中，其中， 为为欧拉常数欧拉常数可以证明是贝塞尔方程的特解，可以证明是贝塞尔方程的特解， 且与且与 线性无关的线性无关的.Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT综述综述：（：（1）当）当 ，即不取整数时，其贝塞尔方程的，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为通解可表示为（2）不论）不论 是否为整数，贝塞尔方程的通解都可是否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为表示为其中其中 为任意
26、常数，为任意常数， 为任意实数为任意实数 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT9.2 施图姆刘维尔本征值问题 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值叫做程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值本征值（或特征值、或固有值
27、），相应的非零解叫做本（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题函数的问题叫做本征值问题. Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT常见的本征值问题都可以归结为施图姆常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)刘维尔刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的讨论具有普遍意义的施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题1521施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题定义
28、定义 9.2.1施图姆刘维尔型方程施图姆刘维尔型方程 通常把具有形式通常把具有形式 （9.2.1）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称的二阶常微分方程叫作施图姆刘维尔型方程，简称施施刘型方程刘型方程 研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程二阶常微分方程 通常乘以适当的函数通常乘以适当的函数 ，就可以化成，就可以化成施图姆刘维尔型方程施图姆刘维尔型方程 (9.2.2)Chang-Kui Duan, Institute of Mo
29、dern Physics, CUPT 施图姆刘维尔型方程（施图姆刘维尔型方程（9.2.1）附加以齐次的第一类、）附加以齐次的第一类、第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题 .讨论讨论 (1) 或或 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT再加上自然边界条件：再加上自然边界条件： 有界有界.就构成了勒让德就构成了勒让德方程本征值问题方程本征值问题或或 （9.2.3）(2) Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT或或 再加上自然边界条件：再加上自然边界条件： 有界有界. 即构成即构成连带勒让德方程本征值问题连带勒让德方程本征值问题（9.2.）Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
