高考数学一轮复习 8.7 抛物线课件 文 新人教A版

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1、第七节抛物线【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)抛物线的定义抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: :在平面内在平面内. .动点到定点动点到定点F F的距离与到定直线的距离与到定直线l的距离的距离_._.定点定点_定直线上定直线上. .相等相等不在不在(2)(2)抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质标准标准方程方程_(p0)(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)_(p0)(p0)p p的几何意义的几何意义: :焦点焦点F F到准线到准线l的距离的距离图形图形顶点顶点_对称轴对称

2、轴_y y2 2=2px=2pxy y2 2=-2px=-2pxx x2 2=2py=2pyx x2 2=-2py=-2pyO(0,0)O(0,0)y=0(xy=0(x轴轴) )x=0(yx=0(y轴轴) )焦点焦点 F F F F F F F F离心率离心率e=1e=1准线准线方程方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _范围范围_焦半径焦半径( (其中其中P P(x(x0 0, , y y0 0)|PF|=|PF|=|PF|=|PF|=|PF|=|PF|=|PF|=|PF|=x0,yRx0,yRx0,yRx0,yRy0,xRy0,xRy0,xRy0,xR2.2.必备结论必备结论

3、 教材提炼记一记教材提炼记一记抛物线焦点弦的几个常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设设ABAB是过抛物线是过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点焦点F F的弦的弦, ,若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则(1)x(1)x1 1x x2 2=_,y=_,y1 1y y2 2=_.=_.(2)(2)弦长弦长|AB|=_= (|AB|=_= (为弦为弦ABAB的倾斜角的倾斜角).).(3)(3)以弦以弦ABAB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. .(4)(4)通径通径: :过焦点垂直于对称轴的弦过焦点垂直于对称轴的弦, ,

4、长等于长等于2p.2p.-p-p2 2x x1 1+x+x2 2+p+p3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :待定系数法、点差法、定义法、待定系数法、点差法、定义法、“设而不求设而不求”. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化与化归数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化与化归思想思想. .【小题快练【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是的距离相等的点的轨迹一定是抛物线抛物

5、线.(.() )(2)(2)方程方程y=axy=ax2 2(a0)(a0)表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在x x轴上的抛物线轴上的抛物线, ,且其焦点坐且其焦点坐标是标是( ,0),( ,0),准线方程是准线方程是x=- .(x=- .() )(3)(3)抛物线既是中心对称图形抛物线既是中心对称图形, ,又是轴对称图形又是轴对称图形.(.() )【解析【解析】(1)(1)错误错误. .当定点在定直线上时当定点在定直线上时, ,轨迹为过定点轨迹为过定点F F与定直线与定直线l垂垂直的一条直线直的一条直线, ,而非抛物线而非抛物线. .(2)(2)错误错误. .方程方程y=axy=ax2 2(

6、a0)(a0)可化为可化为x x2 2= y,= y,是焦点在是焦点在y y轴上的抛物线轴上的抛物线, ,且且其焦点坐标是其焦点坐标是(0, ),(0, ),准线方程是准线方程是y=- .y=- .(3)(3)错误错误. .抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(选修选修1-1P59T3(1)1-1P59T3(1)改编改编) )设抛物线设抛物线y y2 2=8x=8x上一点上一点P P到到y y轴的距离是轴的距离是4,4,则点则点P P到该抛物

7、线焦点的距离是到该抛物线焦点的距离是. .【解析【解析】如图所示如图所示, ,抛物线的准线抛物线的准线l的方程为的方程为x=-2,Fx=-2,F是抛物线的焦点是抛物线的焦点, ,过点过点P P作作PAyPAy轴轴, ,垂垂足是足是A,A,延长延长PAPA交直线交直线l于点于点B,B,则则|AB|=2,|AB|=2,由于由于点点P P到到y y轴的距离为轴的距离为4,4,则点则点P P到准线到准线l的距离的距离|PB|=4+2=6,|PB|=4+2=6,所以点所以点P P到焦点的距离到焦点的距离|PF|=|PB|=6.|PF|=|PB|=6.答案答案: :6 6(2)(2)(选修选修1-1P63

8、T1(1)1-1P63T1(1)改编改编) )已知抛物线的顶点是原点已知抛物线的顶点是原点, ,对称轴为坐标对称轴为坐标轴轴, ,并且经过点并且经过点P(-2,-4),P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为则该抛物线的标准方程为. .【解析【解析】很明显点很明显点P P在第三象限在第三象限, ,所以抛物线的焦点可能在所以抛物线的焦点可能在x x轴负半轴轴负半轴上或上或y y轴负半轴上轴负半轴上. .当焦点在当焦点在x x轴负半轴上时轴负半轴上时, ,设方程为设方程为y y2 2=-2px(p0),=-2px(p0),把点把点P(-2,-4)P(-2,-4)的坐的坐标代入得标代入得(-4)(-

9、4)2 2=-2p=-2p(-2),(-2),解得解得p=4,p=4,此时抛物线的标准方程为此时抛物线的标准方程为y y2 2=-8x;=-8x;当焦点在当焦点在y y轴负半轴上时轴负半轴上时, ,设方程为设方程为x x2 2=-2py(p0),=-2py(p0),把点把点P(-2,-4)P(-2,-4)的坐的坐标代入得标代入得(-2)(-2)2 2=-2p=-2p(-4),(-4),解得解得p= ,p= ,此时抛物线的标准方程为此时抛物线的标准方程为x x2 2=-y.=-y.综上可知综上可知, ,抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为y y2 2=-8x=-8x或或x x2 2=-y.=-y

10、.答案答案: :y y2 2=-8x=-8x或或x x2 2=-y=-y3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014安徽高考安徽高考) )抛物线抛物线y= xy= x2 2的准线方程是的准线方程是( () )A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.xA.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2=-2【解析【解析】选选A.yA.y= x= x2 2x x2 2=4y,=4y,所以抛物线的准线方程是所以抛物线的准线方程是y=-1.y=-1.(2)(2014(2)(2014新课标全国卷新课标全国卷)设设F F为抛物线为抛物线C:yC:y2 2

11、=3x=3x的焦点，过的焦点，过F F且倾斜且倾斜角为角为3030的直线交的直线交C C于于A,BA,B两点，则两点，则|AB|=( )|AB|=( )【解析【解析】选选C.C.设设|AF|=2m,|BF|=2n|AF|=2m,|BF|=2n，F( ,0).F( ,0).则由抛物线的定义和直则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，角三角形知识可得，|AB|=|AF|+|BF|=2m+2n=12.|AB|=|AF|+|BF|=2m+2n=12.故选故选C.C.(3)(2015(3)(2015广州模拟广州模拟) )设抛物线设抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F,F,点

12、点A(0,2),A(0,2),若若线段线段FAFA的中点的中点B B在抛物线上在抛物线上, ,则则B B到该抛物线准线的距离为到该抛物线准线的距离为. .【解析【解析】依题意知：抛物线依题意知：抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点F( ,0),F( ,0),又又A(0A(0，2)2)，所以，所以FAFA的中点的中点B( ,1),B( ,1),又又B B在抛物线上，所以在抛物线上，所以1=2p1=2p , ,所以所以答案：答案： (4)(2014(4)(2014上海高考上海高考) )若抛物线若抛物线y y2 2=2px=2px的焦点与椭圆的焦点与椭圆 的右焦的右焦点重合

13、，则该抛物线的准线方程为点重合，则该抛物线的准线方程为_._.【解析【解析】根据椭圆的右焦点坐标根据椭圆的右焦点坐标F(2F(2，0)0)得得p=4,p=4,所以抛物线的准线方所以抛物线的准线方程为程为x=-2.x=-2.答案：答案：x=-2x=-2考点考点1 1 抛物线的定义及其应用抛物线的定义及其应用【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014新课标全国卷新课标全国卷)已知抛物线已知抛物线C:yC:y2 2=x=x的焦点为的焦点为F,A(xF,A(x0 0,y,y0 0) )是是C C上一点上一点,|AF|= x,|AF|= x0 0, ,则则x x0 0=(=() )A.1 B.

14、2 C.4 D.8A.1 B.2 C.4 D.8(2)(2)已知抛物线已知抛物线y y2 2=2x=2x的焦点是的焦点是F,F,点点P P是抛物线上的动点是抛物线上的动点, ,又有点又有点A(3,2),A(3,2),求求|PA|+|PF|PA|+|PF|的最小值的最小值, ,并求出取最小值时点并求出取最小值时点P P的坐标的坐标. .【解题提示【解题提示】(1)(1)由由y y2 2=x=x可知可知, ,抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为x=- ,x=- ,从而可得从而可得A A到抛物线准线的距离为到抛物线准线的距离为x x0 0+ ,+ ,然后利用抛物线的定义即可求得然后利用抛物线的定义即

15、可求得x x0 0的值的值. .(2)(2)利用抛物线的定义可知利用抛物线的定义可知|PF|PF|即为点即为点P P到准线的距离到准线的距离, ,从而将从而将|PA|+|PA|+|PF|PF|的最小值转化为的最小值转化为P P到点到点A A和到准线的距离之和最小问题和到准线的距离之和最小问题. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.根据抛物线的定义可知根据抛物线的定义可知|AF|=|AF|=解之得解之得x x0 0=1.=1.(2)(2)将将x=3x=3代入抛物线方程代入抛物线方程y y2 2=2x,=2x,得得y=y=因为因为 22，所以，所以A A在抛物线内部，在抛物线内部，如图

16、如图. .设抛物线上点设抛物线上点P P到准线到准线l:x:x=- =- 的距离为的距离为d d，由定义知，由定义知|PA|+|PF|=|PA|PA|+|PF|=|PA|+d,+d,当当PAPAl时，时，|PA|+d|PA|+d最小，最小值为最小，最小值为 即即|PA|+|PF|PA|+|PF|的最小的最小值为值为 此时此时P P点纵坐标为点纵坐标为2 2，代入，代入y y2 2=2x,=2x,得得x=2x=2，所以点所以点P P的坐标为的坐标为(2,2).(2,2).【互动探究【互动探究】在本例在本例(1)(1)中，若中，若A A点在点在x x轴上方，且轴上方，且AFAF的延长线交抛物的延长

17、线交抛物线于点线于点B B，求求B B点的坐标；点的坐标；求求AOBAOB的面积的面积. .【解析【解析】由例题可知由例题可知A(1,1)A(1,1)，F( ,0)F( ,0)，所以所以所以直线所以直线AFAF的方程为的方程为 即即4x-3y-1=0.4x-3y-1=0.由由 即即(4y+1)(y-1)=0,(4y+1)(y-1)=0,所以所以 或或y=1.y=1.又因为又因为A A在在x x轴上方，所以轴上方，所以B B在在x x轴下方，即轴下方，即【规律方法【规律方法】1.1.与抛物线定义有关的两个线段与抛物线定义有关的两个线段抛物线的焦半径、焦点弦抛物线的焦半径、焦点弦. .2.2.抛物

18、线定义的作用抛物线定义的作用将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离; ;将抛物线上将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离. .【变式训练【变式训练】(2015(2015玉溪模拟玉溪模拟) )已知抛物线方程为已知抛物线方程为y y2 2=4x,=4x,直线直线l的方程的方程为为x-y+4=0,x-y+4=0,在抛物线上有一动点在抛物线上有一动点P P到到y y轴的距离为轴的距离为d d1 1,P,P到直线到直线l的距离为的距离为d d2 2, ,则则d d1 1+d+d2 2的最小值是的最小

19、值是( () )【解析【解析】选选D.D.因为抛物线的方程为因为抛物线的方程为y y2 2=4x,=4x,所以焦点坐标所以焦点坐标F(1,0),F(1,0),准线准线方程为方程为x=-1.x=-1.因为点因为点P P到到y y轴的距离为轴的距离为d d1 1, ,所以到准线的距离为所以到准线的距离为d d1 1+1,+1,又又d d1 1+1=|PF|,+1=|PF|,所以所以d d1 1+d+d2 2=d=d1 1+1+d+1+d2 2-1=|PF|+d-1=|PF|+d2 2-1,-1,焦点到直线的距离焦点到直线的距离d=d= 而而|PF|+d|PF|+d2 2d= ,d= ,所以所以d

20、d1 1+d+d2 2=|PF|+d=|PF|+d2 2-1-1 -1, -1,选选D.D.【加固训练【加固训练】1.1.抛物线抛物线y=-4xy=-4x2 2上的一点上的一点M M到焦点的距离为到焦点的距离为1,1,则点则点M M的纵的纵坐标是坐标是( () )【解析【解析】选选B.B.抛物线方程可化为抛物线方程可化为x x2 2 其准线方程为其准线方程为y y 设设M(xM(x0 0，y y0 0) )，则由抛物线的定义，可知，则由抛物线的定义，可知2.(20152.(2015潍坊模拟潍坊模拟) )已知抛物线的顶点在原点已知抛物线的顶点在原点, ,对称轴为对称轴为y y轴轴, ,抛物线抛物

21、线上一点上一点Q(-3,m)Q(-3,m)到焦点的距离是到焦点的距离是5,5,则抛物线的方程为则抛物线的方程为. .【解析【解析】设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=ay(a=ay(a0),0),则准线为则准线为y=- .y=- .因为因为Q(-3,m)Q(-3,m)在抛物线上在抛物线上, ,所以所以9=am.9=am.而点而点Q Q到焦点的距离等于点到焦点的距离等于点Q Q到准线的距离到准线的距离, , 解得解得,a=,a=2,2,或或a=a=18,18,所以所求抛物线的方程为所以所求抛物线的方程为x x2 2= =2y,2y,或或x x2 2= =18y.18y.答案答案: :x x

22、2 2= =2y2y或或x x2 2= =18y18y3.(20153.(2015天津模拟天津模拟) )设抛物线设抛物线x x2 2=4y=4y的焦点为的焦点为F,F,经过点经过点P(1,4)P(1,4)的直线的直线l与抛物线相交于与抛物线相交于A,BA,B两点两点, ,点点P P为线段为线段ABAB的中点的中点, ,则则 的值为的值为. .【解析【解析】如图如图, ,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则 =|AA=|AA1 1|+|BB|+|BB1 1| |=y=y1 1+1+y+1+y2 2+1+1=y=y1 1+y+y2 2+2=8+2

23、=10.+2=8+2=10.答案答案: :1010考点考点2 2 抛物线的标准方程及其性质抛物线的标准方程及其性质【典例【典例2 2】(1)(1)点点M(5,3)M(5,3)到抛物线到抛物线y yaxax2 2的准线的距离为的准线的距离为6 6，那么抛物，那么抛物线的标准方程是线的标准方程是( )( )(2)(2014(2)(2014湖南高考湖南高考) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD和正方形和正方形DEFGDEFG的边长分别为的边长分别为a,b(aa,b(ab),0)=2px(p0)经过经过C,FC,F两点两点, ,则则= =. .【解题提示【解题提示】(1)(1)只要确定只要确

24、定a a的值的值, ,即可求出抛物线的方程即可求出抛物线的方程, ,利用点利用点M M到到抛物线准线的距离即可求出抛物线准线的距离即可求出a.a.(2)(2)根据正方形的边长及根据正方形的边长及O O为为ADAD的中点的中点, ,求出点求出点C,FC,F的坐标的坐标, ,将两点坐标将两点坐标代入抛物线方程求解代入抛物线方程求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选D.D.将将y yaxax2 2化为化为x x2 2 y y，当，当a a0 0时，准线时，准线y y 由已知得由已知得3 3 6 6，所以，所以 1212，所以，所以a a 当当a a0 0时，准线时，准线y y ，由已知得，

25、由已知得|3|3 | |6 6，所以所以所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2=12y=12y或或x x2 2=-36y=-36y，故选，故选D.D.答案答案: : +1 +1【易错警示【易错警示】解答本例解答本例(1)(1)有两点容易出错有两点容易出错: :误将误将y=axy=ax2 2认为是抛物线的标准方程认为是抛物线的标准方程, ,从而误认为准线方程为从而误认为准线方程为y=- ;y=- ;易忽视对易忽视对a a进行分类讨论进行分类讨论. .【规律方法【规律方法】1.1.抛物线几何性质的确定抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线由抛物线的方

26、程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离的距离; ;从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程. .2.2.求抛物线的标准方程的方法及流程求抛物线的标准方程的方法及流程(1)(1)方法方法: :求抛物线的标准方程常用待定系数法求抛物线的标准方程常用待定系数法, ,因为未知数只有因为未知数只有p,p,所所以只需一个条件确定以只需一个条件确定p p值即可值即可. .(2)(2)流程流程: :因为抛物线方程有四种标准形式因为抛物线方程有四种标准形式, ,因此求抛物线方程时因此求抛物线方程时, ,需先需先定位定位, ,再定量再定量. .提醒提醒: :

27、求标准方程要先确定形式求标准方程要先确定形式, ,必要时要进行分类讨论必要时要进行分类讨论, ,标准方程有标准方程有时可设为时可设为y y2 2=mx=mx或或x x2 2=my(m0).=my(m0).【变式训练【变式训练】已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称轴对称, ,它的顶点在坐标原点它的顶点在坐标原点O,O,并且经并且经过点过点M(2,yM(2,y0 0).).若点若点M M到该抛物线焦点的距离为到该抛物线焦点的距离为3,3,则则|OM|=(|OM|=() )【解析【解析】选选B.B.由题意设抛物线方程为由题意设抛物线方程为y y2 2=2px(p0)=2px(p0)，则则M M到

28、焦点的距离为到焦点的距离为所以所以p=2,p=2,所以所以y y2 2=4x.=4x.所以所以y y0 02 2=4=42,2,所以所以y y0 0= =所以所以|OM|=|OM|=【加固训练【加固训练】1.(20151.(2015郑州模拟郑州模拟) )抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点F F到准线到准线l的距离的距离为为( () )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析【解析】选选B.B.该抛物线的焦点该抛物线的焦点F(1,0),F(1,0),准线准线l为为:x=-1.:x=-1.所以焦点所以焦点F F到准到准线线l的距离为的距离为2.2.2.2.设抛物线设抛物

29、线y y2 2=mx=mx的准线与直线的准线与直线x=1x=1的距离为的距离为3,3,则抛物线的方程为则抛物线的方程为 . .【解析【解析】当当m0m0时时, ,准线方程为准线方程为x=- =-2,x=- =-2,所以所以m=8.m=8.此时抛物线方程为此时抛物线方程为y y2 2=8x;=8x;当当m0m0,x+16m0,x1 1+x+x2 2=4k,x=4k,x1 1x x2 2=-4m,=-4m,即即ABAB的中点的中点M M的坐标为的坐标为(2k,2k(2k,2k2 2+m),+m),由由 得得(-x(-x0 0,1-y,1-y0 0)=3(2k,2k)=3(2k,2k2 2+m-1)

30、,+m-1),解得解得所以所以S SABPABP=4S=4SABFABF则则f(mf(m)=9m)=9m2 210m+1,10m+1,令令f(mf(m)=9m)=9m2 210m+1=010m+1=0，悟悟技法技法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似, ,一般要用到根与系数的关系一般要用到根与系数的关系. .(2)(2)有关直线与抛物线的弦长问题有关直线与抛物线的弦长问题, ,要注意直线是否过抛物线的焦点要注意直线是否过抛物线的焦点

31、, ,若过抛物线的焦点若过抛物线的焦点, ,可直接使用公式可直接使用公式|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p,+p,若不过焦点若不过焦点, ,则必须则必须用一般弦长公式用一般弦长公式. .(3)(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时, ,一般利用根与系数一般利用根与系数的关系采用的关系采用“设而不求设而不求”“”“整体代入整体代入”等解法等解法. .提醒提醒: :涉及弦的中点、斜率时涉及弦的中点、斜率时, ,一般用一般用“点差法点差法”求解求解. .通通一类一类1.(20151.(2015长沙模拟长沙模拟) )抛物线抛物线C:yC:y

32、2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F,MF,M是抛物线是抛物线C C上上的点的点, ,若若OFMOFM的外接圆与抛物线的外接圆与抛物线C C的准线相切的准线相切, ,且该圆面积为且该圆面积为36,36,则则p=(p=() )A.2 B.4 C.6 D.8A.2 B.4 C.6 D.8【解析【解析】选选D.D.因为因为OFMOFM的外接圆的圆心在线段的外接圆的圆心在线段OFOF的中垂线上的中垂线上, ,所以圆所以圆心到抛物线准线的距离为心到抛物线准线的距离为 由圆的面积公式得由圆的面积公式得p=8.p=8.2.(20152.(2015杭州模拟杭州模拟) )抛物线抛物线y y2

33、 2=x=x的焦点为的焦点为F F，点，点P(x,yP(x,y) )为该抛物线上为该抛物线上的动点，又点的动点，又点A(- A(- ，0)0)，则，则 的最小值是的最小值是( )( )【解析【解析】选选C.C.点点A A是抛物线的准线与是抛物线的准线与x x轴的交点，过轴的交点，过P P作抛物线准线的作抛物线准线的垂线，记垂足为垂线，记垂足为B B，则由抛物线定义可得，则由抛物线定义可得当当PABPAB最小时，最小时， 的值最小，此时，直线的值最小，此时，直线PAPA与抛物线相切，可求与抛物线相切，可求得直线得直线PAPA的斜率的斜率k=k=1,1,所以所以PAB=45PAB=45， 的值最小

34、为的值最小为3.(20153.(2015沈阳模拟沈阳模拟) )已知过抛物线已知过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点, ,斜率为斜率为 的直线交抛物线于的直线交抛物线于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1xx2 2) )两点两点, ,且且|AB|=9.|AB|=9.(1)(1)求该抛物线的方程求该抛物线的方程. .(2)O(2)O为坐标原点为坐标原点,C,C为抛物线上一点为抛物线上一点, ,若若 求求的值的值. .【解析【解析】(1)(1)由题意得直线由题意得直线ABAB的方程为的方程为与与y y2 2=2px=2

35、px联立，从而有联立，从而有4x4x2 2-5px+p-5px+p2 2=0=0，所以，所以x x1 1+x+x2 2= =由抛物线定义得由抛物线定义得|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p= +p=9,+p= +p=9,所以所以p=4,p=4,从而该抛物线的方从而该抛物线的方程为程为y y2 2=8x.=8x.(2)(2)由由(1)(1)得得4x4x2 2-5px+p-5px+p2 2=0,=0,即即x x2 2-5x+4=0,-5x+4=0,则则x x1 1=1,x=1,x2 2=4,=4,于是于是y y1 1=-2 ,y=-2 ,y2 2=4 ,=4 ,从而从而A(1,-2 )

36、,B(4,4 ).A(1,-2 ),B(4,4 ).设设C(xC(x3 3,y,y3 3),),则则 =(x=(x3 3,y,y3 3)=(1,-2 )+(4,4 )=(1,-2 )+(4,4 )=(4+1,4 -2 ).=(4+1,4 -2 ).又又y y3 32 2=8x=8x3 3, ,所以所以2 (2-1)2 (2-1)2 2=8(4+1)=8(4+1)，整理得整理得(2-1)(2-1)2 2=4+1,=4+1,解得解得=0=0或或=2.=2.自我纠错自我纠错21 21 直线与抛物线的位置关系问题直线与抛物线的位置关系问题【典例【典例】(2015(2015盐城模拟盐城模拟) )直线直线

37、l过点过点P(-1,1),P(-1,1),且与抛物线且与抛物线y y2 2=2x=2x只有只有一个公共点一个公共点, ,则直线则直线l的方程为的方程为_._.【解题过程【解题过程】【错解分析【错解分析】分析上面解题过程分析上面解题过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :上述解题过程忽视了直线与抛物线相交只有一个公共点的情况上述解题过程忽视了直线与抛物线相交只有一个公共点的情况, ,误认为方程误认为方程kyky2 2-2y+2k+2=0-2y+2k+2=0为一元二次方程为一元二次方程, ,事实上事实上, ,应分应分k=0k=0和和k0k0两两种情况讨论求解种情况讨论求解.

38、.【规避策略【规避策略】1.1.正确认识直线与抛物线的位置关系正确认识直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有一个公共点时有两种情况直线与抛物线有一个公共点时有两种情况: :(1)(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行直线与抛物线的对称轴重合或平行. .(2)(2)直线与抛物线相切直线与抛物线相切. .2.2.注意判别式注意判别式的应用条件的应用条件判断直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线的位置关系, ,一般是将直线与抛物线的方程联立消一般是将直线与抛物线的方程联立消元元, ,转化为形如一元二次方程的形式转化为形如一元二次方程的形式, ,注意讨论二次项系数是否为注意讨论二次项系数是否为0.0.若若

39、该方程为二次方程该方程为二次方程, ,则利用判别式判断方程解的个数则利用判别式判断方程解的个数. .【自我矫正【自我矫正】当直线当直线l的斜率不存在时的斜率不存在时, ,显然不满足题意显然不满足题意; ;当直线当直线l的斜率存在时的斜率存在时, ,若直线若直线l与抛物线的对称轴平行与抛物线的对称轴平行, ,则直线则直线l的方程为的方程为y=1,y=1,此时直线此时直线l与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点; ;若直线若直线l与抛物线的对称轴不平行与抛物线的对称轴不平行, ,设直线设直线l的方程为的方程为y-1=k(x+1)(k0).y-1=k(x+1)(k0).由由 消去消去x,x,得得kyky2 2-2y+2k+2=0.-2y+2k+2=0.因为抛物线与直线只有一个交点因为抛物线与直线只有一个交点, ,