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1、3. 3. 3. 3. 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法设设 u (x), v (x) 有连续导数，则有连续导数，则两边取积分：两边取积分： 分部积分公式分部积分公式分部积分公式分部积分公式要求：要求：如何选择如何选择 v ?例例1 1：= ?一般：一般：一般：一般：(1) v 要容易求出。要容易求出。 v v ( (x x) ) 的的的的e x ;次次选：选：sin x , cos x ；再次之：再次之：首选：首选：x 等幂函数；等幂函数；不不选：选：ln x .例例例例 题题题题 讨讨讨讨 论论论论例例2 2：小结（一）：小结（一）：小结（一）：小结（一）：可可降低降低x m 的幂
2、次数。的幂次数。例例3 3：例例4 4：小结（二）：小结（二）：小结（二）：小结（二）：可可使原来含超越函数的被积函数化为使原来含超越函数的被积函数化为代数函数的积分。代数函数的积分。例例5 5：再再再再生生生生法法法法例例6 6：由由再生法：再生法：例例7 7：+a 2-a 2由由再生法：再生法： 本本例还例还可用前面讲过的三角代换可用前面讲过的三角代换 令令 x = a tan t同理：同理：所以：所以：小结（三）：小结（三）：小结（三）：小结（三）：经过几次分部积分后，又出现原来的积分，经过几次分部积分后，又出现原来的积分，这时可移项合并求出积分。（再生法）这时可移项合并求出积分。（再生
3、法） 求不定积分往往将换元、分部法结合求不定积分往往将换元、分部法结合起来一起使用！下面再看一些例子。起来一起使用！下面再看一些例子。例例1 1：解一：解一：原式原式 =解解二：二：原式原式 =x1t例例2 2：解：解： 原式原式 =例例3 3：解：解：原式原式 =例例4 4：解：解：原式原式 =例例5:5:解：解： 原式原式 =例例6:6:例例7:7:解：解： 原式原式例例8 8：已知已知 f (x)的原函数为的原函数为解：解：请同学们自己看教材第请同学们自己看教材第209页页 例例 9：递推公式：递推公式：例例9 9：课课 外外 作作 业业习习 4 3（A）2（5，8，10）习习 4 3（
4、B）1（4，5，10，11，13， 15，16，19，20）4. 4. 4. 4. 有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分对有理函数、三角函数的有理式及对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循简单的无理函数的积分，仍有规律可循。一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数有理函数: :由两个多项式的商所表示的函数。由两个多项式的商所表示的函数。其中其中 m, n 都是正整数或零都是正整数或零,系数系数 a i , b j 均为实数，均为实数，R(x) 为多项式为多项式 (又称有理整函数又称有理整函数)有理真分式有理真分式有理假分式有理假分式 =多项式多
5、项式+真分式真分式性质：性质： 真真分式总可分解成若干个最简分式分式总可分解成若干个最简分式之和之和 部分分式部分分式之和。之和。a) 若若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即能分解成若干个单因式，即如：如：AB比较系数比较系数b) 若若 Q(x) 能分解若干个能分解若干个k重单因式，即重单因式，即如：如：比较系数比较系数：c) 若若 Q(x) 含有二次质因式含有二次质因式如：如：比较系数比较系数：d ) 若若 Q(x) 含有含有k次质因式次质因式从从理论上讲，理论上讲， 任何有理函数的不定积分都存在。任何有理函数的不定积分都存在。有理函数的不定积分必定是有理有理函数的不定积分必定是有理函数、
6、对数函数或反正切函数。函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定积分仍是即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。初等函数。求有理函数积分的方法：求有理函数积分的方法：求有理函数积分的方法：求有理函数积分的方法：(1) 把真分式拆成部分分式之和。把真分式拆成部分分式之和。(2) 化化 假分式假分式 = 多项式多项式 + 真分式真分式例例1 1：+x-x(3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分：利用恒等变形求某些有理式的不定积分：例例2 2：+ x2 - x2+ x - x+ x - x例例3 3：若令若令 e x = u ,x = ln u ,化为有理式的化为有理式的积分。积分。特点：特点
7、：被积函数的分子的次数比分母低一次，被积函数的分子的次数比分母低一次， 所以分子放入微分号后即与分母同次。所以分子放入微分号后即与分母同次。(4) 利用被积函数自身特点。利用被积函数自身特点。例例4 4：且且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)d x解：解：课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习习 4 41（1，10），），4（2，21）二、二、二、二、 可化为有理函数的积分举例可化为有理函数的积分举例可化为有理函数的积分举例可化为有理函数的积分举例三角函数有理式：三角函数有理式：指指由由三角函数和常数经过有限次四则三角函数和常数经过有限次四则如：如：总可总可通过适当变换，
8、通过适当变换，化成有理函数的积分。化成有理函数的积分。运算所构成的函数。记成运算所构成的函数。记成 万能变换万能变换万能变换万能变换化为化为 u 的有理函数的积分。的有理函数的积分。例：例：万能变换并不是最简捷的方法，万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。万不得已而用之。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。另外：若另外：若 总之解题要灵活。总之解题要灵活。例例1 1：例例2 2：例例3 3：( 分子分母同乘分子分母同乘 1 - sin x )若为若为 简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分简单无理函数的积分1.常利用根式代换，令
9、常利用根式代换，令2.( l 为为 m , n 的最小公倍数的最小公倍数 )例：例：3.配方化为形如：配方化为形如：的不定积分。的不定积分。再作三角代换或倒变换即可。再作三角代换或倒变换即可。4.例：例：解：解：原式原式 = 例：例：解：解：(1- )+例：例： 抽象函数的积分抽象函数的积分抽象函数的积分抽象函数的积分F(x) 是是 f (x) 的原函数。的原函数。例例1 1：已知已知 f (x) 的一个原函数是的一个原函数是解：解：例例2 2：解：解：-则则 f ( x )例例3 3：解：解： 原式原式 = 5. 5. 5. 5. 积分表的使用法积分表的使用法积分表的使用法积分表的使用法自学
10、自学 ！1 1）直接查得，注意表中的系数。）直接查得，注意表中的系数。2 2）适当变换，化为表中形式，回代。）适当变换，化为表中形式，回代。3 3）递推公式的使用。）递推公式的使用。注意三点：注意三点：对不定积分的说明：对不定积分的说明：对不定积分的说明：对不定积分的说明：1. 初等函数在其定义域上的原函数必存在；初等函数在其定义域上的原函数必存在；但这些原函数不都是初等函数。但这些原函数不都是初等函数。以下初等函数的原函数不是初等函数：以下初等函数的原函数不是初等函数：2. 如果如果 f (x) 的原函数是初等函数，则的原函数是初等函数，则说说能表示成有限形式，否则说能表示成有限形式，否则说不能表示成有限形式。不能表示成有限形式。课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习习 4 42（1，2，6，10），），3（6，10），），4（6，10，13，16，17，30）EndEnd
