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1、高考数学高考数学(江苏省专用)第四章解三角形1.(2014江苏,14,5分,0.29)若ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.A A组组 自主命题自主命题江苏卷题组江苏卷题组五年高考答案答案解析解析设ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c,cosC=,当且仅当a=b时等号成立,故cosC的最小值为.2.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线AC的 长 为 1 0cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm
2、和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40
3、,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=
4、40.设EGG1=,ENG=,则sin=sin=cosKGG1=.因为,所以cos=-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin=.因为0,所以cos=.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sincos+cossin=+=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)3.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析解析(1)因为cosB
5、=,0B,所以sinB=.由正弦定理得AB=5.(2)解法一:在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-.因为0A,所以sinA=.因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=.解法二:因为cosC=cos=,所以BC2-6BC-14=0,解得BC=7或-(舍去),所以cosA=-,又A(0,),所以sinA=,于是cos=cosA+sinA=.4.(2013江苏,18,16分,0.430)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直
6、线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析解析(1)在ABC中,因为cosA=,cosC=,所以sinA=,sinC=.从而sinB=sin-(A+C)=sin
7、(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=+=.由=,得AB=sinC=1040(m).所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为dm,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故当t=min时,甲、乙两游客距离最短.(3)由=,得BC=sinA=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3-3,解得v,所以为
8、使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.评析评析本题考查正、余弦定理,二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考查学生阅读能力和分析、解决实际问题的能力.考点一正、余弦弦定理考点一正、余弦弦定理1.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.B B组组统一命题统一命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组答案答案60解析解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=s
9、in(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=,又0B180,所以B=60.思路分析思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.2.(2017课标全国文改编,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=.答案答案解析解析本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sin
10、AsinC-sinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=.由=得=,sinC=,又0C,C=.方法总结方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+C)的应用.3.(2017山东理改编,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是.a=2b;b=2a;A=2B;B=2A.答案答案解析解析本题
11、考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90或2b=a,又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a.方法总结方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.4.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长
12、线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案答案;解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC为三角形的内角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC为锐角,cosBDC=.5.(2016课标全国改编,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=.答案答案3解析解析由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cos
13、A=,3b2-8b-3=0,b=3.评析评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.6.(2014课标,16,5分,0.465)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC面积的最大值为.答案答案解析解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=,又0A0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),
14、故=1.思路分析思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以为变元的方程求解.9.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为.答案答案8解析解析因为cosA=-,0A0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有co
15、sA=.所以sinA=.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB=4.方法总结方法总结解三角形中,要根据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定理.ABC中,也常用到sin(A+B)=sinC.考点二解三角形及其应用考点二解三角形及其应用1.(2015课标,16,5分,0.043)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案答案(-,+)解析解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得
16、=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得=.所以=,即y=.因为075,+75=180,所以30105,当=90时,易得y=;当90时,y=,又tan30=,tan105=tan(60+45)=-2-,结合正切函数的性质知,(-2,),且0,所以y=(-,)(,+).综上所述:y(-,+).评析评析本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.2.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案答案解析解析由cosC=,0C,得sinC=.由cosA=,0A,
17、得sinA=.所以sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=,根据正弦定理得b=.评析评析本题考查了正弦定理的应用及运算求解能力.3.(2016课标全国改编,9,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=.答案答案解析解析解法一:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD=,B=,AD=BD,BAD=,BD=,DC=a,tanDAC=2.tanBAC=tan=-3.cos2BAC=,sinBAC=.解法二:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD=,B=,AD=BD,BD=AD=,DC=a,AC=a,在ABC中,由正弦定理得=,s
18、inBAC=.4.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案答案100解析解析依题意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45.在ABC中,由=,得=,有CB=300,在RtBCD中,CD=CBtan30=100,则此山的高度CD=100m.5.(2013福建理,13,4分)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为
19、.答案答案解析解析cosBAD=cos=sinBAC=,故在ABD中,由余弦定理知:BD2=BA2+DA2-2BAADcosBAD=3,故BD=.6.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC
20、=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.解后反思解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的转化就说明了这一点.7.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tanA
21、=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.思路分析思路分析(1)由sinA+cosA=0,可求得tanA=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由SABC=42sinBAC=2得解.一题多解一题多解(2)另解一:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=,CD=,AD=,DB=CD=,SAB
22、D=SACD=2sinC=.另解二:BAD=,由余弦定理得cosC=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADCEDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.8.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3, =-6,SABC=3,求A和a.解析解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0Ab,a=5,c=
23、6,sinB=.(1)求b和sinA的值;(2)求sin的值.解析解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.(1)在ABC中,因为ab,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=.由正弦定理=,得sinA=.所以,b的值为,sinA的值为.(2)由(1)及a0,所以A.于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+.因为0A,所以0sinA,因此-2+.由此可知sinA+sinC的取值范围是.
24、评析评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.15.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求ABC的面积.解析解析(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由(1)及c=,sinA=,=,得a=,由ac,得Ab,故B=.4.(2013辽宁
25、理改编,6,5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=.5.(2013浙江理,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.答案答案解析解析令BAM=,BAC=,故|CM|=|AM|sin(-),M为BC的中点,|BM|=|AM|sin(-).在AMB中,由正弦定理知=,即=,sin=,cos=,=cos=sincos-cos2,整理得1=2sincos-cos2,解得tan=,故sin=.评析评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理
26、能力.6.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则=.答案答案2解析解析利用余弦定理,将bcosC+ccosB=2b转化为b+c=2b,化简得=2.7.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.解析解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin=sin(BAD-CAD)=
27、sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.8.(2013山东理,17,12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sinB=,由正弦定理得sinA=.因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=.因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.评
28、析评析本题考查三角恒等变换和解三角形等基础知识和基本技能,考查学生的运算求解能力.9.(2013北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.解析解析(1)因为a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cosA=.(2)由(1)知cosA=,所以sinA=.又因为B=2A,所以cosB=2cos2A-1=.所以sinB=.在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.所以c=5.评析评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是
29、解决本题的关键.10.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.解析解析由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因为tanA=,所以cosC=2sinC,tanC=.(6分)所以tanB=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)11.(2013课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解析解析(1)由
30、已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.又A=-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.由,和C(0,)得sinB=cosB.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsinB=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为+1.12.(2014陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解析
31、解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.sinB=sin-(A+C)=sin(A+C),sinA+sinC=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cosB=,当且仅当a=c时等号成立.cosB的最小值为.评析评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.13.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解析解析(1)因为mn,所以asin
32、B-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,从而sinB=,又由ab,知AB,所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以ABC的面积为absinC=.14.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.解析解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAc
33、osB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cosB=得sinB=,cos2B=2cos2B-1=-,故cosA=-,sinA=,cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=.评析评析本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.一、填空题(每题5分,共20分)1.(2017盐城高三第一学期期中,9)在ABC中,已知sinAsinBsinC=357,则此三角形的最大内角的
34、度数为.三年模拟A A组组 2015 201520172017年高考模拟年高考模拟基础题组基础题组( (时间：时间：5050分钟分钟 分值：分值：6060分分) )答案答案120解析解析因为sinAsinBsinC=357,所以abc=357,从而可知C最大,由余弦定理得cosC=-,又0C180,所以C=120.2.(2016江苏南京、盐城一模,7)在ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=5,A=,cosB=,则c=.答案答案7解析解析由cosB=,0BBD,所以为锐角,从而cos=.因此sinADC=sin=sincos+cossin=.所以ADC的面积S=ADDCsinA
35、DC=62=(1+).7.(2016江苏常州高级中学阶段调研,15)在ABC中,A=,AB=6,AC=3.(1)求sin的值;(2)若点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析解析(1)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.由正弦定理得sinB=.由题设知0B0,且a2+c2=kb2,kb2-b20,k1,1k2.4.(2016江苏无锡、常州、镇江二模,10)若一个钝角三角形的三内角成等差数列,且最大边长与最小边长之比为m,则实数m的取值范围是.答案答案(2
36、,+)解析解析依题意可设三内角为60-,60,60+.由该三角形为钝角三角形可得3060,由正弦定理得m=-1+,由3060,得tan,所以0-tan2.方法拓展方法拓展钝角三角形三个内角成等差数列,则三个角可以表示为-,+.二、解答题(共20分)5.(2016江苏南通、扬州、泰州调研,15)在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1.(1)求角C的大小;(2)若A=15,AB=,求ABC的周长.解析解析(1)因为tanA+tanB+tanAtanB=1,即tanA+tanB=1-tanAtanB.因为在斜三角形ABC中,1-tanAtanB0,所以tan(A+B)=1,即t
37、an(180-C)=1,亦即tanC=-1.因为0C180,所以C=135.(2)在ABC中,A=15,C=135,则B=180-A-C=30.由=,得=2,故BC=2sin15=2sin(45-30)=2(sin45cos30-cos45sin30)=,CA=2sin30=1.所以ABC的周长为AB+CA+BC=+1+=.6.(2015江苏苏州一模,18)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内布设一条对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成,边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成,要求A和C互补,且AB=BC.(1)设AB=x米,c
38、osA=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;(2)求四边形ABCD面积的最大值.解析解析(1)在ABD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosA.在CBD中,BD2=CB2+CD2-2CBCDcosC.因为A和C互补,所以AB2+AD2-2ABADcosA=CB2+CD2-2CBCDcosC=CB2+CD2+2CBCDcosA,即x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA.解得cosA=,即f(x)=,其中x(2,5).(2)四边形ABCD的面积S=(ABAD+CBCD)sinA=x(9-x)+x(5-x)=x(7-x)=.记g(x
39、)=(x2-4)(x2-14x+49),x(2,5).由g(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得x=4.函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减,因此g(x)的最大值为g(4)=129=108.所以S的最大值为=6.答:四边形ABCD面积的最大值为6m2.一、填空题1.(2017江苏苏州期中)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3acosC+b=0,则tanB的最大值为.C C组组 教师专用题组教师专用题组答案答案解析解析由3acosC+b=0可得3a+b=03(a2+b2-c2)+2b
40、2=0,从而3a2+5b2-3c2=0b2=c2-a2,则cosB=当且仅当a2=c2,即c2=4a2时,等号成立,设cos=,则0Bb2-a2-c2=20,从而cosC0,又0C,0C,则cosC=,由于0C,因此cosC最小时,tanC最大,由cosC=可得sinC=,此时tanC=.二、解答题3.(2016江苏苏北三市模拟,15)如图,在梯形ABCD中,已知ADBC,AD=1,BD=2,CAD=,tanADC=-2.求:(1)CD的长;(2)BCD的面积.解析解析(1)由tanADC=-2,结合题图可得sinADC=,cosADC=-.所以sinACD=sin=sin=sinADCcos+cosADCsin=,在ADC中,由正弦定理得=,所以CD=.(2)因为ADBC,所以BCD+ADC=,所以cosBCD=cos(-ADC)=-cosADC=,所以sinBCD=.在BDC中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,所以BC2-2BC-35=0,解得BC=7,所以SBCD=BCCDsinBCD=7=7.
