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1、线性微分方程组线性微分方程组基本知识线性微分方程组基本知识齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组高阶线性微分方程高阶线性微分方程2007年8月1南京航空航天大学 理学院 数学系线性微分方程组的有关概念1 线性微分方程组的定义定义定义 形如的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系2 函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为2007年8月4南京航空航天大
2、学 理学院 数学系注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系3 一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:则(1)可写成2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系例例1验证向量是初值问题2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程 组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题若令:2007年8月8南京航空航天大学 理学院 数学系则有:而且:即方程(2)可化为2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系例例2
3、将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解解:设则有即有也即2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系注注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如如: 方程组不能化为一个二阶微分方程.2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组高阶线性微分方程高阶线性微分方程2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系一阶线性微分方程组:称称(4)为一阶为一阶齐线性微分方程组齐线性微分方程组.非齐线性微分方程组非齐线性微
4、分方程组.2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系一一 齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组1 1 叠加原理定理定理2证明证明:则有则有所以所以2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系2 函数向量组线性相关与无关2007年8月16南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明:例例1证明:函数向量组在任何区间都是线性相关的.2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系证明证明:要使例例2 证明:函数向量组2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系则需因为所以故线性无关.2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系3 函数向量组线性相关与无关的判别准则(1) (
5、1) WronskiWronski行列式行列式行列式行列式由这n个向量函数所构成的行列式称为这n个向量函数所构成的Wronski行列式行列式2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系(2)定理3证明证明:相关,2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系(3)定理4证明证明:“反证法”则现在考虑函数向量由定理2知,2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系由(#)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾矛盾注1:注2:2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系(4)定理5(4)一定存在一定存在n个线性无关的解个线性无关的解.证明证明:由解的存在唯一性定理知,(4
6、)一定存在满足初始条件且2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系4 通解结构及基本解组定理6证明证明: 由已知条件,2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系又因为从而可知2007年8月26南京航空航天大学 理学院 数学系即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量由定理2知,由上式知,因此,由解的存在唯一性定理,应有即2007年8月27南京航空航天大学 理学院 数学系推论1 (4)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组基本解组:为(4)的一个基本解组.注1: (4)的基本解组不唯一.注2: (4)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分
7、方组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.2007年8月28南京航空航天大学 理学院 数学系首先有:线性相关.证明:2007年8月29南京航空航天大学 理学院 数学系即有即向量组(*)是线性相关的.2007年8月30南京航空航天大学 理学院 数学系反之,如果向量组(*)是线性相关,当然有从本节定理6立即得到2007年8月31南京航空航天大学 理学院 数学系推论22007年8月32南京航空航天大学 理学院 数学系5 解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义则称这个矩阵为(4)的解矩阵.则称该解矩阵为(4)的基解矩阵.基解矩阵- 以基本解组为列构成的矩阵.2007年8月33
8、南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月34南京航空航天大学 理学院 数学系注1: 行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵注2:2007年8月35南京航空航天大学 理学院 数学系例3验证是方程组的基解矩阵.解:由于又由于2007年8月36南京航空航天大学 理学院 数学系证明:2007年8月37南京航空航天大学 理学院 数学系证明:于是有由此可得2007年8月38南京航空航天大学 理学院 数学系即有例4验证是方程组基解矩阵,并求其通解.解:2007年8月39南京航空航天大学 理学院 数学系又由于其通解为2007年8月40南京航空航天大学 理学院 数学系二二 非齐次线性微分方程组非齐
9、次线性微分方程组1 非齐线性微分方程组解的性质性质性质1性质性质22007年8月41南京航空航天大学 理学院 数学系性质性质32 通解结构定理定理定理7这里C是确定的常数列向量.证明: 由性质2知,即这里C是确定的常数列向量.2007年8月42南京航空航天大学 理学院 数学系3 常数变易公式则(4)的通解为其中C是任意的常数列向量,下面寻求(1)形如的解, 把它代入(1),得(1) 一阶线性微分方程组的常数变易公式2007年8月43南京航空航天大学 理学院 数学系从而可验证(5)是方程组(1)满足初始条件的特解.因此可得2007年8月44南京航空航天大学 理学院 数学系定理8(1) 向量函数是
10、(1)的解,且满足初始条件(2) 方程组(1)的通解为注1:注2: 公式(5)或(6)称为(1)的常数变易公式常数变易公式.2007年8月45南京航空航天大学 理学院 数学系例5求方程组的通解.解: 由例4知是对应齐次方程的基解矩阵,由(5)得方程的特解为2007年8月46南京航空航天大学 理学院 数学系所以,原方程的通解为2007年8月47南京航空航天大学 理学院 数学系例6试求初值问题的解.解: 由例3知是对应齐次方程的基解矩阵,2007年8月48南京航空航天大学 理学院 数学系故方程满足初始条件的解是2007年8月49南京航空航天大学 理学院 数学系(2) n阶线性微分方程的常数变易公式
11、则(3)对应齐次方程的基本解组为从而其基解矩阵为2007年8月50南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月51南京航空航天大学 理学院 数学系推论推论3的基本解组,那么非齐线性方程的满足初始条件解为2007年8月52南京航空航天大学 理学院 数学系公式(9)称为(8)的常数变易公式.方程(8)的通解可表为2007年8月53南京航空航天大学 理学院 数学系但是2007年8月54南京航空航天大学 理学院 数学系而通解是2007年8月55南京航空航天大学 理学院 数学系例7 试求方程的一个解.解:易知对应齐线性方程的基本解组为由(11)求方程的一个解,这时故2007年8月56南京航空航天大学 理学院 数学系所以也是原方程的一个解.2007年8月57南京航空航天大学 理学院 数学系
