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1、第十三讲第十三讲 函数与变量之间的关系函数与变量之间的关系 1;.一一. .课标链接课标链接函数与变量之间的关系函数与变量之间的关系 变变量量和和函函数数是是用用数数学学思思想想描描述述事事物物运运动动变变化化的的重重要要工工具具，是是数数形形结结合合的的重重要要体体现现. .函函数数知知识识是是中中学学数数学学的的主主要要内内容容之之一一，是是中中考考的的测测试试重重点点. .了了解解常常量量与与变变量量、自自变变量量与与因因变变量量的的意意义义以以及及函函数数的的概概念念，会会用用表表格格、图图象象或或关关系系式式分分析析、表表达达两两个个变变量量之之间间的的函函数数关关系系，能能够够结结
2、合合具具体体问问题题判判断断函函数数自自变变量量的的取取值值范范围围. .题题型型有有填填空空、选选择择与与解解答题，其中以计算型综合解答题居多答题，其中以计算型综合解答题居多. . 2;.二二. .复习目标复习目标1.1.了解常量、变量的意义；能通过实际情境探索两个变量之间的关系，了解常量、变量的意义；能通过实际情境探索两个变量之间的关系，能确定其中的自变量和因变量，能够运用表格、图象或关系式分析表达能确定其中的自变量和因变量，能够运用表格、图象或关系式分析表达两个变量之间的关系；两个变量之间的关系；2.2.了解自变量与函数的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数了解自变量与函数的意义，
3、能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系，了解函数的三种表达形式：解析法、列表法、图象法；关系，了解函数的三种表达形式：解析法、列表法、图象法；3.3.结合具体问题，会求自变量的取值范围以及函数的值，能根据自变量结合具体问题，会求自变量的取值范围以及函数的值，能根据自变量与因变量之间的变化图象确定两个变量之间的特定关系与因变量之间的变化图象确定两个变量之间的特定关系. . 3;.三三. .知识要点知识要点1.1.常量与变量的概念：常量与变量的概念： 在一个变化过程中，数值保持不变的量，叫常量在一个变化过程中，数值保持不变的量，叫常量. .在一个变在一个变化过程中，可以取不同数值的量，叫变量化过
4、程中，可以取不同数值的量，叫变量. .若一个变量若一个变量y随着变量随着变量x的变化而变化，则把的变化而变化，则把x叫自变量，叫自变量，y叫因变量叫因变量. . 所谓常量和变量只是相对于某一个变化过程而言，不是绝对所谓常量和变量只是相对于某一个变化过程而言，不是绝对的的. .4;.三三. .知识要点知识要点2.2.函数的概念：函数的概念： 一般地，设在一个变化过程有两个变量一般地，设在一个变化过程有两个变量x、y，如果对于给定的每一，如果对于给定的每一个个x的值，的值，y都有惟一的值与它相对应，那么都有惟一的值与它相对应，那么y就是就是x的函数，其中的函数，其中x是自是自变量，变量，y是因变量
5、，把是因变量，把y叫做叫做x的函数的函数. .5;.三三. .知识要点知识要点3.3.函数自变量的取值范围：函数自变量的取值范围：若解析式为整式或解析式为奇次根式，则自变量取全体实数；若解析式为整式或解析式为奇次根式，则自变量取全体实数；若解析式为分式，则自变量取使分母部分不为若解析式为分式，则自变量取使分母部分不为0 0的全体实数；的全体实数；若解析式为若解析式为x0 0，则自变量取，则自变量取x00的全体实数；的全体实数；若解析式为偶次根式，则自变量取使被开方数为非负数的全体实数；若解析式为偶次根式，则自变量取使被开方数为非负数的全体实数；6;.三三. .知识要点知识要点3.3.函数自变量
6、的取值范围：函数自变量的取值范围： 若解析式为上述几种解析式复合而成，则必须先求出式子中各部分若解析式为上述几种解析式复合而成，则必须先求出式子中各部分自变量的取值范围，然后再联立取它们的公共部分自变量的取值范围，然后再联立取它们的公共部分. .即它们之间是即它们之间是“并且并且”的逻辑关系。的逻辑关系。如果函数涉及实际问题或几何问题，那么自变量的取值，除了应使函如果函数涉及实际问题或几何问题，那么自变量的取值，除了应使函数解析式有意义，还应使实际问题或几何问题有意义数解析式有意义，还应使实际问题或几何问题有意义. .求函数自变量取值范围的步骤：先根据题意建立不等式或不等式组，然求函数自变量取
7、值范围的步骤：先根据题意建立不等式或不等式组，然后求解不等式（组），最后写出结论后求解不等式（组），最后写出结论. .7;.三三. .知识要点知识要点4.4.函数值：函数值： 当自变量在其取值范围内取某个值时，所求得的函数的对应值当自变量在其取值范围内取某个值时，所求得的函数的对应值. . 8;.三三. .知识要点知识要点5.5.函数的表示方法：函数的表示方法：列表法：列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法列表法：列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法. .优点：一目了然，不需要计算就可以直接查出与表格中已有的自变量优点：一目了然，不需要计算就可以直接查出与表格中已有的自变量的每一个值对应
8、的函数值，使用方便；的每一个值对应的函数值，使用方便；缺点：列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中缺点：列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律也不容易看出自变量与函数之间的对应规律. .9;.三三. .知识要点知识要点5.5.函数的表示方法：函数的表示方法：图象法：利用自变量和函数值作为横、纵坐标的点，在坐标平面上图象法：利用自变量和函数值作为横、纵坐标的点，在坐标平面上表示两个变量之间函数关系的方法表示两个变量之间函数关系的方法. .优点：图象法形象直观，通过函数图象，可以直接、形象地把函数关优点：图象法形象直观，通过函数
9、图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地反映函数的一些性质，比如增减性，最值问系表示出来，能够直观地反映函数的一些性质，比如增减性，最值问题等；题等；缺点：由函数图象观察只能得到近似的数量关系缺点：由函数图象观察只能得到近似的数量关系. .10;.三三. .知识要点知识要点5.5.函数的表示方法：函数的表示方法：解析法：把两个变量之间的函数关系解析法：把两个变量之间的函数关系, ,用一个等式表示的方法用一个等式表示的方法. .优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系；关系；缺点：求对应值时，往往需要
10、经过比较复杂的计算，在实际问题中，缺点：求对应值时，往往需要经过比较复杂的计算，在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来有的函数关系不一定能用解析式表达出来. .11;.三三. .知识要点知识要点6.6.函数的图象：函数的图象： 对于一个函数，如果把自变量对于一个函数，如果把自变量 x与函数与函数 y的每对对应值分别作为点的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内，描出相应的点，这些点所组成的图的横坐标与纵坐标，在坐标平面内，描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象形，就是这个函数的图象. .描点法画函数图象的步骤：描点法画函数图象的步骤：A A列表：根据已知条
11、件用列表法列出自变量与函数的一些对应值；列表：根据已知条件用列表法列出自变量与函数的一些对应值；B B描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；C C连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来起来. . 12;.三三. .知识要点知识要点7.7.函数与方程、不等式的联系与转化函数与方程、不等式的联系与转化 设有两个函数设有两个函数y1、y2都是都是x的函数，若它的函数，若它们都能用含们都能用含x的解析式表示，那么，的解析式表示，那么， 当两个函数值相等时，
12、可以转化为关于当两个函数值相等时，可以转化为关于x的方程的方程y1 1y2 2； 当第一个函数的值小于第二个函数的值时，转化为关于当第一个函数的值小于第二个函数的值时，转化为关于x的不等式的不等式y1 1y2 2. . 13;.四四. .典型例题典型例题例例1 （20062006年年山西）代数式山西）代数式 有意有意义时，字母义时，字母x的取值范围是（的取值范围是（ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 14;.四四. .典型例题典型例题思路分析：思路分析：使代数式有意义，要求组成代数式的各部分都要意义，所使代数式有意义，要求组成代数式的各部分都要意义，所以根据题意有以根据题意有
13、 ，所以，所以 ，故选，故选D.D.知识考查：求函数自变量的取值范围及其方法步骤知识考查：求函数自变量的取值范围及其方法步骤. .解：解：D.D.15;.四四. .典型例题典型例题例例2 2 （20062006年年福建）小明所在学校与家距离为福建）小明所在学校与家距离为2 2千米，某天他放学后其自千米，某天他放学后其自行车回家，行驶了行车回家，行驶了5 5分钟后，因故停留分钟后，因故停留1010分钟，继续起了分钟，继续起了5 5分钟到家分钟到家. .如图如图所示，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离所示，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用（千米）与所用时间时间t（
14、分）之间的关系？（分）之间的关系？16;.四四. .典型例题典型例题思路分析：解决此题需抓住学校与家距离思路分析：解决此题需抓住学校与家距离2 2千米和中途因故停留千米和中途因故停留1010分钟这两重要条件进行分析判断，分钟这两重要条件进行分析判断，D D大致符合小明回家的过程中大致符合小明回家的过程中离家的距离离家的距离s（千米）与所用时间（千米）与所用时间t（分）之间的关系（分）之间的关系. . 知识考查：变量之间的关系以及描述变量之间关系的方法，能够知识考查：变量之间的关系以及描述变量之间关系的方法，能够从图象中分析实际问题中两个变量之间的关系从图象中分析实际问题中两个变量之间的关系.
15、.解：解：D.D. 17;.四四. .典型例题典型例题例例3 3 （20062006年年怀化）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，怀化）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践， 两两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了我已加工了2828千克，千克，你呢？你呢？”小丽思考了一会儿说：小丽思考了一会儿说：“我来考考你，图（我来考考你，图（1 1）、图（）、图（2 2）分别）分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：小明思考后回答
16、：“你难不倒我，你现在加工了你难不倒我，你现在加工了_千克千克.”.”18;.四四. .典型例题典型例题思路分析：结合已知条件和图象，先求出小思路分析：结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键，小明的工作效率为解决问题的关键，小明的工作效率为 ，工作时间工作时间 ， 两人工作时间相同，两人工作时间相同，小丽的工作效率为小丽的工作效率为 ，所以小丽的工作，所以小丽的工作量量 （千克）（千克）. .知识考查：列代数式及整式的化简、去括号、合并同类项，探索数学知识考查：列代数式及整式的化简、去括号、合并同类项，探索数学规律
17、规律. .解：解：20.20.19;.五五. .能力训练能力训练（一）选择题（一）选择题1.1.（20062006山西）若有意义山西）若有意义 ，则，则x的取值范围的取值范围是（是（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 2.2.（20062006宿迁）小明从家骑车上学，先上坡到达宿迁）小明从家骑车上学，先上坡到达A A地地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示如后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（校回到家需要的时间是（ ）A A8.68.6分钟分钟 B
18、B9 9分钟分钟 C C1212分钟分钟 D D1616分钟分钟20;.五五. .能力训练能力训练（一）选择题（一）选择题3.3.（20062006十堰）学校升旗仪式上，十堰）学校升旗仪式上， 徐徐上升的国旗的高度与时间的徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ）21;.五五. .能力训练能力训练（一）选择题（一）选择题4.4.（20062006贵阳）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：贵阳）小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还今日返，老父早早到
19、车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”如如果用纵轴果用纵轴y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家表示父亲离家的时间，的时间， 那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）22;.五五. .能力训练能力训练（二）填空题（二）填空题5. 5. 一辆汽车以一辆汽车以45km/h45km/h的速度行驶，设行驶的路程为的速度行驶，设行驶的路程为s(km),(km),行驶的时间为行驶的时间为t(h)(h)，则，则s与与t的关系式为的关系式为 ，自变量是自变量是 ，因变量是，因变量是 . . 6.6.（200
20、52005岳阳）函数中岳阳）函数中 的变量的变量x的取值范围的取值范围是是 . .7.7.（20062006武汉）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律武汉）下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依次规律，第拼接而成，依次规律，第5 5个图案中白色正方形的个数为个图案中白色正方形的个数为 . .23;.五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题8.8.小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离距离y（千米）与所用的时间（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函（小时）之间关系的函数图象数图象. .（1 1）根据
21、图象回答：）根据图象回答：小明到达离家最远的地方小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？需几小时？此时离家多远？（2 2）求小明出发两个半小）求小明出发两个半小时离家多远？时离家多远？（3 3）求小明出发多长时间）求小明出发多长时间距家距家1212千米？千米？24;.五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题9.9.弹簧挂上物体后会伸长弹簧挂上物体后会伸长, ,已知一弹簧的长度已知一弹簧的长度(cm)(cm)与所与所挂物体的质量挂物体的质量(kg)(kg)之间的关系如下表之间的关系如下表: : （1 1）上表反映了哪些变量之间的关系）上表反映了哪些变量之间的关系? ?哪个是自变量
22、哪个是自变量? ?哪个是因变量哪个是因变量? ?（2 2）当物体的质量为）当物体的质量为3 3kg时，弹簧的长度怎样变化时，弹簧的长度怎样变化? ?（3 3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化? ? （4 4）如果物体的质量为）如果物体的质量为xkg，弹簧的长度为，弹簧的长度为y cmcm，根据上表写出，根据上表写出y与与x的关的关系式，并画出图象；系式，并画出图象；（5 5）当物体的质量为）当物体的质量为2525kg时，根据时，根据(4)(4)的关系式，求弹簧的长度的关系式，求弹簧的长度. .25;.五五. .能力训练能力训练（三）解答题（三）解答题1010某市体育馆原有长某市体育馆原有长100m100m，宽，宽60m60m的矩形游泳池，的矩形游泳池，准备扩建成周长为准备扩建成周长为600m600m的较大矩形游泳池的较大矩形游泳池. .假设长增假设长增加加x米，宽增加米，宽增加y米，扩建后面积为米，扩建后面积为S平方米平方米. .(1)(1)将将y表示成表示成x的函数；的函数；(2)(2)将将S表示成表示成x的函数的函数. .26;.
