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1、金融工程专题金融工程专题金融衍生产品定价的数金融衍生产品定价的数值方法值方法李志生中南财经政法大学 新华金融保险学院22024/7/29数值方法分类金融定价中的数值方法金融定价中的数值方法Numerical Methods in FinanceMonte Carlo模拟模拟Monte Carlo Simulation有限差分有限差分Finite Difference Methods 二叉树二叉树Binomial Trees32024/7/29二叉树模型简介John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simpli
2、fied Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：）：229-263 42024/7/29二叉树模型实例问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3个月后的价格可能为ST=￥22或ST = ￥18执行价格K=￥20、有效期T=3个月的欧式看涨期权的当前价格f0是多少？ST= ￥22ST= ￥18S0= ￥20fT=￥2fT=￥0看涨期权的到期价值看涨期权的到期价值u当当S ST T2020时，执行权利：时，执行权利：u当当S ST T f0?62024/7/29二叉树模型实例思路：构造一个由股票和看涨期权组成的投资组合，使该组合在
3、3个月末的价值是确定的，这样该组合就复制了无风险资产的现金流！假设买入股股票同时卖出一份看涨期权 组合在3个月末的价值为： 为了复制无风险资产：22-2=18ST= ￥22ST= ￥18S0= ￥20fT= ￥2fT= ￥0STD D-fT=f0=？72024/7/29二叉树模型实例上述组合终值恒为￥9无套利原理：无风险组合的收益率应为无风险利率, 组合的现值为：9e=￥(无风险利率=12%)净现值定价法：资产的价格等于其期望收益的现值ST= ￥22ST= ￥18S0= ￥20fT= ￥2fT= ￥0Go= f0=￥0f0=？82024/7/29二叉树模型基本思想p假设基础资产价格的运动是由大
4、量的小幅假设基础资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，在每个小的时间间隔内度二值运动构成，在每个小的时间间隔内资产的价格只有两种运动的可能：上升或资产的价格只有两种运动的可能：上升或者下降者下降p通过现金流再造技术和无套利原理求解衍通过现金流再造技术和无套利原理求解衍生证券的价格生证券的价格p1-pS0uS0dS092024/7/29二叉树模型基本思想0.50.51 1- 1 1时间跨度时间跨度=10.50.50.50.5时间跨度时间跨度=1/2时间跨度时间跨度=1/20.50.5时间跨度时间跨度=1/n0.50.5时间跨度时间跨度=1/n0.50.5时间跨度时间跨度=1/n 把时间区间
5、把时间区间分成两段分成两段继续细分继续细分时间区分时间区分102024/7/29二叉树模型基本思想单期树单期树二期树二期树n期树期树正态正态分布分布D Dt=1D Dt=1/2D Dt=1/n112024/7/29二叉树模型基本思想时间跨度：时间跨度：tD Dt=11 1-1 1当当 时，根据中心极限定理，时，根据中心极限定理， 趋向于布朗运动趋向于布朗运动特征特征1： 服从标准正态分布服从标准正态分布特征特征2：对任意不同时间间隔：对任意不同时间间隔D Dt，D Dz相互独立相互独立122024/7/29二叉树模型一般方法组合：买入份基础证券同时卖出1份衍生证券(1) 如基础证券价格上升，组
6、合终值为：S0u-fu(2) 如基础证券价格下降，组合终值为：S0d-fd 当(1)、(2)价值相等时 S0u-fu =S0d-fd基础证券基础证券: S0u基础证券基础证券: S0d基础证券基础证券: S0衍生证券衍生证券: fu衍生证券衍生证券: fd衍生证券衍生证券: f ?132024/7/29二叉树模型一般方法n若无风险收益率为若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为，上述组合终值对应的现值为n组合的成本应该等于其现值组合的成本应该等于其现值衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率未来价格、
7、衍生证券的类型和期限、无风险利率142024/7/29二叉树模型一般方法公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在其价格中其价格中基础证券基础证券: S0u基础证券基础证券: S0d基础证券基础证券: S0P152024/7/29二叉树模型推广变量p可以解释为基础证券价格上升的概率，1-p则为基础证券价格下降的概率衍生证券未来价值的期望可表示为：pfu(1p)fd 衍生证券的价值是其衍生证券
8、的价值是其未来期望价值未来期望价值按按无风险利率无风险利率贴现贴现得到的现值得到的现值未来期望价值未来期望价值基于虚拟概率基于虚拟概率p的期望值！的期望值！162024/7/29二叉树模型推广 时基础证券未来的期望价格 E(ST)pS0u(1p)S0d pS0 (ud)S0d S0erT基础证券的价格以无风险利率增长设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础证券的收益率等于无风险利率 S0uS0dp1-p风险中性世界风险中性世界？172024/7/29二叉树模型风险中性定价风险中性世界（risk-neutral world）投资者对风险采取无所谓的态度所有资产的期望收益率都是无风险利率资
9、产的价格可以用其期望值按无风险利率贴现风险中性定价与无套利均衡无套利均衡分析的过程和结果与投资者的风险偏好程度无关如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立182024/7/29二叉树模型风险中性定价例子：在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利率12：在三个月末，看涨期权价值为￥2的概率为0.6523，价值为￥0的概率为0.3477，因此其期望值为：按无风险
10、利率贴现得期权现在的价值： ST= ￥22ST= ￥18S0= ￥20fT= ￥2fT= ￥0Bc192024/7/29二叉树模型-参数估计风险中性世界风险中性世界nt内的均值内的均值： nt内的方差内的方差：附加条件附加条件(1)(2)基础证券波动率基础证券波动率s s，不支，不支付红利，无风险收益率付红利，无风险收益率rp1-pSSuSdD Dt202024/7/29多期二叉树S0u3d , 4p3qS0u4, p4S0ud3 , 4pq3S0d4 , q4S0, 1S0u, pS0d, qS0ud, 2pqS0u2d2 , 6p2q2S0u2, p2S0d2, q2S0u3, p3S0u
11、2d, 3p2q S0ud2 , 3pq2 S0d3 , q3 212024/7/29衍生证券的价格S0uT-1d , CT1pT-1qS0uT, pTS0udT-1, CTT-1pqT-1S0dT , qTS0, 1S0u, pS0d, qS0ud, 2pqS0u2, p2S0d2, q2执行远期和约：执行远期和约：执行看涨期权：执行看涨期权：执行看跌期权：执行看跌期权：222024/7/29衍生证券的价格期权看涨期权（欧式、美式）欧式看跌期权美式看跌期权执行期权执行期权等待等待按照以上算法，只要给定按照以上算法，只要给定 fT, 0 fT, T ，就可以通过，就可以通过逆推的法则求出美式看
12、跌期权在当前时间的价格逆推的法则求出美式看跌期权在当前时间的价格f0, 0 Go232024/7/29衍生证券的价格期权例子：S0300；K300；r8%； q0%；s30%；T4m求解思路：把4个月分为4个周期设定u1/d 242024/7/29衍生证券的价格期权23.387.6838.3560.7114.960.000.000.0029.1390.99124.1956.730.000.000.00424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17欧（美）式看涨期
13、权欧（美）式看涨期权252024/7/29衍生证券的价格期权0.000.000.0047.7187.83424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17欧式看跌期权欧式看跌期权262024/7/29衍生证券的价格期权424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17美式看跌期权美式看跌期权Max(24.89, 22.90)Max(68.
14、64, 66.65)Max(47.71, 45.72)272024/7/29衍生证券的价格期权欧欧( (美美) )式看涨式看涨期权期权B-SB-S模型结果模型结果24.619624.6196二叉树结果二叉树结果4 4期期4040期期400400期期23.379323.379324.490824.490824.606624.6066欧式看欧式看跌权跌权B-SB-S模型结果模型结果16.725316.7253二叉树结果二叉树结果4 4期期4040期期400400期期15.485015.485016.596516.596516.712416.7124精度分析精度分析282024/7/29衍生证券的价
15、格远期远期和约（多头）的价格在时间t时卖出期货（平仓）在时间t时等待最优策略：292024/7/29衍生证券的价格远期 7.89-18.9633.0860.71 3.97-43.75-66.65-22.9029.1390.99124.1956.730.00-47.71-87.83424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17远期合约（多头）远期合约（多头）302024/7/29衍生证券的价格支付已知红利的证券的衍生工具的价格除权日除权日S0S0uS0dS0ud-
16、DS0u2-DS0d2-D312024/7/29衍生证券的价格支付连续红利的证券的衍生工具的价格基础证券波动率基础证券波动率s s，红利，红利收益率收益率q，无风险收益率，无风险收益率rp1-pSSuSdD Dt322024/7/29奇异期权424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17亚式看涨期权亚式看涨期权 f=meanf=mean路径路径 -K-K359.41345.72322.2059.4145.7222.20332024/7/29奇异期权424.193
17、89.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17障碍期权，障碍期权，knockknockinin，B B360 360 （路径达到设置障碍有效）（路径达到设置障碍有效）424.19389.00356.73124.1956.73 0342024/7/29奇异期权424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17障碍期权，障碍期权，knockknocko
18、utout，B B360360（路径没有达到设置障碍有（路径没有达到设置障碍有效）效） 424.19389.00356.73 0 056.73352024/7/29奇异期权424.19389.00356.73356.73327.14327.14300.00300.00300.00275.11275.11252.29252.29231.36212.17回溯期权回溯期权 f=maxf=max路径路径-K -K 424.19389.00356.73124.1989.9056.73356.73327.1456.7327.14327.14300.0027.14 0B BC C362024/7/29百慕大
19、期权标准的百慕大权证通常在权证上市日和到期日之间多设定一个行权日,取名“百慕大”是因为百慕大位于美国本土与夏威夷之间。.欧式期权只能在到期日执行,而美式期权可以在期权有效期内任何时间执行。百慕大式期权介于两者之间,可以在期权有效期内设置几个行权日. 372024/7/29基本框架金融学中的数值方法金融学中的数值方法Numerical Methods in FinanceMonte Carlo模拟模拟Monte Carlo Simulation有限差分有限差分Finite difference methods 二叉树二叉树Binomial Trees382024/7/29Monte Carlo模
20、拟求圆周率p建立一个原点在圆心的坐标系，在坐标系中画出建立一个原点在圆心的坐标系，在坐标系中画出与该圆外切的正方形，产生与该圆外切的正方形，产生N N个随机数组（个随机数组（X Xi i，Y Yi i），那么这些点会均匀得分布在第一象限的正方），那么这些点会均匀得分布在第一象限的正方形区域内，如果有形区域内，如果有M M个点分布在圆内，那么圆在第个点分布在圆内，那么圆在第一象限内的面积一象限内的面积S S就为就为M/NM/N，所以，所以=4M/N=4M/NrS=4 4r2S=p pr2392024/7/29Monte Carlo模拟Monte Carlo模拟定价法通过模拟标的资产价格的随机运动
21、路径得到衍生证券价值期望值的数值方法基本思路衍生证券的价值都可以归结为衍生证券到期收益的期望值的现值；而衍生证券的到期收益取决于基础证券的到期价格和衍生证券的类型尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径；计算每种路径结果下的衍生证券回报的平均值，通过贴现即可得到衍生证券的价格402024/7/29证券价格变化的连续模型马尔科夫过程(Markov Process)马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程如果一个变量服从马尔科夫过程，那么只有变量的当前值与未来的预测值有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测值无关 如果证券价格服从马尔科夫过程，则其未来价格如果证券价格
22、服从马尔科夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格的概率分布只取决于该证券现在的价格412024/7/29证券价格变化的连续模型弱式有效市场与马尔科夫过程弱式有效市场证券的价格包含了全部的历史信息弱式有效市场中证券的价格可以用马尔科夫随机过程来表述一种证券的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息422024/7/29证券价格变化的连续模型布朗运动（Brownian motion）马尔科夫过程的一种特殊形式标准布朗运动z是一个随机变量， Dt代表一个小的时间间隔长度，Dz表示在Dt时间内z的变化。如果z服从标
23、准布朗过程，Dz须满足两个基本特征：特征1：服从标准正态分布(均值为0、标准差为1.0)特征2：对任意两个不同时间间隔Dt，Dz相互独立连续状态下的标准布朗运动：432024/7/29证券价格变化的连续模型标准布朗运动的基本性质z的均值：z的方差：考察变量z在一段较长时间T中的变化情形z(T)-z(0)的均值：z(T)-z(0)的方差：442024/7/29证券价格变化的连续模型随机变量的漂移率和方差率漂移率(Drift rate)：单位时间内变量z均值的变化方差率(Variance rate)：单位时间内变量z的方差普通布朗运动其中常数a表示x的漂移率，常数b2表示方差率，z服从标准布朗运动
24、Dx的均值和方差分别为：aDt和b2Dt时间T内x变化值的均值和方差分别为：aT和b2T452024/7/29证券价格变化的连续模型是否可以用布朗运动来描述证券的价格？普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数单位时间内证券价格的预期变化是常数么？一般可以认为证券价格在单位较短的时间区间内的期望变化率为常数证券价格变化的漂移率和方差率与价格有关伊藤过程（It Process）伊藤过程的期望漂移率和方差率都随变量x的取值以及时间t的变化而变化462024/7/29证券价格变化的连续模型证券价格的变化过程（几何布朗运动）单位时间内证券价格变化幅度的期望和方差均与其价格正相关单位时间内证券价格变化率的期望
25、和方差均与其价格无关，可以看成普通的布朗运动漂移率为mS、方差率为s2S2证券价格的期望值：离散情况下：缺陷？缺陷？472024/7/29证券价格变化的连续模型伊藤引理如果变量x服从It过程( )，那么x和t的函数G(x, t)服从如下伊藤过程：伊藤引理的应用证券价格自然对数变化过程482024/7/29Monte Carlo的技术实现价格变化模型不支付红利证券支付红利证券为了模拟资产价格变化的路径，我们把衍生证券的有效期分为N个长度为t的时间段，则 492024/7/29Monte Carlo的技术实现例子：假设无红利的股票价格运动服从几何布朗运动，年预期收益率为14，收益率的波动率为每年2
26、0，时间步长为0.01年，则通过不断从标准正态分布样本中随机抽取样本，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径502024/7/29Monte Carlo的技术实现每步开始时的每步开始时的股票价格股票价格随机抽样值随机抽样值 该时间步长中的该时间步长中的股票价值变化股票价值变化 20.00020.000 0.52 0.52 0.236 0.23620.23620.236 1.44 1.44 0.611 0.61120.84720.847-0.86-0.86-0.329-0.32920.51820.518 1.46 1.46 0.628 0.62821.14621.146-0.69-0.69
27、-0.262-0.26220.88320.883 - -0.74 0.74 -0.280-0.280512024/7/29Monte Carlo的技术实现每步开始时的每步开始时的股票价格股票价格随机抽样值随机抽样值 每步结束时的股每步结束时的股票价格票价格20.0020.00-0.72-0.72 19.7419.7419.7419.74 0.280.28 19.8719.8719.8719.87-0.41-0.41 19.73 19.7319.7319.73 0.580.58 19.9919.9919.9919.99-0.26-0.26 19.91 19.9119.9119.91 0.45 0
28、.45 20.93 20.93522024/7/29Monte Carlo的技术实现模拟路模拟路径径532024/7/29Monte Carlo的技术实现利用Monte Carlo计算衍生证券的价格1.在风险中性世界模拟基础证券的价格变化的一条路径2.基于基础证券的价格和衍生证券的具体类型，计算衍生证券的到期收益 fT(i)对于美式看跌期权，还需要其它辅助方法寻找特定路径上的最优执行时间无风险利率无风险利率542024/7/29Monte Carlo的技术实现利用Monte Carlo计算衍生证券的价格3.重复1、2，计算N条不同路径下衍生证券到期收益的平均值4.计算N条不同路径下衍生证券到期
29、平均收益的现值基于无风险利率）Eup Eup optionoption552024/7/29Monte Carlo的技术实现Monte Carlo模拟的优点适用于更多种类的衍生证券价格仅仅依赖于标的证券最终价格的衍生证券价格依赖于标的证券价格变化路径的衍生证券欧式、美式期权欧式、美式期权障碍期权障碍期权亚式期权亚式期权回溯期权回溯期权Exotic Exotic optionoptionExotic optionExotic option：treetree562024/7/29Monte Carlo的技术实现Monte Carlo模拟的优点适用于更多种类的衍生证券存在最优执行策略的期权回报取决于
30、多个市场变量的衍生证券基于两种基础资产的期权多维正态随机数的产多维正态随机数的产生方法生方法American American PutPut572024/7/29Monte Carlo的技术实现Monte Carlo模拟的优点不依赖于基础证券的定价模型几何布朗运动价格模型可进一步扩展a1a 1a 1随机方差率模型随机方差率模型跳跃扩散模型跳跃扩散模型固定弹性方差率模型固定弹性方差率模型582024/7/29Monte Carlo方法精度分析估计的标准误差（Standard Error）样本数量越大，样本均值对总体均值的估计越准确，样本数量越大，样本均值对总体均值的估计越准确，MCMC模拟结果的
31、精度随着路径数量的增加而增加模拟结果的精度随着路径数量的增加而增加592024/7/29Monte Carlo方法精度分析衍生证券价格的区间估计95的置信概率减小标准误差的方法602024/7/29Monte Carlo方法精度分析欧欧( (美美) )式买权式买权B-SB-S模型结果模型结果24.619624.6196Monte CarloMonte Carlo结果结果100100条路径条路径10001000条路径条路径1000010000条路径条路径2 27 7. .3427 3427 (4.0176)(4.0176)2 26 6. .5358 5358 （1.20191.2019）24.2
32、4.7039 7039 (0.3661)(0.3661)欧式卖欧式卖权权B-SB-S模型结果模型结果16.725316.7253Monte CarloMonte Carlo结果结果100100条路径条路径10001000条路径条路径1000010000条路径条路径1 17 7. .2889 2889 (2.6455)(2.6455)16.3692 16.3692 （0.76530.7653）16.16.8159 8159 (0.2461(0.2461）S0300；K300；r8%； q0%；s s30%；T4m612024/7/29Monte Carlo方法精度分析减小方差的技术对偶变量技术
33、控制方差技术 重点抽样法 间隔抽样法 样本矩匹配法准随机序列抽样法树图取样法622024/7/29Monte Carlo方法精度分析对偶变量技术如果x、y同分布，且相互独立：如果x、y同分布，且负相关： x1 y1 x2 y2 x3 y3 xn yn632024/7/29Monte Carlo方法精度分析对偶变量技术由于f1和f2负相关Antithetic Variable Technique642024/7/29基本框架金融学中的数值方法金融学中的数值方法Numerical Methods in FinanceMonte Carlo模拟模拟Monte Carlo Simulation有限差分
34、有限差分Finite difference methods 二叉树二叉树Binomial Trees652024/7/29Black-Scholes微分方程Black-Scholes微分方程证券价格S服从假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：对于一个足够短的时间间隔Dt，唯一的风险来源为Dz为消除Dz，构建一个包括1单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合，组合的价值可表示为：伊藤引理伊藤引理662024/7/29Black-Scholes微分方程Dt时间后，组合价值的变化为将Df和DS代入后得到如果没有套利机会，那么 上式即为Black-Scholes微分方程，它适用于价格取决于标的证券价
35、格S的所有衍生证券的定价672024/7/29有限差分方法主要思想衍生证券的价格主要取决基础证券的价格和时间把时间和资产价格两个变量离散化将衍生证券B-S微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和0 D Dt 2D Dt T时间时间资产价格资产价格Smax 2D DS D DS 0682024/7/29有限差分方法一阶差分前差分后差分对称差分二阶差分 692024/7/29有限差分方法隐性差分（Implicit Difference）看跌期权看跌期权702024/7/29有限差分方法隐性差分（Implicit Difference）M M1 1个方程求解个方程求解M M1 1
36、个未知数个未知数712024/7/29有限差分方法显性差分（Explicit Difference）看跌期权看跌期权722024/7/29有限差分方法显性差分与三叉树732024/7/29有限差分方法隐性和显性有限差分方法的比较显性方法计算比较直接方便，无需象隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解析解隐性方法始终是有效的742024/7/29有限差分方法变量的置换在使用有限差分方法时，通常把标的变量S置换为ZLnS，这样偏微分方程改为 752024/7/29有限差分方法
37、变量的置换隐形差分方程 762024/7/29有限差分方法变量的置换显形差分方程 772024/7/29有限差分法精度分析欧欧( (美美) )式买权式买权B-SB-S模型结果模型结果24.619624.6196有限差分法结果（有限差分法结果（ImplicitImplicit）N=400N=400，M M1010N=400N=400，M M100100 N=400N=400，M M1000100015.827915.827924.517424.517424.611924.6119欧式卖欧式卖权权B-SB-S模型结果模型结果16.725316.7253有限差分法结果（有限差分法结果（Implici
38、tImplicit）N=400N=400，M M1010N=400N=400，M M100100 N=400N=400，M M100010007.93487.934816.623416.623416.717916.7179782024/7/29美式看跌期权Bc792024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法American Put：S01；K；r6%；T3y路径路径t=0=0t=1=1t=2=2t=3=31 11.001.001.091.091.081.081.341.342 21.001.001.161.161.261.261.541.543 31.001.001.221.221.071.
39、071.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.001.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.34802024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法American Put：S01；K；r6%；T3y路径路径S0S1S2S31 11.001.001.091.091.081.081.341.342 21.001.001.161.
40、161.261.261.541.543 31.001.001.221.221.071.071.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.001.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.34812024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法路径路径S0S1S2S31 11.001.001.091.091.081.081.341.34
41、2 21.001.001.161.161.261.261.541.543 31.001.001.221.221.071.071.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.001.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.340 0American Put：S01；K；r6%；T3yt=2t=2等待等待 V2822024/7/29美式
42、看跌期权定价的M-C方法等待所获的收益V2与S2之间存在某种函数关系假设：V2=a+bS2+cS22利用表中的数据估计上述模型V2=S2S22执行策略路径1、3、4、6、7等待时的期望收益V2分别为、路径1、3、4、6、7执行期权时的收益分别为、应该在第4、6、7路径上选择执行832024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法American Put：S01；K；r6%；T3y路径路径S0S1S2S31 11.001.001.091.091.081.081.341.342 21.001.001.161.161.261.261.541.543 31.001.001.221.221.071.071
43、.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.001.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.34842024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法S01；K；r6%；q0%；T3y路径路径S0S1S2S31 11.001.001.091.091.081.081.341.342 21.001.001.161.161.261.261.
44、541.543 31.001.001.221.221.071.071.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.001.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.34t=1t=1等待等待 V10 0852024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法等待所获的收益V1与S1之间存在某种函数关系假设：V1=a+bS1+cS12利用表中的
45、数据估计上述模型 V1=2S1S12执行策略路径1、4、6、7 、8等待时的期望收益V1分别为、路径1、4、6、7 、8执行期权时的收益分别为、应该在第4、6、7 、8路径上选择执行862024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法American Put：S01；K；r6%；T3y路径路径S0S1S2S31 11.001.001.091.091.081.081.341.342 21.001.001.161.161.261.261.541.543 31.001.001.221.221.071.071.031.034 41.001.000.930.930.970.970.920.925 51.0
46、01.001.111.111.561.561.521.526 61.001.000.760.760.770.770.900.907 71.001.000.920.920.840.841.011.018 81.001.000.880.881.221.221.341.34872024/7/29美式看跌期权定价的M-C方法路径路径f1f2f31 10.000.000.000.000.000.002 20.000.000.000.000.000.003 30.000.000.000.000.070.074 40.170.170.000.000.000.005 50.000.000.000.000.000.006 60.340.340.000.000.000.007 70.180.180.000.000.000.008 80.220.220.000.000.000.00B BC C882024/7/29多维正态随机数的产生方法X1,X2 ,X3 N（0，1)且相互独立ExcelB BC C
