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1、第二节函数的基本性质第二节函数的基本性质考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.函数的单调性2函数的奇偶性3函数的周期性.1.理解函数的单调性及其几何意义2结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.本考点包括确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点常与函数的图象及其他性质交汇命题题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则多为解答题.高考对本节内容的考查仍将以函数性质的应用为主函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围备考时应加强对这部分内容的训练.函数的单调性函数的单调性1单调性(1)单调函数的定义增
2、函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)f(x1)f(x2)(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有_；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有_；(2)存在x0I，使得_结论M为最大值M为最小值f(x)Mf(x)Mf(x0)M1函数的奇偶性函数的奇偶性与周期性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数
3、f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是奇函数关于_对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个_正数就叫做f(x)的最小正周期f(x)最小【名师助学】若f(ax)f(ax)2b或f(2ax)f(x)2b，则f(x)关于(a，b)成中心对称(
4、3)三条结论：若f(2ax)f(x)或f(ax)f(ax)，则f(x)关于xa对称；2函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示函数的单调性函数的单调性求函数的单调性或单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间(5)复合函数yfg(x)根据“同增异减”判断点评解答本题的思路是先求出函数的定义域，然后在各自的区间内利用单调
5、性的定义判断判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用点评应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力函数性质的综合应用函数性质的综合应用解题指导(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1x21.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的关系，从而想到赋值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出现f
6、(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN的形式求解【例3】 函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(16
7、4)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.点评(1)要有明确的语言表示如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”(2)要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)转 化 的 结 果 要 等 价 如 本 例 ： 由 于 f|(3x 1)(2x6)|f(64)|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了
