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1、喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单调的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们，让我们来研究来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值. .1.3.1 单调性与最大（小）值引入引入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究类的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了有趣的数据到了有趣的数据数据表明，记忆的数量数据表明，记忆的数量y
2、 y是是时间间隔时间间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著斯根据这些数据描绘出了著名的名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲艾宾浩斯记忆遗忘曲线线”, ,如图：如图：123tyo20406080记忆的数量记忆的数量( (百分数百分数) )天数天数100思考思考1 1：当时间间隔当时间间隔t t逐渐增大逐渐增大时，你能看出对应的函数值时，你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？有什么变化趋势？思考思考2: 2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？123tyo2
3、0406080100记忆的数量记忆的数量( (百分数百分数) )天数天数画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?2、在在区区间间 _上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ f(x) = x(-,+)增大增大上升上升1、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _2、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _ f(x)=x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：
4、在某一区间内在某一区间内当当x x的增大时，的增大时，函数值函数值y y反而反而减小减小图象在该区图象在该区间内呈下降间内呈下降趋势趋势；在某一区间内在某一区间内当当x x的增大时，的增大时，函数值函数值y y也增大也增大图象在该区图象在该区间内呈上升间内呈上升趋势；趋势；函数函数的这的这种性种性质称质称为函为函数的数的单调单调性性。函数函数f(x)=x2: :则则f(x1)= , , f(x2)= x12x22函数函数f(x)=x2在在( (0,+) )上是上是增增函数函数.任意任意 , ,都有都有任意任意 , ,都有都有x0x1 1x2 2yf (x1)f (x2)在在(0,+)上上任取任
5、取 x1、x2,Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个内某个区间上的任意两个称函数称函数f(x)在在这个区间上是这个区间上是增函数增函数。如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？Oxy如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个内某个区间上的任意两个称函数称函数f(x)在在这个区间上是这个区间上是减函数减函数。1、函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间上的性质，是函数的间上的性质，是函数的局部性质局部性质；注意：注意： 2 、必须是对于区间
6、必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数分别是增函数和减函数. . 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（严格的）单单调性，调性，区间区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间. 函数的单调性定义函数的单调性定义注意注意：函数的单调区间是其定义域的子：函数的单调区间是其定义域的子集；集；例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
7、及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)上上是减函数是减函数，在区间在区间-2,1), 3,5 上是上是增函数。增函数。根据下图说出函数的单调区间，以及在每一根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数个单调区间上，函数是增函数还是减函数. .解：解：函数的单调区间是函数的单调区间是-1,0-1,0）,0,2,0,2）,2,4,2,4）,4,5.,4,5.在区间在区间-1,0-1,0）,2,4,2,4）上，函数是减
8、函数；）上，函数是减函数；在区间在区间0,20,2）,4,5,4,5上，函数是增函数上，函数是增函数. .课本P32 3注意：注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间在考虑它的单调区间时，时，包括不包括端点包括不包括端点都可
9、以；都可以；在在(-(-, ,0)0)上是上是_函数函数在在(0(0, ,+)+)上是上是_函数函数减减减减问问: :能否说能否说在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是减减函数函数?反比例函数反比例函数 ：- -2yOx- -11- -112在在(-(-, ,0)0)上是上是_函数函数在在(0(0, ,+)+)上是上是_函数函数减减减减函数函数 ：yOx在在(0 0,+)上上任取任取x1、 x2 当当x1yOx- -11- -11取自变量取自变量1 1 1 1，而而f( (1) 1) f(1)(1)因为因为x1、x2不具有任意性不具有任意性.不不能说能说在在(- -,0 0) (0
10、0,+ +)上是上是减减函数函数yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox答案：D证明函数证明函数 在在R上是减函数上是减函数. .即即 定定号号例例2.2.利用定义：利用定义：证明：设证明：设 是是R上任意两个值，且上任意两个值，且 ，函数函数在在R上是减函数上是减函数取取值值作差作差，变形变形结论结论则则判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和
11、配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单调性）单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：思考？思考：画出反比例函数f(x)=1/xf(x)=1/x的图象P301 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论 证明：函数证明：函数f(x)=1/x f(x)=1/x 在在(0(0，+)+)上是减上是减函数。函数。证明：证明：设设x1,x2是是(0(
12、0，+)+)上任意两个实数，上任意两个实数，且且x10,又由又由x10所以所以f(x1)-f(x2)0, 即即f(x1)f(x2)因此因此f(x)=1/x在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差结论课本P39 A 3全优94页 4 y(x3)|x|的递增区间是_全优31页 8已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(13x)，求x的取值范围观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： yxox0图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值【解答】【解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A, ,第二个函数图第二个函数图象有最高点象有最高点B
13、 B, ,也就是说也就是说, ,这两个函数的图象都有最高这两个函数的图象都有最高点点. .思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M M的大小关系如的大小关系如何何? ?【解答】【解答】 f(x)M f(x)M思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是函数的最大值！是函数的最大值！ 最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满
14、足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值 请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最小值的最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f
15、(x)M（f(x)M） 注意：注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；例例3、“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地如果在距地面高度面高度hm与时间与时间ts之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m）解：作出函数解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图
16、象的图象(如图如图).显显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度地面的高度.由于二次函数的知识，对于由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这这时距地面的高度为时距地面的高度为29m.例4.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则由于2x1x20,(x1-1)(x
17、2-1)0,于是所以，函数 是区间2,6上的减函数. 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大( (小小) )值的方法值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大( (小小) )值值2.利用图象求函数的最大利用图象求函数的最大( (小小) )值值3.利用函数单调性的判断函数的最大利用函数单调性的判断函数的最大( (小小) )值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区，在区间间b，c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)； 全优33页 2,4,5全优95页 3
