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1、第第1515讲统计与统计案例讲统计与统计案例总纲目录考点一 抽样方法考点二 用样本估计总体考点三 统计案例考点一抽样方法抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于样本容量和总体容量的比值.1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为()A.7B.9C.1
2、0D.15答案答案C抽取号码的间隔为=30,从而区间451,750包含的段数为-=10,则编号落入区间451,750的人数为10人,即做问卷B的人数为10.2.(2018课标全国文,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.答案答案分层抽样解析解析因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.3.(2018惠州第二次调研)某班共有56人,学号依次为1,2,3,56,现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本
3、,已知学号为2,30,44的同学在样本中,则样本中还有一位同学的学号为.答案答案16解析解析由题意得,需要将56人按学号从小到大排列后分成4组,每组抽取第2个学号对应的同学,所以还有一位同学的学号为114+2=16.方法归纳方法归纳解决抽样问题的方法(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围.(2)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取n个个体,样本就需要分成n个组,则分段间隔为(N为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码,再从后面的每组中按规则抽取每个个体.考点二用样本估计总体1.直方图的两个结论(1)小长方形的面积=组距=频率.(2)各小长方形的面积之和等
4、于1.2.统计中的四个数字特征(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.(2)中位数:样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数:样本数据的算术平均数,即=(x1+x2+xn).(4)方差与标准差方差:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2.标准差:s=.命题角度一样本的数字特征命题角度一样本的数字特征例例1在一个容量为5的样本中,数据均为整数,已求出其平均数为10,但墨水污损了两个数据,其中一个数据的十位数字1未被污损,即9,10,11,1,那么这组数据的方差s2可能的最大值是.答案答案32.8解析解
5、析设这组数据的最后两个数分别是10+x,y(x为0,9中的自然数,y为整数),则9+10+11+(10+x)+y=50,得x+y=10,故y=10-x,故s2=+x2,显然x取9时,s2有最大值32.8.方法归纳方法归纳关于平均数、方差的计算样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式,要特别注意区分方差与标准差,不能混淆,标准差是方差的算术平方根.例例2(2018课标全国文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表命题角度二直方图与茎叶图命题角度二直方图与茎
6、叶图日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解析解析(1)如图所示.(2)根据以上数据,该家庭使
7、用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=(0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为=(0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)365=47.45(m3).方法归纳方法归纳众数、中位数、平均数与直
8、方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标.(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.1.某中学奥数培训班共有14人,分为两个小组,在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示,其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则n-m的值是()A.5B.6C.7D.8答案答案B由题意得:解得m=3,n=9,所以n-m=9-3=6.2.(2018贵阳第一学期检测)在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组,绘制如图所示的频率
9、分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在80100分的学生人数是()A.15B.18C.20D.25答案答案A根据频率分布直方图,得第二小组的频率是0.0410=0.4,第二小组的频数是40,样本容量是=100,又成绩在80100分的频率是(0.01+0.005)10=0.15,成绩在80100分的学生人数是1000.15=15.选A.3.(2018兰州诊断考试)已知样本数据a1,a2,a2018的方差是4,如果有bi=ai-2(i=1,2,2018),那么数据b1,b2,b2018的标准差为.答案答案2解析解析bi=ai-2(i=1,
10、2,2018),数据b1,b2,b2018的方差和样本数据a1,a2,a2018的方差相等,均是4,所以数据b1,b2,b2018的标准差为2.考点三统计案例1.线性回归方程=-;(,)称为样本点的中心.2.随机变量K2=(K2也可表示为2).若K23.841,则有95%的把握说两个事件有关;若K26.635,则有99%的把握说两个事件有关.命题角度一回归分析命题角度一回归分析例例1(2018课标全国,18,12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至
11、2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解析解析(1)利用模型,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.519=226.1(亿元).利用模型,可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.59=256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出
12、,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的
13、预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)方法归纳方法归纳求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中,常利用回归直线必经过样本点的中心(,)快速解决.(2)若所求的回归直线方程是在解答题中,则求回归直线方程的一般步骤:依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系;计算,xiyi的值;计算回归系数,;写出回归直线方程=x+.例例2(2018西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均
14、生产件数是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.命题角度二独立性检验命题角度二独立性检验(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图,求25岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数);(2)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手,请你根据已知条件完成22列联表,并
15、判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.生产能手非生产能手合计25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组合计附:K2=.P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解析解析采用分层抽样,“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100=60(名),“25周岁以下组”应抽取工人100=40(名).(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知,其中位数为70+10=70+73(件).综上,25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件.(2)由频率分布直方图可知,25周岁以上(含2
16、5周岁)的生产能手共有60(0.0200+0.0050)10=15(名),25周岁以下的生产能手共有40(0.0325+0.0050)10=15(名),则22列联表如下:K2=1.7863.841,所以对照题目中的附表,得P(K2k0)=0.05=5%.2.面对竞争日益激烈的消费市场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位:千箱)与单位成本y(单位:元)的资料进行线性回归分析,得到结果如下:=,=71,=79,xiyi=1481.则销量每增加1千箱,单位成本约下降元(结果保留5位有效数字).附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.答案答案1.8182解析解析由题意知=-1.8182,=71-(-1.8182)77.364,所以=-1.8182x+77.364,所以销量每增加1千箱,则单位成本约下降1.8182元.
