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1、7-5 平面及其方程平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此
2、。将会看到许多其它条件都可转化为此。先介绍平面的点法式方程先介绍平面的点法式方程平面及方程最新 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程平面及方程最新平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量已知点已知点若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量此时由于此时由于平面方程为平面方程为 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面
3、上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形平面及方程最新解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得平面及方程最新一般地一般地过不共线的三点过不共线的三点的平面的法向量的平面的法向量平面方程为平面方程为三点式方程三点式方程平面及方程最新取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解平面及方程最新由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面及方程最新平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过
4、坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面及方程最新设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解平面及方程最新设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解平面及方程最新将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程平面及方程最新设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解平面及方程最新化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方
5、程为所求平面方程为平面及方程最新例例6求过点求过点且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为则则由点法式得，所求平面的方程为由点法式得，所求平面的方程为平面及方程最新即即解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为在平面上在平面上解得解得所求平面方程为所求平面方程为即即平面及方程最新由以上几例可见，求平面方程的基本思路和由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：基本步骤：两定两定定点，定向定点，定向定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平
6、面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及方程最新按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/平面及方程最新例例7 7 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角平面及方程最新两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.平面及方程最新例例8一平面过点一平面过点且垂直于且垂直于平面平面求其方程求其方程解解设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为在所求平面上在所求平面上又所求平面与已知平面垂直又所求平面与已知平面垂直解得解得代入点法式方程并整理得代入点法式方程并整理得平面及方程最新解解平面及方程最新平面及方程最新点到平面距离公式点到平面距离公式平面及方程最新平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）四、小结四、小结平面及方程最新思考题思考题平面及方程最新思考题解答思考题解答平面及方程最新
