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1、第三章第三章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则第三节第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则反函数的导数、复合函数的求导法则第四节第四节 高阶导数高阶导数第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数隐函数、参数方程确定的函数的导数第六节第六节 函数的微分函数的微分第七节第七节 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 1;.第一节第一节 导数的概念导数的概念一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意
2、义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系2一、问题的提出一、问题的提出1.1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题取极限得取极限得第一节第一节 导数的概念导数的概念3如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限旋转而趋向极限位置位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第一节第一节 导数的概念导数的概念4二、导数的定义二、导数的定义定义定义第一节第一节 导数的概念导数的概念5其它形式其它形式即即第一节第一节 导数的概念导数的概念6关于导数的说明：关于导
3、数的说明：第一节第一节 导数的概念导数的概念7第一节第一节 导数的概念导数的概念8步骤步骤:例例1 1解解第一节第一节 导数的概念导数的概念9例例2 2解解更一般地更一般地例如例如,第一节第一节 导数的概念导数的概念10例例3 3解解第一节第一节 导数的概念导数的概念11例例4 4解解第一节第一节 导数的概念导数的概念12例例5 5解解第一节第一节 导数的概念导数的概念132.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:第一节第一节 导数的概念导数的概念14第一节第一节 导数的概念导数的概念例例6 6解解15第一节第一节 导数的概念导数的概念三、导数的几何意义三、导数的几何意义切线方程为切
4、线方程为法线方程为法线方程为16第一节第一节 导数的概念导数的概念切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为17例例7 7解解根据导数的几何意义知根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为所求切线的斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为第一节第一节 导数的概念导数的概念18第一节第一节 导数的概念导数的概念四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系19 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。例如例如,0第一节第一节 导数的概念导数的概念20第二节第二节 函数和、差、积、商
5、的求导法则函数和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式21一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则22证证(3)(3)证证(1)(1)、(2)(2)略略. .第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则23第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则24第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求
6、导法则例例1 1解解例例2 2解解25第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则例例3 3解解同理可得同理可得26例例4 4解解同理可得同理可得例例5 5解解同理可得同理可得第二节第二节 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则27第三节第三节 反函数的导数、复合函数的求导法则反函数的导数、复合函数的求导法则一、反函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则28第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的
7、导数等于直接函数导数的倒数.29第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则证证于是有于是有30第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则例例7 7解解同理可得同理可得31例例8 8解解特别地特别地第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则32二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )第三节第三节 反函
8、数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则33证证第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则34第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则推广推广例例9 9解解35第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则例例1010解解例例1111解解36第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则例例1212解解例例1313解解37第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法
9、则与导数公式38第三节第三节 反函数的导数、复合函数的反函数的导数、复合函数的求导法则求导法则39第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则: :40第四节第四节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义引例引例 变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义41记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,第四节第四节 高阶导数高
10、阶导数42二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1解解第四节第四节 高阶导数高阶导数43例例2 2解解第四节第四节 高阶导数高阶导数44例例3 3解解第四节第四节 高阶导数高阶导数45例例4 4解解同理可得同理可得第四节第四节 高阶导数高阶导数46莱布尼兹公式莱布尼兹公式三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则:第四节第四节 高阶导数高阶导数47例例6 6解解第四节第四节 高阶导数高阶导数48第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数的导数隐函数、参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定
11、的函数的导数49一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数50第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例1 1解解解得解得51第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例2 2解解所求切线方程为所求切线方程为52第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例3 3解解53第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函
12、数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :54第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数一般地一般地55第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得56例例5 5解解等式两边取对数得等式两边取对数得第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数5
13、7第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得58第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数59例例6 6解解第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数60 所求切线方程为所求切线方程为第五节第五节 隐函数、参数方程确定的函数隐函数、参数方程确定的函数的导数的导数61例例7 7解解6263例例8 8解解64第六节第六节 函数的微分函数的微分一、微分的定义一、微分的定义
14、二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用六、小结六、小结65一、微分的定义一、微分的定义实例实例: :正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.第六节第六节 函数的微分函数的微分66定义定义第六节第六节 函数的微分函数的微分67定理定理证证(1) 必要性必要性第六节第六节 函数的微分函数的微分68(2) 充分性充分性第六节第六节 函数的微分函数的微分69例例1 1解解第六节第六节 函数的微分函数的微分
15、70第六节第六节 函数的微分函数的微分二、微分的几何意义二、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图) )MNT） P Q71三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式第六节第六节 函数的微分函数的微分723. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则第六节第六节 函数的微分函数的微分73例例2 2解解例例3 3解解第六节第六节 函数的微分函数的微分74四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性第六节第六节 函数的微分函数的微分75例例5 5解解例例4 4解解第六节第六节 函数的微分函数的微分76五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值例例6 6解解第六节第六节 函数的微分函数的微分771.函数的近似计算函数的近似计算例例7 7解解第六节第六节 函数的微分函数的微分78第六节第六节 函数的微分函数的微分79常用近似公式常用近似公式证明证明第六节第六节 函数的微分函数的微分80例例8 8解解第六节第六节 函数的微分函数的微分81
