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1、第第1 1讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质考情分析考情分析年份卷别题号考查内容命题规律20179三角函数的诱导公式及图象变换高考对三角函数的图象的考查有:利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的部分图象确定三角函数的解析式.三角函数的性质是高考的一个重要考点,既有直接考查的客观题,也有综合考查的主观题,常通过三角变换将其转化为y=Asin(x+)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性).14三角函数的最值6余弦函数的图象和性质20167三角函数图象的变换与性质14三角函数的图象变换20158三角函数的图象与性质总纲目录考点一 三角函数的定义、诱导公式及基
2、本关系考点二 三角函数的图象（高频考点）考点三 三角函数的性质（高频考点）考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.三角函数:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin=y,cos=x,tan=.各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.同角关系:sin2+cos2=1,=tan.3.诱导公式:在+,kZ的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.典型例题典型例题(1)(2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=,则cos(-)=.(2)已知sin+2cos=0,则2sincos-cos2的
3、值是.答案答案(1)-(2)-1解析解析(1)解法一:由已知得=(2k+1)-(kZ).sin=,sin=sin(2k+1)-=sin=(kZ).当cos=时,cos=-,cos(-)=coscos+sinsin=+=-.当cos=-=-时,cos=,cos(-)=coscos+sinsin=+=-.综上,cos(-)=-.解法二:由已知得=(2k+1)-(kZ),sin=sin(2k+1)-=sin,cos=cos(2k+1)-=-cos,kZ.当sin=时,cos(-)=coscos+sinsin=-cos2+sin2=-(1-sin2)+sin2=2sin2-1=2-1=-.(2)由si
4、n+2cos=0,得tan=-2.所以2sincos-cos2=-1.方法归纳方法归纳应用三角函数的概念和诱导公式应注意以下两点(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误.(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.跟踪集训跟踪集训1.已知为锐角,且2tan(-)-3cos+5=0,tan(+)+6sin(+)=1,则sin的值是()A.B.C.D.答案答案C由已知可得-2tan+3sin+5=0,tan-6sin=1,解得tan=
5、3,即=3,又sin2+cos2=1,为锐角,故sin=.2.已知点P落在角的终边上,且0,2),则的值为()A.B.C.D.答案答案Dtan=-1,又sin0,cos0,|.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2,则()A.=,=B.=,=-C.=,=-D.=,=(2)(2017课标全国,9,5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐
6、标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2解析解析(1)f=2,f=0,f(x)的最小正周期大于2,=-=,得T=3,则=,又f=2sin=2,sin=1.+=2k+,kZ,=2k+,kZ.|0,0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定;确定常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.2.三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数
7、得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向右”,看y=Asin(x+)中的正负和它的平移要求.(3)看移动单位:在函数y=Asin(x+)中,周期变换和相位变换都是沿x轴方向的,所以和之间有一定的关系,是初相,再经过的压缩,最后移动的单位是.跟踪集训跟踪集训1.(2017云南11校跨区调研)函数f(x)=sinx(0)的图象向左平移个单位长度,所得到图象经过点,则的最小值是()A.B.2C.1D.答案答案C依题意得,函数f=sin(0)的图象过点,于是有f=sin=sin()=0(0),则=k,kZ,因此正数的最小值是1,故选C.2.(2017贵
8、阳检测)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其导数f(x)的图象如图所示,则f的值为()A.2B.C.-D.-答案答案D依题意得f(x)=Acos(x+),结合函数y=f(x)的图象可知,T=4=,=2.又A=1,因此A=.因为0,+0)在(0,)上有且只有两个零点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.解析解析(1)f(x)的最小正周期为2,易知A正确;f=cos=cos3=-1,为f(x)的最小值,故B正确;f(x+)=cos=-cos,f=-cos=-cos=0,故C正确;由于f=cos=cos=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误.(2)f(x)=c
9、os2-sinx-=-sinx=cosx-sinx=cos,由2k-x+2k(kZ),得2k-x2k-(kZ),又x0,所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为,故选C.答案答案(1)D(2)C(3)B(3)易得f(x)=2sin,设t=x-,因为0x,所以-t-,因为函数f(x)在(0,)上有且仅有两个零点,所以-2,解得0)的单调性的一般思路是令x+=z,则y=Asinz(或y=Acosz),然后由复合函数的单调性求解.(2)三角函数周期性的求法:函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(x+)|的周期T=.跟踪集训跟踪集训1.(2016课
10、标全国,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案答案Bf(x)=cos2x+6cos=cos2x+6sinx=1-2sin2x+6sinx=-2+,又sinx-1,1,当sinx=1时,f(x)取得最大值5.2.(2017石家庄教学质量检测(二)已知函数f(x)=sin,f(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f(x)的一个单调递减区间是()A.B.C.D.答案答案A由题意,得f(x)=2cos,所以y=2f(x)+f(x)=2sin+2cos=2sin=2sin.由2k+2x+2k+(kZ),得k+xk+(kZ),所以函数y=2f(x
11、)+f(x)的一个单调递减区间为,故选A.3.(2017合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sinx-cosx(0)的最小正周期为.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解析解析(1)f(x)=sinx-cosx=sin,且T=,=2,于是f(x)=sin.令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(kZ).(2)令2k-2x-2k+(kZ),得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.1.若sin=-,且,则sin(-2)=()A
12、.B.C.-D.-随堂检测随堂检测答案答案D由sin=cos=-,且,得sin=,所以sin(-2)=sin2=2sincos=-,故选D.2.(2017福建普通高中质量检测)若将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度,则平移后图象的一个对称中心是()A.B.C.D.答案答案A将函数y=3cos的图象向右平移个单位长度,得y=3cos=3cos的图象,由2x+=k+(kZ),得x=+(kZ),当k=0时,x=,所以平移后图象的一个对称中心是,故选A.3.(2017陕西高三教学质量检测试题(一)已知函数f(x)=sin(x+)的图象上的一个最高点与相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(
13、x)=.答案答案sin解析解析依题意得=2,则=2,即=,所以f(x)=sin,由于该函数图象过点,因此sin=-,即sin=,而-,故=,所以f(x)=sin.4.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(xR).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解析(1)由sin=,cos=-,f=-2,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ.所以,f(x)的单调递增区间是(kZ).
