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1、1经济学中的数学模型史宁中东北师范大学2学科的分类形态分类科学研究概念、概念与概念的关系、概念与现实之间的关系判断正确与否的准则是事实命题判断，无论是谁、无论何时、无论何地艺术研究作品、作品与作品的关系、作品与感觉之间的关系判断正确与否的准则是价值观作品判断，因人而变、因时而变、因地而变哲学研究范畴、范畴与范畴的关系、范畴与终极之间的关系伦理学：人的行为；逻辑学：人的思维政治学：社会组织；美学：形态与感官，是艺术的哲学形而上学：存在的本体论，精神与物质，经验与认识宗教：是一种情怀，是一种信仰3学科的分类思维分类形象思维基于观察、观察后的联想、跨越联想的想象逻辑思维基于推理：对命题的判断、若干命
2、题判断之间的思维过程命题：可供判断的陈述句有逻辑的推理：命题的内涵之间具有传递性 凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。无逻辑的推理：命题的内涵之间不具有传递性 苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。苹果是酸的。酸是一种味道。苹果是一种味道。辩证思维强调事物的两个方面：中国的阴阳矛盾是对立的、是可以转化的、因而也是统一的西方（黑格尔）重视：合二而一东方（易经、老子）：一分为二、合二而一4学科的分类学科分类自然学科科学逻辑思维+形象思维数学、物理、化学、地质、天文、生物、医学、信息概念之间的关系是必然的人文学科艺术形象思维+逻辑思维语言、文学、历史、
3、音乐、美术、舞蹈、影视、传媒社会学科科学+艺术辩证思维+逻辑思维+形象思维政治、社会、伦理、经济、商学、管理、心理、教育概念之间的关系是或然的 5一、凯恩斯宏观经济模型二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型三、时间序列：经济增长与因果分析模型四、限制优化：组合投资模型6一、凯恩斯宏观经济模型凯恩斯（Keynes，18831946）强调政府对于市场的干预。凯恩斯静态模型两个方程。第一个方程：收入=消费+投资第二个方程：消费=基本+收入比例其中Y：国民收入；C：国民消费；I：国民投资；a0为基本消费；a为消费倾向：a1。通过计算可以得到a越接近1，消费倾向越强，国民收入越高。7一、凯恩斯宏观经
4、济模型固定乘数、变化投资。如果固定系数：a0=10、乘数：a=4/5。当投资I=5时，收入Y=75；当投资I=10时，收入Y=100。投资增加5，收入增加10075=25。收入增长是投资增加的5倍。固定投资、变化乘数。如果固定系数：a0=10、投资：I=10。当乘数a=3/5时，收入Y=50；当乘数a=4/5时，收入Y=100。乘数增加1/5，收入增加10050=50，是投资的5倍。通过消费刺激经济，促进收入。8一、凯恩斯宏观经济模型弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979年诺贝尔经济学奖）研究持久收入消费理论，在持久收入下消费倾向a=1；并且有a青年a老年。托宾（Tobin，
5、1918-2002，1981年诺贝尔经济学奖）在凯恩斯模型的基础上研究了货币的作用、以及货币价值的变化，引入了“实在财富”的概念，表示为W，定义为其中K为总资产，M为货币总量，p为价格水平。凯恩斯第一个方程为9一、凯恩斯宏观经济模型萨谬尔森（Samuelson，1915-2009，1970年诺贝尔经济学奖）用数理经济学的方法重写了经济学。在凯恩斯模型中加入了时间因素，萨谬尔森乘数-加速模型：Yt，Ct和It分别表示t时间收入、消费和投资；I0表示政府支出。强化了消费对投资的影响、进而对收入的影响。求解过程得到一个二阶非齐次差分方程，无实根时有阻尼震荡解，解释了经济周期。在凯恩斯模型的基础上，学
6、者们又考虑了时间、货币、持久收入，但没有考虑长期消费：房子，汽车；提前消费：信用卡。10二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型与时间有关的基本模型：现在=F(过去)。最简单形式：当b为常数：动力系统；当b为随机变量：时间序列。住房贷款：不计算复利，a=1。比如，考虑贷款规则：贷款本金80万元、年息为本金的4%。每年还利息、以及本金的5%。20年还清。每年还款：利息804%=3.2，本金805%=4，合计3.2+4=7.2。一共还款：7.220=144（万元）。用Ct表示t年后还款金额，可以得到：11二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型银行储蓄：计算复利，a1。比如，存款方法，本金2万
7、元，年利息4%。如果用Ct表示第t年的银行存款累计金额，那么：t=1，；C0=2。这时a=1+4%1，数量递增。得到一般项：t=30，C30=3.242=6.48。30年后存款累计金额。人口模型：马尔萨斯（Malthus，17661834）其中Nt为t年人口数，r为年人口增长率。中国平均增长率r=6，2003年人口12.92亿，2013年人口13.54亿，计算N10=13.44亿。12二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型动力系统称使得C=aC+b成立的常值C为动力系统的平衡点。得到投资额度。一个项目花费100万，在这个花费下回报120%，为稳定这个关系，起始投入应当多少？资金运转方程为：
8、再生产资金=收入支出平衡点为：a=-100/(1-1.2)=500，起始投入500万元。容易验证，对于每一个年份t，资金运转方程的解都是500万元。13二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型养老金基金。退休后每年得到养老金5万元。如果缴纳时间是30年，那么，这个人（包括工作单位）每年应当缴纳多少？假设养老基金储存在银行，年利率为4%。用Ct表示享受t年后，这个人养老金剩余额度。无限稳定情况。假设养老金是无限稳定的，养老金获取方程为其中t=1，。这个方程的稳定点为C0=-5/(1-1.04)=125。因此，缴纳额度为125万元。假设每年缴纳金额一定：B万元，基金缴纳方程为125=a29B+a
9、28B+aB+B=(1+a+a29)B=(1-a30)/(1-a)B=56B其中a=1.04。解得B=2.23，即每年缴纳金额为2.23万元。14二、动力系统：贷款、存款、投资与退休金模型有限稳定情况。享用养老金有限的：20年。即C21=0。由获取方程： 令r=1/1.04=0.96，可以得到C20=r5，C19=r25+r5，C0=5(r+r2+r21)=5r(1-r21)/(1-r)=514.5=72.5比无限稳定少：125-72.5=52.5（万元）每年缴纳金额：72.5/56=1.29（万元）每年大约减少：2.23-1.29=0.94（万元）缴纳时间增加五年、享用时间增加五年，结果将会
10、如何？15三、时间序列：经济增长与因果分析模型如何利用历史数据估计系数a和b。构建时间序列：其中t=2，T；t为随机变量，Et=0，Vt=2。系数的估计为统计检验的理论与方法第五章，史宁中著，科学出版社，2008年16三、时间序列：经济增长与因果分析模型图1.19782002年中国对数GDP散点图1980198519901995200017三、时间序列：经济增长与因果分析模型回顾时间序列：t为随机变量，Et=0。如果方差Vt不是常数的情况，比如ARCH模型恩格尔（Engle，1942-，2003年度诺贝尔经济学奖）研究了这个问题。两个变量，比如x：国民生产总值，y：进出口，格兰杰（Granger，1934-2009，2003年度诺贝尔经济学奖）研究因果关系：Y不是x的原因。18三、时间序列：经济增长与因果分析模型如何利用各省GDP、人均GDP、或者其他指标划分中国经济区类别分析经济增长原因评估经济政策效益评估国家投资效益评估民生工程投资效益合理利用一段时间（5年）数据，是问题的难点。19四、限制优化：组合投资模型20四、限制优化：组合投资模型21Thank you
