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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第五章 微分方程第一节 一些物理规律的数学描述微分方程 第二节 求解微分方程的积分法 第三节 微分方程在生物医学中的应用实例 7/29/2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 高阶线性微分方程解的结构 *选讲二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分定义一、二阶线性微分定义 第五章 2数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Gro
2、up n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程. 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程.一、二阶线性微分方程的定义3数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.4数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,
3、 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 5数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为6数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将
4、代入方程左端, 得7数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .8数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 9数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个
5、线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解10数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 常数, 则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例1.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )11数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 例例2. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 12
