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1、第一章第一章 命题逻辑基本概念命题逻辑基本概念引言引言n逻辑主要研究逻辑主要研究推理过程推理过程，而推理过程必，而推理过程必须依靠须依靠命题命题来表述。来表述。n在命题逻辑中，在命题逻辑中，“命题命题”被看作最小单被看作最小单位。位。n命题逻辑是数理逻辑中最基本、最简单命题逻辑是数理逻辑中最基本、最简单的部分。的部分。1.1. 命题与联结词命题与联结词n什么是命题什么是命题 命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。命题是陈述客观外界发生事情的陈述句。 命题是或为真或为假的陈述句。命题是或为真或为假的陈述句。 特征：特征： （1）陈述句；）陈述句； （2）真假必居其一，且只居其一。）真假必居其一，且
2、只居其一。 （判断句子是否为命题的两个关键）（判断句子是否为命题的两个关键）例例1.1. 判断下列句子判断下列句子是否为命题是否为命题(1) 4是素数是素数.(2) 是无理数是无理数.(3) x大于大于y.(4) 充分大的偶数等于两个素数之和充分大的偶数等于两个素数之和. (5) 2012年元旦是晴天年元旦是晴天.哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想. 虽然今天我们还不知道其真值虽然今天我们还不知道其真值, 但它的真值客观存在但它的真值客观存在, 而且是唯一的而且是唯一的.素数或称质数素数或称质数, 除了本身和除了本身和 1 以外并没有任何其他因子的正整数以外并没有任何其他因子的正整数. 无确定的真值无确
3、定的真值, 根据根据x, y的不同取值情况它可真可假的不同取值情况它可真可假. 例例1.1. 判断下列句子判断下列句子是否为命题（续）是否为命题（续）(6) 4大于大于2吗吗?(7) 请不要吸烟请不要吸烟!(8) 这朵花真美丽这朵花真美丽!(9) 我正在撒谎我正在撒谎.疑问句疑问句. 祈使句祈使句. 悖论悖论. 理发师悖论理发师悖论 一天，萨维尔村唯一的理发师（男）挂出一块招牌：一天，萨维尔村唯一的理发师（男）挂出一块招牌：“村村里所有里所有不自己理发不自己理发的男人都由我给他们理发，我也的男人都由我给他们理发，我也只给只给这些人这些人理发。理发。”于是有人问他：于是有人问他：“您的头发由谁理
4、呢您的头发由谁理呢?” 理发师顿时哑口无言。理发师顿时哑口无言。 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。自己理。 如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。应该自己理。 由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛由此可见，不管怎样的推论
5、，理发师所说的话总是自相矛盾的。盾的。命题的抽象命题的抽象n命题符号化命题符号化 一般用小写英文字母一般用小写英文字母p, q, r, , pi, qi, ri, , 表示命题表示命题. 如如: p: 4是素数是素数. q: 5是有理数是有理数. r: 月球上有冰月球上有冰. s: 2012年元旦是晴天年元旦是晴天.n真值符号化真值符号化 用用“1”表示真表示真, “0”表示假表示假.命题的抽象（续）命题的抽象（续）则命题抽象为则命题抽象为: 取值为取值为0或或1的的p等符号等符号.n若若p取值取值1, 则表示则表示p为真命题；为真命题；n若若p取值取值0, 则表示则表示p为假命题为假命题.复
6、合命题（例复合命题（例1.2）n简单命题简单命题 原子命题，不能被分解成更简单的陈述句。原子命题，不能被分解成更简单的陈述句。(P1)n“复杂命题复杂命题” 例例1.2. （1）2不不是无理数是无理数. （2）2是偶素数是偶素数. （3）2或或4是素数是素数. （4）如果如果2是素数是素数, 那么那么3也是素数也是素数. （5）2是素数是素数当且仅当当且仅当3也是素数也是素数.复合命题（续）复合命题（续）n联结词联结词 上述诸如上述诸如“不不”, “或或”, “如果如果那那么么”等词成为联结词等词成为联结词.n复合命题复合命题 由联结词和命题连接而成的更加复杂的命题称由联结词和命题连接而成的更
7、加复杂的命题称为复合命题为复合命题. 复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假所决定假所决定.形式语言形式语言 数理逻辑研究方法的主要特征之一是将论数理逻辑研究方法的主要特征之一是将论述或推理中的各种要素都符号化，即构造各种述或推理中的各种要素都符号化，即构造各种符号语言来代替自然语言。符号语言来代替自然语言。 完全由符号构成的语言为形式语言。完全由符号构成的语言为形式语言。 简单命题符号化；简单命题符号化； 联结词符号化。联结词符号化。 在自然语言中出现的联结词有的具有二义性，因此在自然语言中出现的联结词有的具有二义性，因此在数理逻辑中必须给出联结词
8、的严格定义，并且将在数理逻辑中必须给出联结词的严格定义，并且将它们符号化。它们符号化。否定联结词否定联结词否定联结词（续）否定联结词（续）n例例1.2（续）（续） (1) 2不是无理数不是无理数 若（简单命题符号化）若（简单命题符号化） p: 2是无理数是无理数. p的真值是的真值是0. 则则 p: 2不是无理数不是无理数. p的真的真值为1. 合取联结词合取联结词合取联结词（续）合取联结词（续）n例例1.2（续）（续） (2) 2是偶素数是偶素数. 若（简单命题符号化）若（简单命题符号化） p: 2是偶数是偶数. p的真值是的真值是1. q: 2是素数是素数. q的真值是的真值是1. 则则
9、p q: 2是偶素数是偶素数. p q的真值为的真值为1. 例例1.3. 将下列命题符号化将下列命题符号化(1) 张三既用功又聪明张三既用功又聪明.(2) 张三不但用功而且聪明张三不但用功而且聪明.(3) 张三虽然聪明张三虽然聪明, 但不用功但不用功.首先将原子命题符号化首先将原子命题符号化: p: 张三用功张三用功. q: 张三聪明张三聪明.那么那么: (1): p q. (2): p q. (3): p q.例例1.3（续）（续）(4) 张三和李四都是三好学生张三和李四都是三好学生.(5) 张三和李四是同学张三和李四是同学.首先将原子命题符号化首先将原子命题符号化: p: 张三是三好学生张
10、三是三好学生. q: 李四是三好学生李四是三好学生. r: 张三和李四是同学张三和李四是同学.那么那么: (4): p q. (5): r. 合取联结词使用注意事项合取联结词使用注意事项n自然语言中的自然语言中的“既既, 又又”, “不但不但, 而且而且”, “虽然虽然, 但是但是”, “一面一面, 一面一面”等联结词都可以符号化等联结词都可以符号化为为.n不要见到不要见到“与与”或或“和和”就使用联结词就使用联结词. 析取联结词析取联结词析取联结词（续）析取联结词（续）n例例1.2（续）（续） (3) 2或或4是素数是素数. 若（简单命题符号化）若（简单命题符号化） p: 2是素数是素数.
11、p的真值是的真值是1. q: 4是素数是素数. q的真值是的真值是0. 则则 pq: 2或或4是素数是素数. pq的真值为的真值为1. “相容或相容或”和和“排斥或排斥或”n差异在于：差异在于： 当构成它们的简单命题都真时，前者为真，后当构成它们的简单命题都真时，前者为真，后者却为假。者却为假。n前者称为前者称为“相容或相容或”，或者成为，或者成为“排斥或排斥或”。“相容或相容或”和和“排斥或排斥或”（续）（续）n例例1.4（第（第4页）页） 课后练习。课后练习。蕴涵联结词蕴涵联结词蕴涵联结词（续）蕴涵联结词（续）np q 的逻辑关系为的逻辑关系为q是是p的必要关系的必要关系n真值关系真值关系
12、 （1）合理性；）合理性； （2）人为因素。）人为因素。蕴涵联结词（续）蕴涵联结词（续）n例例1.2（续）（续） (4) 如果如果2是素数是素数, 那么那么3也是素数也是素数. 若（简单命题符号化）若（简单命题符号化） p: 2是素数是素数. p的真值是的真值是1. q: 3是素数是素数. q的真值是的真值是1. 则则 p q: 如果如果2是素数是素数, 那么那么3也是素数也是素数. p q的真的真值为1. 蕴涵联结词使用注意事项蕴涵联结词使用注意事项n在自然语言中，特别是在数学中，在自然语言中，特别是在数学中，q是是p的必要的必要条件有很多种不同的叙述方式条件有很多种不同的叙述方式： (1)
13、 只要只要p, 就就q. (2) 因为因为p, 所以所以q. (3) p仅当仅当q. (4) 只有只有q才有才有p. (5) 除非除非q才才p. (6) 除非除非q, 否则非否则非p. 蕴涵联结词使用注意事项（续）蕴涵联结词使用注意事项（续）n在自然语言中在自然语言中, “如果如果p, 则则q”中的前件中的前件p与后件与后件q往往具有某种内在联系往往具有某种内在联系, 而在数而在数理逻辑中理逻辑中, p与与q可以无任何内在联系可以无任何内在联系.n在数学或其它自然科学中在数学或其它自然科学中, “如果如果p, 则则q”往往表达的是前件往往表达的是前件p为真为真, 后件后件q也为也为真的推理关系
14、真的推理关系. 但在数理逻辑中但在数理逻辑中, 是一种是一种规定规定.等价联结词等价联结词np q 的逻辑关系为的逻辑关系为p与与q互为充分必要条件互为充分必要条件等价联结词（续）等价联结词（续）n逻辑关系等价逻辑关系等价 p q 与与 (p q) (q p) 等价联结词（续）等价联结词（续）n例例1.2（续）（续） (5) 2是素数当且仅当是素数当且仅当3也是素数也是素数. 若（简单命题符号化）若（简单命题符号化） p: 2是素数是素数. p的真值是的真值是1. q: 3是素数是素数. q的真值是的真值是1. 则则 p q: 2是素数当且仅当是素数当且仅当3也是素数也是素数. p q的真的真
15、值为1. 命题符号化（例命题符号化（例1.5, 例例1.6）(1) 如果如果3+3=6, 则雪是白色的则雪是白色的.(2) 如果如果3+36, 则雪不是白色的则雪不是白色的.首先原子命题符号化首先原子命题符号化: 令令p: 3+3=6, p的真值为的真值为1. q: 雪是白色的雪是白色的, q的真值也为的真值也为1.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (必要条件必要条件): (1) p q, 真值为真值为1. (2) p q, 真值也为真值也为1.例例1.5, 1.6（续）（续）设设a是给定的正整数是给定的正整数,(3) 只要只要a能被能被4整除整除, 则则a一定能被一定
16、能被2整除整除.(4) 除非除非a能被能被2整除整除, a才能被才能被4整除整除.首先原子命题符号化首先原子命题符号化: p: a被被4整除整除. q: a被被2整除整除.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (必要条件必要条件): (3) p q, 真值为真值为1. (4) p q, 真值也为真值也为1.例例1.5, 1.6（续）（续）设设a是给定的正整数是给定的正整数,(5) 只有只有a能被能被4整除整除, a才能被才能被2整除整除.(6) 除非除非a能被能被2整除整除, 否则否则a不能被不能被4整除整除.首先原子命题符号化首先原子命题符号化: p: a被被4整除整除.
17、 q: a被被2整除整除.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (必要条件必要条件): (5) q p, 真值与真值与a相关相关. (6) p q, 真值也为真值也为1.例例1.5, 1.6（续）（续）(7) 3不是无理数当且仅当加拿大位于亚洲不是无理数当且仅当加拿大位于亚洲.首先原子命题符号化首先原子命题符号化: p: 3是无理数是无理数, 真值为真值为0. q: 加拿大位于亚洲加拿大位于亚洲, 真值为真值为0.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (充分必要条件充分必要条件): (7): p q, 真值为真值为0. 例例1.5, 1.6（续）（续）(
18、8) 若两圆若两圆O1, O2的面积相等的面积相等, 则它们的半径也相等则它们的半径也相等, 反反之亦然之亦然.首先原子命题符号化首先原子命题符号化: p: 两圆两圆O1, O2的面积相等的面积相等. q: 两圆两圆O1, O2的半径相等的半径相等.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (充分必要条件充分必要条件): (8): p q, 真值为真值为1 (两者的内在联系两者的内在联系). 例例1.5, 1.6（续）（续）(9) 2+3=5的充要条件是的充要条件是3不是无理数不是无理数.(10) 当小王心情愉快时当小王心情愉快时, 她就唱歌她就唱歌, 反之亦然反之亦然.首先原
19、子命题符号化首先原子命题符号化: p: 2+3=5, 真值为真值为1. q: 3是无理数是无理数, 真值为真值为0. r: 小王心情愉快小王心情愉快. s: 小王唱歌小王唱歌.则复合命题的符号化及其真值为则复合命题的符号化及其真值为 (充分必要条件充分必要条件): (9): p q, 真值为真值为1. (10): r s, 真值由具体情况而定真值由具体情况而定.基本复合命题及其真值基本复合命题及其真值n联结词集联结词集 , , , , n基本复合命题基本复合命题 由联结词集中的一个联结词联结一个或两个原子命题由联结词集中的一个联结词联结一个或两个原子命题组成的复合命题是最简单的复合命题，成为基
20、本复合组成的复合命题是最简单的复合命题，成为基本复合命题。命题。n“复杂复杂”复合命题复合命题 多次使用联结词集中的联结词。多次使用联结词集中的联结词。 我们约定的联结词的我们约定的联结词的优先顺序优先顺序为为: (), , , , , .基本复合命题及其真值（续）基本复合命题及其真值（续）p qpp qp qp qp q0 00 11 01 1基本复合命题及其真值（续）基本复合命题及其真值（续）p qpp qp qp qp q0 00 11 01 111000001011111011001例例1.7令令 p: 北京比天津人口多北京比天津人口多. q: 2 + 2 = 4. r: 乌鸦是白色的乌鸦是白色的.求下列复合命题的真值求下列复合命题的真值: (1) (p q ) ( p q) r (2) (p r) (p r)课后作业课后作业(1) 例例1.4（第（第4页）页）;(2) 抄写抄写基本复合命题的真值简表（第基本复合命题的真值简表（第7页）页）(3) 习题一习题一 第第4, 8, 11, 13, 15题题 （第（第13,14页）页）.谢谢 谢谢 ! !
