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1、3 3条件概率与独立事件一二一、条件概率1.条件概率的概念已知B发生的条件下,A发生的概率,称为B发生时A发生的条件概率,记作P(A|B).2.条件概率的公式一二名名师点点拨1.由条件概率的定义知,P(B|A)与P(A|B)是不同的;另外,在事件A发生的前提下,事件B发生的概率为P(B|A),其值不一定等于P(B).事件A发生的条件下,事件B发生等价于事件A与事件B同时发生,即AB发生,但P(B|A)P(AB).2.条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0P(B|A)1.(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).一
2、二答案:B 一二二、相互独立事件1.一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),那么A,B相互独立.2.相互独立的性质(2)若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B).(3)若A1,A2,An相互独立,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).一二名名师点点拨互斥与独立的区别与联系(1)事件间的“互斥”与“独立”是两个不同的概念.两事件互斥是指两个事件不可能同时发生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生与否没有影响.学习时要注意区别开来.“独立性”是指两个试验中,一个事件的发生不影响另一个事件
3、的发生;“互斥性”是指两个事件之间有很强的排斥关系:在一次随机试验中,一个事件发生,另一个就不发生.此外,两事件互斥则它们一定不独立,两事件独立则它们一定不互斥.(2)一般地,可以证明,事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下面的加法公式计算:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地,当事件A与B互斥时,P(AB)=0,于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).一二 【做一做2】判断下列各对事件是否是相互独立事件:(1)甲组3名男生、2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;(2)
4、容器内盛有除颜色外都相同的5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;(3)一筐内有6个苹果和3个梨,“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”.一二一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)条件概率一定不等于它的非条件概率. ()(2)相互独立事件就是互斥事件. ()(3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. ()(4)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率
5、. ()答案(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析 【例1】 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:(1)第1次抽到理科题的概率;(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.分析(1)(2)是古典概率问题,(3)是条件概率问题,利用条件概率公式求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析【例2】一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A=一个家庭中既有男孩又有女孩,B=一个家庭中最多有一个女孩
6、.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:(1)家庭中有两个小孩;(2)家庭中有三个小孩.分析先写出家庭中两个小孩的所有可能情形,需注意基本事件(男,女),(女,男)是不同的,然后分别求出A,B所含的基本事件数,由于生男生女具有等可能性,故可借助古典概型来求P(A),P(B)和P(AB)的概率,最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B).探究一探究二探究三思维辨析解(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),它有4个基本事件,由等可能性知这4个基本事件的概率各为这时A=(男,女),(女,男),B=(男,男),(男,女),(女,男),AB=(男,女
7、),(女,男),由此可知P(AB)P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.探究一探究二探究三思维辨析(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为=(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女),由等可能性知这8个基本事件的概率均为 ,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.从而事件A与B是相互独立的.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 1.利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法判断,因此我们
8、必须熟练掌握.2.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.探究一探究二探究三思维辨析变式式训练 2从一副去除大、小王的扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,判断事件A与B是否相互独立.探究一探究二探究三思维辨析【例3】 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的
9、演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X2”的事件概率.分析观众之间投票是相互独立的,因此利用相互独立事件的概率来求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率的程序(1)确定各事件之间是相互独立的;(2)确定这些事件可以同时发生;(3)求出每个事件发生的概率,再求其积.探究一探究二探究三思维辨析变式式训练 3某班有两个课外活动小组,其中第一小组有足球票6张,排球票4张;第二小组有足球票4张,排
10、球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张,乙从第二小组的10张票中任抽1张.(1)两人都抽到足球票的概率是多少?(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析因混淆了条件概率与相互独立事件的概率而致误【典例】 设某种灯管使用了500 h还能继续使用的概率是0.94,使用到700 h还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500 h的一个此种灯管还能继续使用到700 h的概率是多少?易错分析条件概率中P(AB)是指事件“AB”的概率,而A与B不一定相互独立.故而在条件概率求解中误认为P(AB)=P(A)P(B)则会
11、致误.解设A=“使用了500 h还能继续使用”,B=“使用到700 h还能继续使用”,则P(A)=0.94,P(B)=0.87,而所求的概率为P(B|A).由于AB=B,探究一探究二探究三思维辨析纠错心得心得 本题所求事件的概率属于条件概率,不要错用公式P(AB)=P(A)P(B),注意只有事件A,B相互独立时才有P(AB)=P(A)P(B).探究一探究二探究三思维辨析变式训练有一批种子的发芽率为0.8,发芽后的幼苗成活率为0.7,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率.12345答案:C 123452.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()答案:D123453.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是()A.0.216 B.0.36 C.0.432D.0.648答案:D123454.在一条街道上的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,现在某辆汽车在这条街道上行驶,那么这三处都不停车的概率等于.12345
