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1、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、一、 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 （2）常用函数的拉普拉斯变换）常用函数的拉普拉斯变换（3）拉普拉斯变换的基本性质）拉普拉斯变换的基本性质 二、二、 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 内容内容（1）定义）定义拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。概述概述补充：补充：拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯变换及反变换变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基
2、础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1.定义定义 当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 0拉氏变换积分上拉氏变换积分上限说明：限说明：一、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换 F(s)= f(t)f(t)= -1F(s)表示为：表示为：0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 f(t) ，t 0, )称为称为原函数，属时域。原函数，属时域。 原函数原函数 用小写字母表示，如用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为象函数，属复频域称为象函数，属复频域 。 象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示 ,如如F(s
3、) ，I(s)，U(s)。称为复频率称为复频率 。 f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：拉普拉斯变换对，记为： 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.2 2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 （单位阶跃函数）（单位阶跃函数）tu(t)F(s)=机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 ( (指数函数指数函数) )F(s)=机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换= 1 （单位脉冲函数）（单位脉冲函数）(t)t0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯
4、变换及反变换（单位斜坡函数）（单位斜坡函数） f(t)t0F(s)=Lf(t)=机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换（幂函数）（幂函数） 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换常用常用函数函数的拉的拉普拉普拉斯变斯变换表换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)(t)(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工
5、程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1f1(t) e- t t0例题例题 求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 1f2(t) e- t t 0解解 由于定义的拉氏变换积分上限是由于定义的拉氏变换积分上限是0，两个函数的拉氏变换式相同，两个函数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式区间的函数式 -1-1机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.3 2.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 一、线性性质一、线性性质 例例1 例例2 机械工程控制基础机械工程控
6、制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换二、微分定理二、微分定理 例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t)对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合线性组合与微分定理微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1
7、+b0)E(s)-b10例例3 某动态电路的输入某动态电路的输入输出方程为输出方程为机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、积分定理三、积分定理 例例 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、时域平移四、时域平移f(t)f(t-t0)平移平移 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 例例2 五、五、 S域平移域平移 例例3 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换六、初值定理和终值定理六、初值定理和终值定理 初值定理初值定理 若若 f(t)=F(s)，
8、且，且 f(t)在在t = 0处无冲激，处无冲激， 则则终值定理终值定理 f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 例例2 例例3 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例4 4：已知：已知F(s)=F(s)= 解：由初值定理得解：由初值定理得，求求f(0)和和f()由终值定理得由终值定理得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例 右图所示电路中，电压源为 ，试用时域卷积定理时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。七
9、、时域卷积性七、时域卷积性i(t)RL解（1）写出系统动力学方程系统动力学方程（2）作作Laplace变换变换得系统方框图系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换零状态响应电流零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s) =-1I(s)i(t)=（4）应用时域卷积定理应用时域卷积定理（3）求系统传递函数求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作作Laplace反变换得反变换得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换八、八、S域卷积性域卷积性九、尺度变换
10、性九、尺度变换性机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉普拉普拉斯拉斯变换变换的基的基本性本性质表质表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉普拉普拉斯拉斯变换变换的基的基本性本性质表质表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表拉普拉斯变换的基本性质表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换本讲小结：本讲小结：拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质机械工程控制
11、基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换(1)利用利用机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工
12、程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换作业作业1、写出拉普拉斯变换定义式写出拉普拉斯变换定义式2、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1(s-1)2_机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换二、拉普拉斯反变换二、拉普拉斯反变换 1、由象函数求原函数、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表）经数学处理后查拉普拉斯变换表 f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利
13、用公式 较麻烦较麻烦 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换象函数的一般形式：象函数的一般形式： 2、将、将F(s)进行部分分式展开进行部分分式展开机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换等式两边同乘等式两边同乘(s-s1) =0(t0)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 解：解： F(S) 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例2 （m = n，用长除法），用长除法）解：解： F(S) 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯
14、变换及反变换（k1 , k2也是一对共轭复数）也是一对共轭复数） 假设只有两个根假设只有两个根设设 解：解： 则则 欧拉公式欧拉公式 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 法一：法一： 部分分式法展开，求系数。部分分式法展开，求系数。 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换法二：法二： 将将F2(s)改写为改写为(s )2 + 2 F(S) = 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换等式两边同乘等式两边同乘机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1
15、等式两边乘等式两边乘 得得 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例2 等式两边乘等式两边乘 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换（4）一般多重根情况）一般多重根情况 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习1:1:求其原函数机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换s机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换
16、及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习2:2:因为mn，故采用机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换同理可求机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习3:3:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换（t0）机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习4:4:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯
17、变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.5 用拉氏变换法求解常微分方程用拉氏变换法求解常微分方程,n作作Laplace变换变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1:1:1 (t0)0 (t0)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例 如图所示电路中，电压源为 ， 求零状态响应电流i(t)。i(t)RL（1）写出系统动力学方程系统动力学方程（2）作作Laplace变换变换得系统方框图系统方框图Ui(s)H(s)I(s)作业：解解:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换得零状态响应电流得零状态响应电流Ui(s)= ui(t) =-1I(s)i(t)=而而（3）求出求出Ui(s)H(s)I(s)（5）作作Laplace反变换反变换（4）用）用部分分式法，求部分分式法，求
