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1、第七讲第七讲 不定积分的分布积分法不定积分的分布积分法/有理函数积分法有理函数积分法1 分部积分法分部积分法2 几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分1问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容2例例1 1 求积分求积分解（一）解（一） 令令显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二） 令令3例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数
2、函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)4例例3 3 求积分求积分解解令令5例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .6例例5 5 求积分求积分解解7例例6 6 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式8例例7 7 求积分求积分解解9令令10解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得11合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式二
3、、小结二、小结12思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？应注意什么？13思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选142 几类特殊函数的不定积分几类特殊函数的不定积分2.1 有理函数积分法有理函数积分法2.2 三角函数有理式积分三角函数有理式积分2.3 简单无理式的积分简单无理式的积分.15有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. .2.1、有理函数的积分、有理函数的积分16假定分子与分母之间没
4、有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.17（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为18（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为19真分式化为部分分式之和的
5、真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 120代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 221例例3 3整理得整理得22例例4 4 求积分求积分 解解23例例5 5 求积分求积分 解解24例例6 6 求积分求积分解解令令2526说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令27则则记记28这三类积分均可积出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .29三角有理
6、式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为2.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分30令令（万能置换公式）（万能置换公式）31例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式3233例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）34解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式, 令令35解（三）解（三） 可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考故三角有
7、理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.36例例9 9 求积分求积分解解3738讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例1010 求积分求积分解解 令令2.3 简单无理函数的积分简单无理函数的积分3940例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.41例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式42有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结四、小结简单无理式的积分简单无理式的积分.43思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？44思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.45
