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1、目录 上页 下页 返回 结束 三向量的混合积ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望目录 上页 下页 返回 结束 一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为目录 上页 下页 返回 结束 记作故2. 性质性质为两个非零向量, 则有 目录 上页 下页 返回 结束 3. 运算律运算律(1) 交换律(
2、2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明三角形余弦定理证证: 如图 . 则设目录 上页 下页 返回 结束 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 已知三点 AMB . 解解:则求故目录 上页 下页 返回 结束 为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二
3、、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积S目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证明证明:目录 上页 下页 返回 结束 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法( 行列式计算见上
4、册 P355P358 ) 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 已知三点角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,求三目录 上页 下页 返回 结束 一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径目录 上页 下页 返回 结束 *三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其目录 上页 下页 返回
5、结束 2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解: A、B、 C、M 四点共面展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面即目录 上页 下页
6、 返回 结束 内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由三角形面积公式所以因目录 上页 下页 返回 结束 P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12第三节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：目录 上页 下页 返回 结束 在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有
