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1、第一章第一章 真空中的静电场库仑定律库仑定律 电场强度电场强度高斯定理高斯定理电势电势第一章第一章 真空中的静电场真空中的静电场研究范围：宏观电磁规律。研究范围：宏观电磁规律。 1 电荷电荷 库仑定律库仑定律基本电荷：电量的最小单位基本电荷：电量的最小单位(一个电子所一个电子所带的电量带的电量) 任何物体所带电任何物体所带电 q 量只能是基本电荷量只能是基本电荷的整数倍的整数倍e=19C1.6010一、电荷一、电荷q = ne(n =0、1、2、3)静电场：在惯性参照系中相对于观察者静止静电场：在惯性参照系中相对于观察者静止 的电荷所产生的电场。的电荷所产生的电场。可以简化为点电荷的条件可以简
2、化为点电荷的条件:dr lr3q40l=r340pe=E4epr302=4r2q+ l2()3410El= f l sinM+epffEldq电荷元：电荷元：面电荷面电荷sdq=dsd体电荷体电荷V=dqdld3. 连续带电体的电场连续带电体的电场线电荷线电荷dq=ld三种带电形式：三种带电形式：VdE =r241q0dd()rrE=r241q0ddqdEdrP.=r241q0d()rrEdE =解题步骤：解题步骤：E 的大小的大小d3. 确定确定E =dEdxcosyE=dEdsinE =r2410ddlxya210dllr 例例2 求一均匀带电直线在求一均匀带电直线在 O点的电场。点的电场
3、。的方向的方向Ed确定确定2.Edx=r2410dlcos、q1已知：已知：2。a、4. 建立坐标，将建立坐标，将 dE投影到坐标轴上投影到坐标轴上1. 选电荷元选电荷元 dq=dlEd5. 选择积分变量选择积分变量选选作为积分变量作为积分变量=tga()2ctg=a=cscdla2d=ctgl222ra +2=2a +2a=2a csc2ax21dll0Edyraatg=laa=altgaEdx=r2410dlcos40a=()sinsin21ax21dll0Edyraa=2r2a csc2=cscdla2dcsccsc=a2410a22dcos=40aEx12dcos40a=()cosco
4、s12当直线长度当直线长度 L810Ex= 020a=无限长均匀带电无限长均匀带电直线的场强：直线的场强：240a=()sinsin21Ex20a=EE40a= 2=Ey=40aEy12dsinE=r241q0ddEd 例例3 求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 xqax、。处的电场。处的电场。 已知：已知：xxparqdqda.yzx当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。EdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一
5、个圆锥面。qdEdqda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。Eda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时
6、，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEda.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了
7、一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEd=所以，由对称性所以，由对称性 Ey=Ez0a.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEd=所以，由对称性所以，由对称性 Ey=Ez0a.yzxEd当当dq 位置发生变化时，它所激发的电场位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。矢量构成了一个圆锥面。qdEdE=r241q0dd=由对称性由对称性 Ey=Ez0=EEx=rqx40340=x22a +()qx23 例例3 求一均匀带电圆环轴线上任一点求一均匀带电圆环轴线上任一点 x。qax、处的电场。处的
8、电场。 已知：已知：EdxxyzpqdaEdr=r341q0dx=r241q0drxEdcos=RxP，已知：已知：求：求：qxR，Ep=x22R +()x21201dE=R2qE40=x22a +()qx23.40=x22r +()x232rr d. 例例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场dE40=x22r +()x23dq4=0E2x0Rx22r +()23rr drrd=ddSqr2d=r=x22R +()x21E201讨论：讨论：1. 当当xR 2. 当当xR(= 112Rx)2+=x22R +()x21E201=E20（无限长均匀带电平面的场强）（无
9、限长均匀带电平面的场强）40x2q=x22R +)x21(1 +2Rx2)21=E2011 +(Rx)212 电场线（电场线（E）线：在电场中画一组曲线，）线：在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。一致，这一组曲线称为电场线。 EdSE五、电场线五、电场线 为了定量地描写电场，对电场线的画法为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定：在电场中任一点处，通过垂作如下的规定：在电场中任一点处，通过垂直于电场强度直于电场强度E 单位面积的电场线数等于该单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值。点的电场强度的数
10、值。点电荷的电场线点电荷的电场线正电荷正电荷负电荷负电荷+E一对等量异号电荷的电场线一对等量异号电荷的电场线+E一对等量正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线+E一对异号不等量点电荷的电场线一对异号不等量点电荷的电场线q2q+E带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电场线+E 例例5有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为电荷密度为,瓦楞的圆半径为瓦楞的圆半径为 a 试求：轴试求：轴线中部一点线中部一点P 处的电场强度。处的电场强度。aLP.qxyodEdqqaaLl dP.rEl20=解：解：dEdal20=Ldq=dl=ds=d lLdEdal20=a2
11、0=d l=dld lLd ldqqxyodEdqqadEdal20=a20=d lEy=0由电荷分布的对称性：由电荷分布的对称性：Ex= dEqsin=Eda20=d lqsina20=qsinaqd020=qsinqd20=qcos00=a=d lqd 例例6有宽度为有宽度为a的的直长均匀带电薄板，沿直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为长度方向单位长度的带电量为l ， 试求：与试求：与板的边缘距离为板的边缘距离为b的的一点一点P 处的电场强度。处的电场强度。aPb.rEl20=dEdrl20=aPb.drrla=dldrr20=ladrEddrl20=Ed=Eal20=rdraa
12、+b=al20lnba + b解：解：ayxoq 例例7 有一半径为有一半径为a的均匀带电的半圆环，的均匀带电的半圆环，带电量为带电量为q。试求：圆心处的电场强度。试求：圆心处的电场强度。Ey=0Ex= dEqsin=Eda=d lqddEda40=q2a=lqda40=2alqd0qsin=a40lqd0qsin=a40lqdqcos=a40l0=a20l=a2022qql=adq=ld l解：解：由对称性由对称性aEdqdqyxo 例例8 有一半径为有一半径为 a 的非均匀带电的半的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为圆环，电荷线密度为l =l 0cosq 。 试求：圆心处试求：圆心处 o 点
13、的电场强度。点的电场强度。ayxoq dqr240Ed=qr=l 0cosqddq=ld lr240=qrl 0cosqdExEx= dqcos=Edr240qrldq2cos00=r40qldq2cos00=+q2qsin2410r40l0=r80l0=ryxoq q ddE+d lq l =l 0cosq解：解：EyEy= dqsin=Edr40lq2sin0=20=0r240qrldqcos00=qsin 例例9有一圆柱体，圆柱的侧面均匀带电，有一圆柱体，圆柱的侧面均匀带电，电荷的面密度为电荷的面密度为 ，尺寸如图所示。，尺寸如图所示。 试求：圆柱底面中心试求：圆柱底面中心 o 点的电场
14、强度。点的电场强度。o.2aaEx2q40+=()a232xd Ex2q40+=()a232x da d=qd2xx240+=()a232xa d2xx220+=()a21 2a2a02152 20=1x220+=()a232xadx2a0E2aaaxdx.Pqdo.2aa解：解： 例例10 在一圆锥台的侧面均匀带电，电在一圆锥台的侧面均匀带电，电荷面密度为荷面密度为 ， 尺寸如图所示。求锥顶处尺寸如图所示。求锥顶处P 点的电场强度。点的电场强度。 PaaIa解：解：Ex2q40+=()R223xd Ex2q40+=()R223x dR d=qd2lxcosd=d lqR =xt gq=2xt
15、gqxcosdqxaadqPxal dRx240+=()R223x2xtgqxcosdqd E.x240+=()R223x2xtgqxcosdqd E.R =xqtgx220+=()223xqxcosdq.xqtg2tg2x320=xqxcosdq.qtg2sec3x20=xcosdqsinq.ln220=cosqsinqx20=xcosdqsinqEqcosa2qcosa 例例11 有一半球面，半径为有一半球面，半径为R，面上均，面上均匀带电，电荷面密度为匀带电，电荷面密度为 ， 尺寸如图所示。尺寸如图所示。求球心处求球心处o点的电场强度。点的电场强度。 RoEx2q40+=()a223xd
16、 Ex2q40+=()a223xd解：解：qd=Rd2lqcosx=sinqRa =cosqR240+=()223Rd2lqsincosqR.sinqRcosqR222=qsincosqRRdq.20qsincosqdqE=2040=qdqdxxRaSE= E S cos= ES.SESS一、电场强度通量一、电场强度通量e=ESe= E Se= E SE 通量：通过某一面积的电场线数通量：通过某一面积的电场线数 3 高斯定理高斯定理dSE.e=dEdSE=cos dSE.e=dSs+rq从点电荷特例引出此定理从点电荷特例引出此定理讨论：讨论：反反, 上式积分值为负值。上式积分值为负值。 上式中
17、的上式中的 q 应理解为代数值。应理解为代数值。 1. 若若方向相方向相dS的方向与的方向与E为负值，则为负值，则qdS二、高斯定理二、高斯定理E.dSs=2r4qdS cos00+s0r=24qdS+s0=q+0E 2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。 q+qE.dS =sq0 3. 若电荷在面外，则此积分值为若电荷在面外，则此积分值为 0。因为。因为有几条电场线进入面内必然有同样数目的电有几条电场线进入面内必然有同样数目的电场线从面内出来。场线从面内出来。 4. 若封闭面不
18、是球面，则积分值不变。若封闭面不是球面，则积分值不变。 5. 若面内有若干个电荷，则积分值为：若面内有若干个电荷，则积分值为： 高斯定理高斯定理: 在静电场中，通过任意封闭在静电场中，通过任意封闭曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。的自由电荷代数和除以真空介电常数。E.dS =qis0三、三、三、三、 利用高斯定理在求解静电场的分布利用高斯定理在求解静电场的分布利用高斯定理在求解静电场的分布利用高斯定理在求解静电场的分布利用高斯定理解利用高斯定理解较为方便较为方便 常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性： 均匀带
19、电均匀带电体体球体球体球面球面( (点电荷点电荷) )无限长无限长柱体柱体柱面柱面带电线带电线无限大无限大平板平板平面平面 对称对称的分布具有某种对称性的情况下的分布具有某种对称性的情况下球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称1. 均匀带电球面的电场均匀带电球面的电场R+qr高斯面高斯面E4E =2rq得：得：0RrE2r1024qR0=q0E.dS = E2r4s（2）rR（1）rRE2. 均匀带电球体的电场均匀带电球体的电场,体电荷密度为体电荷密度为EdS = E2r4.sE2r4=3R430=Er30E =R33r203=3r401R0R0Er高高斯斯面面r高斯面高斯面均匀带电球体电场
20、强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线REEOR3rR0 3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场ES高斯面高斯面EE= E S + E S=0 3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场E=20=S0E.dS =侧侧E.dS左底左底E.dS右底右底E.dS+ssssS高斯面高斯面E=0=0E高高斯斯面面lrrE =2得：得：0EdS =侧侧EdS.ss下底下底上底上底EdSEdS+.ss=Er2l=l0习题课习题课 1 如图所示，在点电荷如图所示，在点电荷 q 的电场中，的电场中，取半径为取半径为 R 的圆形
21、平面。设的圆形平面。设 q 在垂直于平在垂直于平面并通过圆心面并通过圆心 o 的轴线上的轴线上A点处，点处，A点与圆点与圆心心o点的距离为点的距离为d 试计算通过此平面的试计算通过此平面的E 通通量。量。aARqdoa.2=()r rRr2=2()rRr=eq40=q402()rRrd()=q402Rd2+2Rd2+2已知：已知：q , R , d求：求： eRrd2+=2解：解：A点对平面所点对平面所张的立体角为：张的立体角为：aARqdoa.通过整个球面通过整个球面(即立体即立体角为角为)的电通量为的电通量为4q0通过圆平面通过圆平面的电通量为的电通量为 2. 图中电场强度的分量为图中电场
22、强度的分量为Ex=bx1/2,Ey=Ez=0,式中心式中心 b = 800N/(C.m1/2)，设设d =10cm,试计算试计算 （1）通过立方体表面的总）通过立方体表面的总E 通量；通量； （2）立方体内的总电荷量。）立方体内的总电荷量。 zxydoddd=1.04 N.m2/Cbd2=2db d2d1= ()2b d2d=q0=q0= 9.210-12 C已知：已知：Ex=bx 1/2, b = 800N/(C.m1/2)， Ey=Ez=0,d =10cm,求求：(1) , (2) q .E S=解：解：zxydoddd 3.如果上题图中电场强度的分量如果上题图中电场强度的分量为为 Ex
23、= by , Ey = bx , Ez = 0 , b = 800N/(C.m1/2)，再计算通过立方体表面的总再计算通过立方体表面的总E通量和立方体内的总电荷量。通量和立方体内的总电荷量。zxydodddzxyo已知：已知：Ex = by , Ey = bx , Ez = 0 , b = 800N/(C.m1/2)，计算通过立方体表面计算通过立方体表面 E 的总的总通量和立方体内的总电荷量。通量和立方体内的总电荷量。解：由于解：由于Ex 和和 x 无关，所以通过左右两面无关，所以通过左右两面 同理由于同理由于Ey和和 y 无关，所以通过上下两无关，所以通过上下两所以通过立方体表面所以通过立方
24、体表面 E的总通量为零。的总通量为零。根据高斯定理立方体内根据高斯定理立方体内的总电荷量为零。的总电荷量为零。E 的通量等量异号，总通量为零。的通量等量异号，总通量为零。面面 E 的总通量为零。的总通量为零。 4. 中性氢原子处于基态时，其电荷中性氢原子处于基态时，其电荷分布可以看作点电荷分布可以看作点电荷 +e 的周围负电荷按密的周围负电荷按密度度( r )=c e -2r/ao分布，式中分布，式中ao，是玻尔半，是玻尔半径，等于径，等于0.52910-10m，c 为一常量，其为一常量，其值可由负电荷总值值可由负电荷总值 -e 定出，试计算定出，试计算 （1）半径为）半径为ao 的球内的净电
25、荷量；的球内的净电荷量； （2）离核距离为）离核距离为ao 处的电场强度。处的电场强度。已知：已知：( r )= c e -2r/ao, ao =0.52910-10m求：求：(1)q, (2)E解：电荷解：电荷 eq按规律按规律(r )分布分布,负电荷总值为负电荷总值为=0r24c e -2r/aodr4a03=4cre =0dr( )r24qea03=cq4=0r2e -2r/aodreea03aoqq=re0dr( )r24qq(1)半径为半径为 a0 的球内净电荷为的球内净电荷为:+= eqeq2 e -2+eq3 e -2eq=eq5 e -2=eq5.7=0.71.610-19=1
26、.1210-19C4=0r2e -2r/aodreea03aoqqq(2)离核距离为离核距离为a0处的场强为：处的场强为：qa240E =0=9.01091.1210-195.2910-11()2=3.601011 V/m 5. 在半径分别为在半径分别为10cm和和20cm的两层假想同的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为心球面中间，均匀分布着电荷体密度为 =0.52910-9 C/m3的正电荷。求离球心的正电荷。求离球心5cm、15cm、50cm处的电场强度。处的电场强度。 R1R2O2E.dS =sq013r0r24E2=()043R13=0E1r =0.15cm=4V/mE23E
27、.dS =sq013R2r24E3=()043R13r =0.50cm=1.05V/mE3r =0.05cm解解: 6. 设气体放电形成的等离子体在圆柱设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示内的电荷分布可用下式表示式式 r 中是到圆柱轴线的距离，中是到圆柱轴线的距离， 0是轴线处是轴线处的电荷体密度，的电荷体密度，a 是常量。试计算其场强分是常量。试计算其场强分布。布。1+ar20()( r )=22r ld=dq( )r r1+ar20()=22ldr r1+ar20()=22ldr rqr01+ra20()=la2解：先计算高斯面内的电量解：先计算高斯面内的电量rdrE.d
28、S =sq0.=2Erl00la21+ra2()1.=2Er00a21+ra2()1由高斯定律：由高斯定律：q1+ra20()=la2高斯面内的电量为：高斯面内的电量为： 7. 在半径为在半径为R，电荷体密度为，电荷体密度为 的均的均匀带电球内，挖去一个半径为匀带电球内，挖去一个半径为 r 的小球，如的小球，如图所示。试求：图所示。试求：O、O、P、 P各点的场各点的场强。强。 O、O、P、 P在一条直线上。在一条直线上。RP.PrO.O.E1带电荷带电荷-的小球的场强的小球的场强E2带电荷带电荷的大球的场强的大球的场强E1E2+=E合场强为：合场强为：(1)O点的场强：点的场强：r.OOr1RE1.dS =s24E1r1=10343r1=03Er1E1=0E2解：解：(2)O 点的场强：点的场强：r.OOr2R24=10343E2r2r2=03Er2E2=0E1(3)P 点的场强：点的场强：r. .OOr1RP.24=10343E1r1r=03rE132r124=10343E2r2r2=03E2r2r. .OOr2RP.=EPE2E1=03r2r32r1(4)P 点的场强：点的场强：P.r. .OOr1Rr224=10343E1r1r=03rE132r124=10343E2r2R=EPE2E1=03E2r22R3=03r2r32r12R3
