第一讲数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案

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1、第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题（每小题一、单项选择题（每小题4 4 分，共分，共 2424 分）分）3 3 若若lim fx ，lim gx ，则下列正确的是，则下列正确的是（）xx0xx0A Alim fx gx xx0B Blim fx gx xx0C Climxx01 0fx gxD Dlim kfx k 0xx0解：解：xx0limkfx k lim fxkxx0k 0选选 D D6 6当当n 时，时，A A11与与为等价无穷小，则为等价无穷小，则 k=k=（）nknk1B B1 1C C2 2D

2、D-2-2211sin22nn解：解：limlim1,k2选选 C Cnn11nknk二二 、填空题、填空题（每小题（每小题 4 4 分，共分，共 2424 分）分）8 8lim212x1x1x 1解：解：原式原式 limx 1 2x1x 1x 1 limx111x 121010limn( n1n2) n解：原式解：原式 limn有理化3 nn1n2无穷大分裂法lim3112 1nnn3211arcsin x x1111lim e sin2x0xx1111arcsin xx解：解：sin21,limex0limexsin20又又lim lim1故故 原式原式=1=1x0x0x0xx0xxx12

3、12若若limx0x2ln1 x2sin xn 0sinnx 0, ,则正整数则正整数n= =且且limx01cosx解：解：limx0x2ln1 x2sinnxx2 x2 limnx0xn 4xnn 20,lim20n 2,n 4,故故n 3x0x2三、计算题三、计算题（每小题（每小题 8 8 分，共分，共 6464 分）分）1414求求limx01tan x 1sin xx1cosx解：解：原式原式有理化limx0tan x sin xx(1cosx)( 1 tan x 1sin x) limtan x(1cosx) 1x0x(1cosx)2 limtan x 11x1limxx22x0x

4、2lncos2xx0lncos3x1616求求lim解：解：原式原式变形limx0ln1cos2x 1ln1cos3x 1等价limcos2x 1x0cos3x 1122x等价4lim2x01293x2注注: :原式原式49lim2sin 2xcos3xx0cos2x3sin3xexex2x1717求求limx0xsin x解：解： 原式原式00ex ex 2limx01cosx0000ex exlimx0sin xex exlim 2x0cosxnnlim1 1919求求lim1 enn1 e1nn1解：解： (1)(1) 拆项，拆项，111.1223n(n1)nnlim1 111 11 1

5、nn1(2)(2) 原式原式= =lim1 e e11.1n2 23n1 nn1n12020求求limx x2ln1x1x解：解： 原式原式1 tx1ln1tlim2t0tt通分limt0t ln1tt2001limt011t2t limt01t 111 lim2tt 1t0t 12四、证明题四、证明题（共（共 1818 分）分）2121当当x 时且时且limux 0,lim vx , ,xx证明证明lim1uxxvx exlim uxvx证证：lim1uxxvx lim1uxx1uxvxux exlim uxvx证毕证毕2222当当x 0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。时，证明以下四个差

6、函数的等价无穷小。x3（1 1）tan xsin x等价于x 02x3（2 2）tan x x等价于x 03x3（3 3）xsin x等价于x 06x3（4 4）arcsin x x等价于x 06证证：1limtan xsin x3x0x2 00limx0tan x1cosxx23x2x lim321x0x2当当x 0时，时，tan xsin xx322tan x xsec2x 1lim limx0x013x2x3tan2xx2 lim2 lim21x0x0xx当当x 0时，时，tan x xx233limx0x sin x1cosx limx01312xx6212x2 lim1x012x2当

7、当x 0时，时，xsin x:13x64limarcsin x xx013x6111 x limx012x221 1 x2 limx012x1 x2212x2 lim1x012x 12当当x 0时，时，arcsin x x等价于13x6五、综合题五、综合题（每小题（每小题 1010 分，共分，共 2020 分）分）2323求求lim 3x9x212x1x解：解： 原式原式有理化lim9x29x2 2x 13x 9x 2x 12x lim2x 13x 9x 2x 12x121x lim x33321392xx2x2mx812424 已知已知lim2，求常数，求常数m,n的值。的值。x2x 2nx

8、2n5解解： （1 1）原极限存在且）原极限存在且2limx2nx2n 0x2limx2mx8 0,4 2m8 0x22m 12,m 6x26x 8（2 2）lim2x2x 2 nx 2n 00lim2x 646x22x 2 n42 n212 n510 2nn 12答答m 6,n 12选做题选做题11x1 x求求limx 0ex1x1x解解：原式：原式11 x elim1 x 0e1x1xlimx0e ex0lim1xxexe1 e1x令令y 1 x e1ln1xxy 1 x1 x1x1x1x ln1 x1 x2xx1 x2x 1 xln1 xx1xln1xx21x12原式原式 elimx0lim ex0lim0ln1x2x3x2x2 ex02x3x e