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1、十二章节常微分方程数值十二章节常微分方程数值解法解法第十二讲主要知识点欧拉（欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法法的预估校正法欧拉法的收敛性欧拉法的收敛性龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*2Euler方法(续)数值积分方法数值积分方法9隐式Euler方法向后差商向后差商10二步Euler方法中心差商中心差商11梯形公式12梯形公式(续)梯形公式梯形公式( (见上页见上页) )，实际上是，实际上是Euler方法和隐式方法
2、和隐式Euler方法的算术平均。方法的算术平均。梯形公式的精度为二阶。梯形公式的精度为二阶。例：用梯形公式求下列初值问题的解在例：用梯形公式求下列初值问题的解在 13改进的Euler方法改进的改进的Euler方法为方法为Euler方法和梯形公式的结合，方法和梯形公式的结合，也称作预估也称作预估-校正法。校正法。14改进的Euler方法(续1)嵌套形式嵌套形式15改进的Euler方法(续2)16局部截断误差称一种数值方法是称一种数值方法是p p阶的，如果其局部截断误差阶的，如果其局部截断误差为为 。EulerEuler方法和隐式方法和隐式EulerEuler方法的精度是一阶的。方法的精度是一阶的
3、。二步二步EulerEuler方法的精度是二阶的。方法的精度是二阶的。17龙格-库塔方法改进的改进的EulerEuler方法也可写成方法也可写成18二阶龙格-库塔方法19二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法的局部截断误差为要使二阶方法的局部截断误差为 ，四个系，四个系数值应满足下列关系式：数值应满足下列关系式：20二阶龙格-库塔方法(续2)特例特例1 1： 21二阶龙格-库塔方法(续3)特例特例2 2：22三阶龙格库塔方法23四阶龙格库塔方法24例题分析25两点说明26变步长的龙格库塔方法27公式28线性多步法29线性多步公式的导出30线性多步公式的导出(续1)31线性多步公式的导出(续2)32线性多步公式的导出(续3)33线性多步公式的导出(续4)34线性多步公式35常用的线性多步公式36常用的线性多步公式(续)37利用数值积分方法求线性多步公式38利用数值积分方法求线性多步公式(续1)39利用数值积分方法求线性多步公式(续2)40利用数值积分方法求线性多步公式(续3)41利用数值积分方法求线性多步公式(续4)42利用数值积分方法求线性多步公式(续5)43线性多步法小结44本讲结束！谢谢大家！再见！45结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！46
