《高等数学同济大学第六版25》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学同济大学第六版25（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的增大了多少正方形金属薄片受热后面积的增大了多少? ?55. 函数的微分函数的微分再例如再例如, 几乎反映几乎反映y y随随x x变化的全过程变化的全过程 既容易计算又具有较高的精度既容易计算又具有较高的精度二、微分的定义二、微分的定义定义定义( (微分的实质微分的实质) )注：注：由定义知由定义知: :即即用用微分近似增量微分近似增量. .微分微分可微可微:三、可微的条件三、可微的条件,即可微性与可导性的关系即可微性与可导性的关系定理定理证证 (1) 必要必要性性问题问题: :函数满足什么条件才可微函数满足什么条件才可微? 如
2、何求微分如何求微分?(2) 充分充分性性例例1 1解解xyoMNf (x)dy x 微分近似增量是函数的局部线性化微分近似增量是函数的局部线性化微分近似增量是函数的局部线性化微分近似增量是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dydy =在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？=tan x四、微分四、微分的几何意义的几何意义即：即： y切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量.xyody x 用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dy y微分的几何意义d
3、y y哪条线段是哪条线段是哪条线段是哪条线段是dy ？.问题：何时问题：何时dy y ?五、微分的求法五、微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例2 2解解解法解法1解法解法2 2结论结论：这一性质叫做这一性质叫做“一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性”3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则(一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性)例例3 3解解基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行基于一阶微分形式不变性
4、，求微分时无须指明对哪一变量进行,Esp 对复合函数只需一次一次地求，直至不能求对复合函数只需一次一次地求，直至不能求(自变量自变量)为止为止.导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！例例4 4解解在下列等式的括号中填入适当的函数在下列等式的括号中填入适当的函数,使等式成使等式成立立.六、微分在近似计算中的应用六、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值例例1 1解解2.计算函数的近似值计算函数的近似值例例2 2解解常用近似公式常用近似公式证明证明例例3 3解解3.误差估计误差估计由于测量仪器的精度、测量的条
5、件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例4 4解解小小 结结微分学所要解决的两
6、类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:导数与微分的区别导数与微分的区别:导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。程度，即：函数的变化率。微分指明微分指明, , 当自变量有微小变化时，函数大体上当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。改变了多少。近似
7、计算的基本公式近似计算的基本公式思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 练练 习习 题题练习题答案练习题答案练练 习习 题题练习题答案练习题答案 总习题二总习题二 (P124)(P124)1; 2; 5 (2); 12; 13.习题习题 2-5 (2-5 (P122P122）3 (5)(7)(9); 4 (6)(8); 5; 6.
