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1、 第七章第七章 两立体相交两立体相交Intersection of two solids7-1 平面立体与平面立体相贯平面立体与平面立体相贯7-2 平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯7-3 曲面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯 基本要求基本要求基本要求基本要求7-1 平面立体与平面立体相贯平面立体与平面立体相贯Intersection of two solids consisting of flat intersecting planes一、一、 概述概述 二、二、 例题例题1 1 例题例题2 2 例题例题3 3 例题例题4 4 例题例题5 5 1 1相贯线的性质相贯线的性质
2、 相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点表面的共有点; ;不同的立体以及不同的相贯位置不同的立体以及不同的相贯位置, ,相贯线的形状也不同相贯线的形状也不同; ; 2 2相贯线的形状相贯线的形状 两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲两平面立体的相贯线由折线组成。折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线的转折点就是一个形体的侧棱与另一形体的侧面的交点。棱与另一形体的侧面的交点。 3 3求相贯线的方法求相贯线的方法 求两平面立体
3、相贯线的方法通常有两种：一种是求各求两平面立体相贯线的方法通常有两种：一种是求各侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧侧棱对另一形体表面的交点，然后把位于甲形体同一侧面又位于乙形体同一侧面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交面上的两点，依次连接起来。另一种是求一形体各侧面与另一形体各侧面的交线。线。 4 4判别相贯线可见性的原则判别相贯线可见性的原则 只有位于两形体都可见的侧面上的交线，只有位于两形体都可见的侧面上的交线，是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。是可见的。只要有一个侧面不可见，面上的交线就不可见。一、一、概
4、述概述Introduction例题例题1 两平面立体相贯，完成相贯线的投影两平面立体相贯，完成相贯线的投影 1yyyy14442332132解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线的的正正面面投投影影已已知知，水水平平投影和侧面投影未知；投影和侧面投影未知；2 2求求出出相相贯贯线线上上的的折折点点、 、 ；3 3顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判判别可见性；别可见性；4 4整理轮廓线。整理轮廓线。例题例题2 两平面立体相贯，完成相贯线的投影两平面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线为为一一组组闭闭合合折折线线，相相贯贯线线的
5、的正正面面投投影影未未知知，水水平平投投影影已已知知；相贯线的投影前后、左右对称。相贯线的投影前后、左右对称。2 2求出相贯线上的折点求出相贯线上的折点、 等；等；3 3顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并且判别可见性；并且判别可见性；4 4整理轮廓线。整理轮廓线。211233观看动画7-2 平面立体与平面立体与曲曲面立体相贯面立体相贯Intersection of solids consisting of flat intersecting planes and solid consisting of curved surfaces一、一、 概述概述 二、二、 例题例题1
6、1 例题例题2 2 例题例题3 3 例题例题4 4 例题例题5 5一、一、概述概述Introduction例题例题1 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线为为三三段段圆圆弧弧的的组组合合；相相贯贯线线的的水水平平投投影影已已知知，可可利利用用表面取点法求共有点；表面取点法求共有点；2 2求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点、 、 、 ；3 3求求出出若若干干个个一一般般点点、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且判别可见性；且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮
7、廓线。THSHPH35QH1239867124546789观看动画例题例题2 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线为为圆圆弧弧和和双双曲曲线线的的组组合合；相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用表表面面取取点点法法求求共共有有点；点；2 2求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊点殊点、 、 ；3 3求出一般点求出一般点 ；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且判别可见性；且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。观看动画例题例题3 求柱头交线求柱头交线相
8、贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立其作图实质是找出相贯的两立 体表体表面的若干共有点的投影面的若干共有点的投影1) 1) 共有性共有性2) 2) 分界性分界性相贯线两立体表面的分界线相贯线两立体表面的分界线相贯线是两立体表面的共有线相贯线是两立体表面的共有线3) 3) 封闭性封闭性 相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线情况下为平面曲线或直线7-3 7-3 曲面立体体的相贯线曲面立体体的相贯线intersection of solids consisting of curved surfaces两立体相交可分为：两立体相交
9、可分为： 1) 1) 两平面立体相交：两平面立体相交：可归结为求两平面的交线可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题问题，或求棱线与平面的交点问题2) 2) 平面与曲面立体相交：可归结为求平面平面与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题与曲面立体截交线问题本节主要介绍此问题本节主要介绍此问题3) 3) 曲面立体相贯线曲面立体相贯线3.1 3.1 利用积聚性求相贯线利用积聚性求相贯线 例例: :轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。 相贯线的侧面投影积聚在水相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上，即为圆的平大圆柱侧面投影上，即为圆的一部
10、分。一部分。 空间及投影分析：空间及投影分析： 相贯线的水平投影与直立小相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合，是一个圆。圆柱的水平投影重合，是一个圆。 求相贯线的投影：求相贯线的投影： 利用积聚性，利用积聚性，采用表面取点法。采用表面取点法。1. 1. 找全特殊点找全特殊点2. 2. 补充一般点补充一般点3. 3. 判别可见性光滑连接判别可见性光滑连接4. 4. 补全轮廓线补全轮廓线曲面立体相贯的三种基本形式曲面立体相贯的三种基本形式Three basic types of intersection of solids consisting of curved surfaces2 2 外
11、表面与内表面相交；外表面与内表面相交；1 1 两外表面相交；两外表面相交；3 3 两内表面相交。两内表面相交。 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况3.2 3.2 用辅助平面法求相贯线用辅助平面法求相贯线辅助平面法：辅助平面法： 根据三面共点的原理，利用辅助根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有平面求出两回转体表面上的若干共有点，
12、从而画出相贯线的投影。点，从而画出相贯线的投影。作图方法：作图方法： 假想用辅助平面截切两回转体，分假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。转体表面上，因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面截交线的投影使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画，例如直线或圆。简单易画，例如直线或圆。 一般选择投影面平行面一般选择投影面平行面例例2. 2. 求圆柱与圆锥相贯线的投影求圆柱与圆锥相贯线的投影解
13、题步骤解题步骤1 1 分分析析: :相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共共有点；有点；2 2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点 、 、 、 ；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点、VIVI、a、b ；4 4 光光滑滑顺顺次次连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并且判别可见性；并且判别可见性；5 5 补全轮廓线。补全轮廓线。 1 1蒙日定理蒙日定理: :若两个二次曲面共切于第若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。线（椭圆）。 3.3 3.3 相贯线的特殊情况相贯线的
14、特殊情况相贯线的特殊情况（二）相贯线的特殊情况（二）相贯线的特殊情况（三）相贯线的特殊情况（三）相贯线的特殊情况（四）相贯线的特殊情况（四）当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆 3.4 相贯线的变化趋势相贯线的变化趋势Change trend of intersection lines1 1两圆柱两圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）2 2两圆柱两圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）3 3圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）4 4圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势
15、（二）圆柱圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）点击图形观看动画两圆柱两圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）点击图形观看动画点击图形观看动画圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）点击图形观看动画点击图形观看动画圆柱与圆锥圆柱与圆锥相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）点击图形观看动画点击图形观看动画当相对位置发生变化时，圆柱与圆锥相贯线的变当相对位置发生变化时，圆柱与圆锥相贯线的变化趋势化趋势3.4 3.4 圆柱、圆锥相贯线变化规律圆柱、圆锥相贯线变化规律当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。例例4 4 如
16、图所示为三个回转体相交，试求其相贯线如图所示为三个回转体相交，试求其相贯线。外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆点击相应图形观看动画点击相应图形观看动画3.53.5曲面立体曲面立体相贯线相贯线例题例题Examples of intersection lines of solids Examples of intersection lines of solids consisting of curved surfacesconsisting of curved surfaces例题例题1 求两圆柱的相贯线求两圆柱
17、的相贯线例题例题2 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线例题例题3 求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线例题例题4 求圆球与圆锥斜交的相贯线求圆球与圆锥斜交的相贯线例题例题5 复合相贯线复合相贯线例题例题1 求两圆柱的相贯线求两圆柱的相贯线yyyydedeacbabcdebac解题步骤解题步骤1 1 分分析析 相相贯贯线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用表面取点法求共有点；用表面取点法求共有点；2 2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点A、B、 C；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点D、E；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出
18、出相相贯贯线线，并并且且判判别别可可见性；见性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点例题例题2 求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱与圆锥的相贯线yyPWPV4yy4 QVQW3RVRW51112 22453 35 用辅助平面求共有点示意图用辅助平面求共有点示意图解题步骤解题步骤1 1 分分析析 相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共有点；共有点；2 2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊殊点点 、 、；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点 、；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相
19、贯贯线线，并并且且判判别别可可见见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。用水平面作为辅助平面求共有点用水平面作为辅助平面求共有点例题例题3 求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线RWRVPVyy55343543112122yy4 解题步骤解题步骤1 1分分析析 相相贯贯线线的的三三个个投投影影均均未未知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共共有有点；点；2 2求求出出相相贯贯线线上上特特殊殊点点 、 、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并并且且判别可见性；判别可见性；5 5整整理理轮轮廓廓素素线。线。3 3求求出出若若干干个个一般点一般点 、；QWQV图图3.14 3.14 圆柱与圆柱相贯之二圆柱与圆柱相贯之二例题例题4 画出两圆柱相贯线的投影画出两圆柱相贯线的投影例题例题5求圆柱与球体的相贯线求圆柱与球体的相贯线图图3.16 3.16 圆柱与球体相贯圆柱与球体相贯( )本章本章结束结束
