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1、第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程一、球面一、球面二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、小结四、小结 思考题思考题两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 三元方程表示空间中的一张曲面.故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹方程。表示上(下)球面 .一、球面特别,当M0在原点时,球面方程为表示上(下)球面 .例例2. 研究方程研究方程解: 配方得此方程表示:说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都
2、可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.说明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面, 或点 , 或虚轨迹.定义2. 一条平面曲线C二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线 l 旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.定直线 l 称为旋转轴 ,例如 :C称为母线。旋转播放旋转播放定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以
3、一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕
4、其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上
5、的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直
6、线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到一般地，在 f ( y , z ) = 0 中，将 y 换成而z 保持不变，就得到 C 绕 z 轴得到的旋转曲面的方程：绕谁旋转
7、，谁不变；另一个变量换成其余两变量的平方和的平方根。如：当曲线如：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？例例3. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为P45 例6.3 例5 写出满足下列条件的动点的轨迹方程，并说明它们分别表示什么曲面？（1）动点
8、到原点的距离等于它到平面z = 4 的距离；（2）动点到 x 轴的距离等于它 yOz 平面的距离的两倍；解： （1） 设动点为 （ x, y, z）,由条件可得：整理得：或可看成由平面曲线 绕 z 轴旋转而得。 以z轴为旋转轴的旋转抛物面， 开口向下。 （2） 设动点为 （ x, y, z）,由条件可得：整理得：或可看成由直线 绕 x 轴旋转而得。 圆锥面：顶点为原点，旋转轴为 x 轴. 三、柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示
9、圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行
10、于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面
11、. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观
12、察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线
13、所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线.定义定义观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直
14、线 叫柱叫柱面的面的母线母线.一般地，一般地， 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线例1、设柱面的准线方程为母线的方向向量为求此柱面的方程。解：设点M（x, y, z）为柱面上任一
15、点，过点M的母线与准线交于点则有即有代入准线方程可得：消去参数 t 得柱面方程为：二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面二二.二次曲面二次曲面（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：（二）椭圆抛物面（二）椭圆抛物面图形如下：图形如下：xyzo（三）双曲抛物面（三）双曲抛物面(马鞍面马鞍面)（四）单叶双曲面（四）单叶双曲面图形如下：图形如下： xyozxyo（四）双叶双曲面（四）双叶双曲面思考题思考题方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题解答思考题解答表示双曲线表示双曲线.内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1. 指出下列方程的图形:
