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1、NanjingUniversityofTechnology材料力学材料力学 (6)材料力学材料力学第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度限限制制弯弯曲曲变变形形（刚度问题）（刚度问题）工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴，当当变变形形过过大大时时( (图图中中虚虚线线所所示示) )，两两齿齿轮轮的的啮啮合合处处也将产生较大的变形。也将产生较大的变形。加大齿轮磨损，产生很大的噪声加大齿轮磨损，产生很大的噪声限制弯曲变形（刚度问题）限制弯曲变形（刚度问题）影响两个齿轮之间的啮合影响两个齿轮之间的啮合机床主轴的挠度过大会影响加工精
2、度；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 各各种种车车辆辆中中用用于于减减振振的的板板簧簧，都都是是采采用用厚厚度度不不大大的的板条叠合而成。板条叠合而成。 可以承受很大的力而不发生破坏可以承受很大的力而不发生破坏能能承承受受较较大大的的弹弹性性变变形形，吸吸收收车车辆辆受受到到振振动动和和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。 利用弯曲变形（刚度问题）利用弯曲变形（刚度问题）第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度求解静不定问题求解静不定问题第第6章章 弯曲刚度弯曲
3、刚度ABF1/2L1/2L(+)(+)静不定梁静不定梁静不定梁静不定梁建立补充方程建立补充方程利用弯曲变形（求解静不定问题）利用弯曲变形（求解静不定问题） 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度B xwA 取梁的左
4、端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴轴（向右为正）（向右为正），横截面的铅垂对称轴为，横截面的铅垂对称轴为w轴（向下为正）轴（向下为正），x w平面为平面为纵向对称面纵向对称面。 度量梁变形后度量梁变形后横截面位置改变，横截面位置改变，即即位移位移，有三个，有三个基本量。基本量。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 1.基本概念基本概念BAB xw转角转角 B挠度挠度wCC 挠度挠度deflection（w w）：横截面形心横截面形心 C C （即轴线上的点）（即轴线上的点）的铅垂位移。的铅垂位移。 转角转角slope（ ）：变形后的横截面相对
5、于变形前位置绕中变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。性轴转过的角度。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 AB xw转角转角 B挠度挠度wCC 轴向位移轴向位移（u ）：横截面形心沿水平方向的位移。：横截面形心沿水平方向的位移。 在在小小变变形形情情形形下下，上上述述位位移移中中，轴轴向向位位移移u与与挠挠度度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。相比为高阶小量，故通常不予考虑。 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线。：梁变形后的轴线。 挠曲线挠曲线AB xw转角转角 B挠度挠度wCC注意：注意：当变形保持当变形保持在弹性范围内在弹性范
6、围内，挠曲线为，挠曲线为连续光滑曲线。连续光滑曲线。挠度方程挠度方程：转角方程转角方程：2.挠度与转角的关系挠度与转角的关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 在在小小变变形形条条件件下下，挠挠度度曲曲线较为平坦。线较为平坦。即即 很很小小，因因而而上上式式中中tan。于是有于是有 挠曲线挠曲线AB xw转角转角 Bw挠度挠度CC挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定挠度：挠度：向下为正，向上为负。向下为正，向上为负。转角：转角：顺时针转为正，逆时针转为负。顺时针转为正，逆时针转为负。 挠曲线
7、挠曲线AB xw转角转角 Bw挠度挠度CC 6.1 6.1 梁的变形与位移梁的变形与位移 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式1.小挠度微分方程小挠度微分方程 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 纯弯曲时纯弯曲时曲率与弯矩的关系为曲率与弯矩的关系为横力弯曲时横力弯曲时,M和和 都是都是x的函数的函数。细长。细长梁可以略去剪力对梁的位移的影响梁可以略去剪力对梁的位移的影响,则则AA中性层曲率中心中性层曲率中心OO变形后变形后zd xyxd
8、 - yy 小挠度情形下小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。坐标的取向有关。本书规定的坐标系为：本书规定的坐标系为： x 轴水平向右为正轴水平向右为正,w 轴竖直轴竖直向下为正。向下为正。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 MMoxwoxwMM因此因此, M 与与w 的正负号正好相反，所以的正负号正好相反，所以（小挠度微分方程）（小挠度微分方程） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 近似原因：近似原因：（1）略去了剪力的影响；（略去了剪力的影响
9、；（2）小挠度略去了）小挠度略去了w 2项。项。 对于对于等截面梁等截面梁，弯曲刚度为常量弯曲刚度为常量时时2.小挠度微分方程的积分小挠度微分方程的积分积分一次：积分一次：（转角方程）（转角方程）积分二次：积分二次：（挠度方程）（挠度方程）式中式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 在固定端处：在固定端处：xwAB梁的边界条件梁的边界条件在固定铰支座和滚动铰支座处：在固定铰支座和滚动铰支座处：xABlw3.小挠度微分方程积分常数的确定小挠度微分方程积分常数的确定梁的约束条件（边界条件和连续
10、性条件）梁的约束条件（边界条件和连续性条件） 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 PABC梁的梁的连续性条件连续性条件ABlaCM在集中力作用处：在集中力作用处：在中间铰处：在中间铰处： 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 写出下图的边界条件、连续性条件：写出下图的边界条件、连续性条件：AlFCabBEAhDAlFCabB练习练习 由由M的方向的方向确定轴线的确定轴线的凹凸性凹凸性。 由由约束性质约束性质及及连续光滑性连续光滑性确定挠度曲线的确定挠度曲线的大致大致形状及位置形状及位置。4.梁的连续光滑挠曲线的绘制梁的连续光滑挠
11、曲线的绘制 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 试根据连续光滑性质以及试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。的大致形状。 思考题思考题1 1 弯矩？弯矩？约束？约束？连续光滑连续光滑？试根据连续光滑性质以试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。曲线的大致形状。思考题思考题2 2 弯矩？弯矩？约束？约束？连续光滑连续光滑？试根据连续光滑性质试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状。挠度曲线的大致形状。思考题思考题3 3 弯矩？弯矩？
12、约束？约束？连续光滑连续光滑？例例 题题 1 1求：求：求：求：梁的挠度与转角方程，梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。以及最大挠度和最大转角。 左端固定、右端自由的悬左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布荷载。均布荷载臂梁承受均布荷载。均布荷载集度为集度为q，梁的弯曲刚度为，梁的弯曲刚度为EI 、长度为、长度为l。q、EI 、l 均已知。均已知。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 5 5、积分法求解小挠度微分方程举例积分法求解小挠度微分方程举例解：解：1建立建立Oxw坐标系坐标系2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程O Ox xw w 6.2 6.2 梁的
13、小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 xMM( (x x) )F FQQ( (x x) )3建立微分方程并积分建立微分方程并积分将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 例题例题1O Ox xw w积分后，得到积分后，得到 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题14利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：O Ox xw w 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题15确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程 6.2 6.2 梁
14、的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 6确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。大值。 于是，将于是，将 x =l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：，分别代入挠度方程与转角方程，得到： 例题例题1例例例例 题题题题 2 2 2 2求：求：求：求：加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。简支梁受力如图所示。简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。均为已知。 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 解：解：
15、1确定梁约束力确定梁约束力首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得梁在支承梁在支承A、C二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。AB段段解：解： 2.分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BC段段 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题23将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题2积分后，得积分后，得4利用约束条件和连续性条件确定积分常数利用约束
16、条件和连续性条件确定积分常数x0，w10;xl，w20xl/4，w1w2;xl/4， 1 1= = 2 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 D1D2 =0 例题例题25确定转角方程和挠度方程以及指确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角定横截面的挠度与转角 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得得到梁的转角和挠度方程为：到梁的转角和挠度方程为：ABAB段段段段BCBC段段段段算得加力点算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角分别为的转角分别为 6.2 6.2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 例题例题2讨
17、论：讨论：讨论：讨论：积分法步骤总结积分法步骤总结积分法步骤总结积分法步骤总结处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点 确定约束力确定约束力 分段建立挠度微分方程并积分分段建立挠度微分方程并积分 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度1.叠加法前提叠加法前提 在小变形，在小变形，服从胡克定律的前提下服从胡克定律的前提下挠度、转角与荷载均为一次线性关系挠度、转角与荷载均
18、为一次线性关系 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 实用的工具：实用的工具：挠度表（挠度表（P157）为为方方便便工工程程计计算算，已已将将各各种种支支承承条条件件下下的的静静定定梁梁，在在各各种种典典型型荷荷载载作作用用下下的的挠挠度度和和转转角角表表达达式式一一一列出，并形成手册。一列出，并形成手册。重要的方法：重要的方法：叠加法叠加法（superpositionmethod）应应用用叠叠加加原原理理及及常常见见静静定定梁梁在在简简单单荷荷载载作作用用下下的的挠挠度度和和转转角角，得得到到常常见见静静定定梁梁在在复复杂杂荷荷载载作作用用下下的挠度与转角。的挠度
19、与转角。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简支梁受力如简支梁受力如图所示，图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。 求求求求：C截面的挠截面的挠度度wC ；B截面的转截面的转角角 B。例题例题例题例题3 3 3 3 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 2.第一类叠加法第一类叠加法应用于多个荷载作用的情形应用于多个荷载作用的情形解：解：解：解：1. .将梁上的荷载变将梁上的荷载变为三种简单的情形。为三种
20、简单的情形。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题32.由挠度表查得三种情形下由挠度表查得三种情形下C截面的挠度和截面的挠度和B 截面的转角截面的转角。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题33.应用叠加法，将简单荷载应用叠加法，将简单荷载作用时的结果分别叠加。作用时的结果分别叠加。 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题3讨论：讨论：讨论：讨论：叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤叠加法应用于多个荷载作用的情形的解题步骤叠加法应用于多个荷
21、载作用的情形的解题步骤处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点 将所得结果叠加将所得结果叠加 将其分解为各种荷载单独作用的情形将其分解为各种荷载单独作用的情形 由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角由挠度表分别查得各种情形下的挠度和转角二梁的受力二梁的受力( (包括荷载与约束力包括荷载与约束力) )是否相同？是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的弯矩是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的变形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？思考题思考题4 4位移不仅与变形有关，而且与约束有关。位移不仅与变形有关，而且与约束有关。BC段有没有变形？有没有位移？段有没有变形？有没有位移？没有变形没
22、有变形为什么会有位移？为什么会有位移？FPABC 总体变形是微段变形累加的结果。总体变形是微段变形累加的结果。 有位移不一定有变形。有位移不一定有变形。思考题思考题5 5BC段梁均视为段梁均视为刚体刚体。 悬臂梁受力如图所悬臂梁受力如图所示，示，q、l、EI均为已知。均为已知。 求求求求：C截面的挠度截面的挠度wC和和转角转角 C。例题例题例题例题4 4 4 4 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 3.第二类叠加法第二类叠加法应用于间断性分布荷载作用的情形应用于间断性分布荷载作用的情形解：解：解：解：1.1. 首先，将梁上的荷载首先，将梁上的荷载变成有表可查的情形
23、变成有表可查的情形 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 2 2再将处理后的梁分解为简再将处理后的梁分解为简单荷载作用的情形，计算各个单荷载作用的情形，计算各个简单荷载引起的挠度和转角简单荷载引起的挠度和转角 例题例题43 3 3 3将简单荷载作用的结果将简单荷载作用的结果叠加叠加 6.3 6.3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 例题例题4 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度对于主要承受弯曲的零件和构件，对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转根据对零件
24、和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角角（或者指定截面处的挠度和转角或者指定截面处的挠度和转角）限制在一定范围限制在一定范围内，即满足弯曲内，即满足弯曲刚度条件刚度条件： w 许用挠度许用挠度 许用转角许用转角均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。1 1、 弯曲刚度条件弯曲刚度条件 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20kN，alm，l2m，E=206GPa，其他尺寸如图所示。规，其他尺寸如图所示。规定轴承定轴承B处的许用转角处的许用转角 =0.5。试求：试求：根据刚度要求确定该轴的直径根据
25、刚度要求确定该轴的直径d。B例题例题5 5 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 B解：解：1查表确定查表确定B处的转角处的转角由挠度表中查得承受集中荷载的外伸梁由挠度表中查得承受集中荷载的外伸梁B处的转角为处的转角为 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 2根据刚度设计准则确定轴的直径根据刚度设计准则确定轴的直径 例题例题5B其其中中， 的的单单位位为为rad（弧弧度度），而而 的的单单位位为为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，有（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，有 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 从而得到轴的直径从而得到轴的直径 例题例题5矩形
26、截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知矩形截面悬臂梁承受均布载荷如图所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，s s=118MPa，许用最许用最大挠度与梁跨度比值大挠度与梁跨度比值wmax/l=1/250，且已知截面高，且已知截面高与与宽之比为宽之比为2，即，即h=2b。 试：试：确定截面尺寸确定截面尺寸b和和h。 例题例题6 6 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 6.4 6.4 梁的刚度问题梁的刚度问题 解：解：1.1. 强度条件强度条件2.2. 刚度条件刚度条件综合上述设计结果，取刚度设计所得到的尺寸综合上述设计结果，取刚度设计所得到的尺寸,作为梁的最作为梁的最终尺寸终
27、尺寸,即即 例题例题6 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度 梁的变形除了与荷载与梁的约束有关外，还取决于梁的变形除了与荷载与梁的约束有关外，还取决于以下因素：以下因素：材料材料材料材料梁的变形与弹性模量梁的变形与弹性模量E成反比。成反比。截面截面截面截面梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩I成反比；成反比；跨长跨长跨长跨长梁的变形与跨长梁的变形与跨长l的的n次幂成正比；次幂成正比；1 1、提高梁刚度的措施、提高梁刚度的措施 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 因此因此, ,减小弹性位移主要是减小梁的长度减小弹性位移主要是减小梁的长
28、度l。当梁的长当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座（即采用超静定结构）。度无法减小时，则可增加中间支座（即采用超静定结构）。 减小跨长减小跨长跨长跨长跨长跨长梁的变形与跨长梁的变形与跨长l的的n次幂成正比；次幂成正比； 选择合理的截面形状选择合理的截面形状截面的惯性矩截面的惯性矩I 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切例如，在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。之间再增加一个中间支架。 减小跨长减小跨长 6.5 6.5 提高
29、梁刚度的措施提高梁刚度的措施 此此外外，选选用用弹弹性性模模量量E较较高高的的材材料料也也能能提提高高梁梁的的刚刚度度。但但是是，对对于于各各种种钢钢材材，弹弹性性模模量量的的数数值值相相差差甚甚微微，因因而而与与一一般般钢钢材材相相比比，选选用用高高强强度度钢钢材材并并不不能提高梁的刚度。能提高梁的刚度。 增大弹性模量增大弹性模量 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 2 2、拓展到圆轴扭转和拉压情况、拓展到圆轴扭转和拉压情况 类似地，提高受扭圆轴的刚度，也可以通过类似地，提高受扭圆轴的刚度，也可以通过减小减小轴的长度轴的长度、增加轴的扭转刚度增加轴的扭转刚度（GIP）来实现。同
30、样，来实现。同样，对于各种钢材，对于各种钢材，切变模量切变模量G 的数值相差甚微，所以的数值相差甚微，所以通过采用高强度钢材以提高轴的扭转刚度，其效果通过采用高强度钢材以提高轴的扭转刚度，其效果是不明显的。是不明显的。 6.5 6.5 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 第第6章章 弯曲刚度弯曲刚度静不定次数静不定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差：未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数等于独：未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数立的平衡方程数静不定问题与静不定结构静不定问题与静不定结构
31、：未知力个数多于独立的平衡方：未知力个数多于独立的平衡方程数程数多余约束多余约束：保持结构静定：保持结构静定多余的约束多余的约束 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 1、基本概念、基本概念B Alq 多余约束的存在多余约束的存在2 2、求解静不定梁的基本方法求解静不定梁的基本方法 使问题由静力学可解变为静力学不可解。使问题由静力学可解变为静力学不可解。 由于多余约束对结构位移或变形有着由于多余约束对结构位移或变形有着确确定的限制定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。件。 6
32、.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 求解静不定问题，需要以下三方面的联立。求解静不定问题，需要以下三方面的联立。3、物理方程物理方程（或称（或称本构方程本构方程）：建立的力与位移）：建立的力与位移或变形之间的关系。或变形之间的关系。2、变形协调方程变形协调方程（或称为（或称为几何方程几何方程）：根据多余）：根据多余约束对位移或变形的限制，建立的各部分位移或变形约束对位移或变形的限制，建立的各部分位移或变形之间的几何关系。之间的几何关系。1、平衡方程平衡方程。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 求：求：梁的约束力。梁的约束力。已知：已知：A端固定、端固定、B端铰支梁端铰支梁的
33、弯曲刚度为的弯曲刚度为EI，长度为长度为l。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题7 7B Alq解：解：1.确定静不定次数，并选择基本静定梁。确定静不定次数，并选择基本静定梁。多余约束的数目多余约束的数目=1 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 ( (2)2)简支梁简支梁( (1)1)悬臂梁悬臂梁 选择合适的多余约束，选择合适的多余约束，将其除去，使静不定结构变将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处为静定结构，在解除约束处代之以约束力。代之以约束力。化为静定结构的办法：化为静定结构的办法： 一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外一般来说，悬臂梁
34、最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。伸梁。 B AlqBl AqBl Aq 例题例题72.列出列出变形协调方程变形协调方程（几何方程）。（几何方程）。 根据基本静定梁的一根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形全相同的要求，得到变形协调条件。协调条件。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 B AlqBl AqBl Aq 例题例题7( (1)1)悬臂梁：悬臂梁：3.根据根据物理方程物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充（用积分法或叠加法求变形），列出补充方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。仅有仅有作用，作用，B点挠度为：点
35、挠度为：仅有仅有 作用，作用，B点挠度为：点挠度为：因此因此解得：解得： 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 Bl Aq 例题例题74.根据根据平衡方程平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束力。在基本静定梁上求出其余的约束力。（） 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 ( (1)1)悬臂梁：悬臂梁：Bl Aq 例题例题7(+)(-)因此因此5.在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 Bl Aq 例题例题7Bl Aq处理具体问题时的注意点处理具体问题时的注意点讨论：讨论
36、：讨论：讨论：求解简单静不定求解简单静不定求解简单静不定求解简单静不定梁的步骤梁的步骤梁的步骤梁的步骤 确定静不定次数，并选择基本静定梁。确定静不定次数，并选择基本静定梁。 列出列出变形协调方程变形协调方程。 根据根据物理方程物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充（用积分法或叠加法求变形），列出补充 方程，并求出多余未知力。方程，并求出多余未知力。 根据根据平衡方程平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束反力。在基本静定梁上求出其余的约束反力。 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。力法：力法：以力作为未知量以力作为未知量,
37、,将位移表示为力的形式，从而求将位移表示为力的形式，从而求解未知力，进而求解位移的方法。解未知力，进而求解位移的方法。B Alq梁梁AB和和BC在在B处铰接，处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN= 40kN，q = = 20kN/m20kN/m。画梁的剪力图和。画梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。 例题例题8 8 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 解：解：、从、从B 处拆开，使超静定结构处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变成两个悬臂梁。、变形协调方程为：、变形协调方程为：FBMMA AF FA AyB1 FBMMC CF FC CyB
38、2、物理方程、物理方程 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2代入变形协调方程：代入变形协调方程：、平衡方程确定、平衡方程确定A 端约束力端约束力 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CyB1yB2确定确定C 端约束力端约束力 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8MMA AF FA AMMC CF FC CA、B 端约束力已求出端约束力已求出、最后作梁的剪力图和弯矩图、最后作梁的剪力图和弯矩图 6.6 6.6 简单的静不定梁简单的静不定梁 例题例题8课外作业课外作业P168169：62(c)，64，65（补充补充），），66(a)P170171：610，611补充习题补充习题1，*补充习题补充习题2*P323：1217NanjingUniversityofTechnology
