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1、超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现英国从事超声成像的专家英国从事超声成像的专家P. N. T WellsP. N. T Wells在在20002000年的年的文章文章超声成像技术的现状与未来超声成像技术的现状与未来一文中指出：一文中指出：“ “在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。并且这种趋势还在继续增长。” ”WellsWells还指出：还指出：“ “目前成功地应用于医学领域的超目
2、前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。的新目标。” ” “ “未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。的超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。” ” 超声层析成像理论与实现超声层析成
3、像理论与实现主要内容一. 超声层析成像技术的发展历史二. 超声层析成像技术的基本模型及方法三. 问题的不适定性及其正则化四. 模型噪声的判断方法Picard准则五. 静态正则化技术在超声层析技术中的应用六. 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七. 总结与展望 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现一. 超声层析成像的发展历史1. 折射系数层析成像方法 2. 衰减系数层析成像方法 3. 射线跟踪方法 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射 层析成像方法5. 基于精确场描述的层析成像方法 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现1.折射系数层析成像方法Refractive-index t
4、omography 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现2.超声衰减系数层析成像 Attenuation tomography 衰减系数 综合衰减系数 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现3.射线跟踪方法 Ray Tracing Method 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现4. 透射式衍射层析成像及反射式衍 射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现5. 基于精确场描述的层析成像方法超声层析成像理论与实现超声层析成像理论
5、与实现二. 超声层析成像技术的基本模型 及方法非齐次亥姆霍兹方程(Helmholtz Equation)1. 波动方程及其解超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现全场方程(Total Field Equation)(第二类Fredholm积分方程) 散射场方程(Scattering Field Equation)探测器方程(Detector Equation) 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现2. 积分方程的离散化矩量法超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现向量形式: 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现3. 波动方程的近似波动方程的近似 Born近似近似 Bo
6、rn逆解逆解O 应满足的条件应满足的条件:超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现 Rytov近似近似 应满足的条件应满足的条件:超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现4. 基本方法Born迭代算法(BI) Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法 变形Born迭代方法(DBI) 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现Born迭代算法(BI) 求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 由方程求改变量求超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 变
7、形Born迭代算法(DBI) 根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D求由方程求改变量超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法 代入超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现三.问题的不适定性及其正则化适定性问题是指： 对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 连续地依赖于数据y。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Ill-posed）。 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现离散不适定问题(Discrete Ill-Posed Prob
8、lem) 若: (1). 矩阵A的条件数非常大，或者说矩 阵A的最大奇异值和最小奇异值之比 非常大； (2). 矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程组Ax=b 或最小二乘问题:超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现Tikhonov正则化 L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为: 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现四.模型噪声的判断方法: Picard准则离散Picard准则： 若方程组Ax=b的傅里叶系数 趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。 最小二乘解:Tikhono
9、v正则化解:超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现受噪声污染和无噪声污染的Picard图 污染严重污染严重 污染较轻污染较轻 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现A 对比度为30时对比度为20时对比度为10时超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现五. 静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法 Truncated Total Least Squares (TTLS) 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD) 对
10、于线性方程组Ax=b 或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解:TSVD正则化解:超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现正则化参数的选取方法 离差原理离差原理(Discrepancy Principle)(Discrepancy Principle)方法方法 广义交叉验证广义交叉验证(GCV)(GCV)方法方法 L L曲线曲线(L-Curve)(L-Curve)方法方法 减小时 增加时 由由L L曲线方法确定曲线方法确定kk采用一维搜索的方法采用一维搜索的方法确定更精确的确定更精确的k k超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现TSVD方法的数值仿真结果 BACDE对比度为
11、10时对比度为20时对比度为30时原始图像超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现迭代过程的相对误差和相对残差曲线超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现迭代过程的相对误差和相对残差曲线超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现2.截断完全最小二乘正则化方法满足：满足：最小二乘问题：最小二乘问题：完全最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：满足：超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现截断完全最小二乘的步骤 1. 1. 首先，计算增广矩阵首先，计算增广矩阵( (A A，b b) )的奇异值分解：的奇异值分解：2确定截断参数kmin(n，rank(A，b)使得： 3. 记q=n-k+
12、1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为： 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现TTLS方法的数值仿真结果 原始图像对比度为10时对比度为20时对比度为30时超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现迭代过程的相对误差和相对残差曲线超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现六. 迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls)2. LSQR方法超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现1.求解最小二乘问题的共轭梯度 方 法(cgls) 将共轭梯度法应用于法方程将共轭梯度法应用于法方程 相当于在相当于在Krylov子空间：子空间：产生的序列产生的序列xk，使得：，使得
13、：超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是 其中： 依赖于：(1).方程的右侧项b的特征； (2).矩阵A的奇异值的分布； (3).迭代的次数 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现正则化参数对迭代的影响超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10时原始图像对比度为20时对比度为30时超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五
14、种不同图像在对比度为30时的相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现LSQR迭代方法 Lanczos三对角过程 Lanczos应用于将矩阵A双对角化Golub和Kahan(1965) Paige和Saunders(1982) 线性方程组Ax=b和应用于超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现LSQR方法的优点: 1. 速度快 2. 对不适定性问题数值稳定 3. 从迭代过程很容易求得数值分析的数值 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现BACDE原始图像LSQR方法的数值仿真结果对比度为10时对比度为20时对比度为30时超声层析成像理论
15、与实现超声层析成像理论与实现七. 总结与展望首先利用首先利用PicardPicard理论，分析了超声层析成像理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。断方法。采用了两类四种正则化方法对超声层析成像采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。物体的成像问题。结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；
16、结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢；迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不如静态方法。静态方法。超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现今后需要进一步研究的工作1. 1. 前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）2. 2. 离散化方法离散化方法 有限元法、边界元法有限元法、边界元法 矩量法中基函数的确定矩量法中基函数的确定3. 3. 正则化问题正则化问题 基于非对成方程的基于非对成方程的KrylovKrylov子空间方法子空间方法 超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现 谢 谢！超声层析成像理论与实现超声层析成像理论与实现
