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1、1.1回回归归分析的根本思想及其初步运用分析的根本思想及其初步运用 一一 回回归归直直线线方程方程;对于两个于两个变量，当自量，当自变量取量取值一定一定时，因，因变量的取量的取值带有一定随机性的有一定随机性的 两个两个变量之量之间的关系叫做相关关系。的关系叫做相关关系。2、相关关系的定、相关关系的定义义：一一.回想复习回想复习1、两个变量的关系、两个变量的关系不确定性关系不确定性关系确定性关系确定性关系函数关系函数关系线性相关线性相关非线性相关非线性相关相关关系相关关系不相关关系不相关关系正相关增正相关增负相关减负相关减注：1对具有相关关系的两个变量进展统计分析的方法叫回归分析。 2函数关系中
2、的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在，是更普通的情况 如：人的身高与年龄；产品的本钱与消费数量 商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等问题1：正方形的面：正方形的面积y与正方形的与正方形的边长x之之间 的函数关系是的函数关系是y = x2确定性关系确定性关系问题2：某水田水稻：某水田水稻产量量y与施肥量与施肥量x之之间能否有一个确能否有一个确 定性的关系？定性的关系？例如：在例如：在 7 块并排、外形大小一并排、外形大小一样的的实验田上田上进展施肥量展施肥量对水水 稻稻产量影响的量影响的实验，得到如下所示的一
3、，得到如下所示的一组数据：数据：施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455一一.回想复习回想复习;10 20 30 40 50500450400350300施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy施化肥量施化肥量水稻水稻产量量;10 20 30 40 50500450400350300发现：图中各点，大致分布在某条直中各点，大致分布在某条直线附近。附近。探求探求2：在：在这些点附近可画直些点附近可画直线不止
4、一条，哪条直不止一条，哪条直线最能代表最能代表 x与与y之之间的关系呢？的关系呢？施化肥量施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455xy散点图散点图施化肥量施化肥量水稻产量水稻产量探求探求1：水稻：水稻产量量y与施肥量与施肥量x之之间大致有何大致有何规律？律？;对于一于一组具有具有线性相关关系的数据性相关关系的数据其回其回归直直线方程方程为 此直此直线叫做回叫做回归直直线。其回其回归方程的截距和斜率的最小二乘估方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分公式分别为：2 、对对两个两个变变量量进进展的展的线线性分析叫做性
5、分析叫做线线性回性回归归分析。分析。3.线线性回性回归归直直线线方程：方程：最最小小二二乘乘估估计注：注：1回归直线方程回归直线方程 恒过样本中心点恒过样本中心点;4.求回归直线方程的步骤：求回归直线方程的步骤：3代入公式代入公式4写出直线方程为写出直线方程为y=bx+a,即为所求的回归直线方程。即为所求的回归直线方程。5.回归分析的根本步骤回归分析的根本步骤:画散点图画散点图求回归方程求回归方程预告、决策预告、决策;练习练习1：下表提供了某厂节油降耗技术发行后消费甲产：下表提供了某厂节油降耗技术发行后消费甲产品过程中记录的产量品过程中记录的产量x(吨吨)与相应的消费能耗与相应的消费能耗y(吨
6、规范吨规范煤煤)的几组对应数据的几组对应数据.1请画出上表数据的散点图；请画出上表数据的散点图；2请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关关于于x的线性回归方程的线性回归方程3知知该厂技改前厂技改前100吨甲吨甲产品的消品的消费能耗能耗为90吨吨规范煤，范煤，试根根据据2求出的求出的线性回性回归方程，方程，预测消消费100吨甲吨甲产品的消品的消费能耗能耗比技改前降低多少吨比技改前降低多少吨规范煤？范煤？参考数参考数值：32.5+43+54+64.566.5x3456y2.5344.5例例1 1、某大学中随机、某大学中随机选取取8 8名女大学生，其身高和体
7、重名女大学生，其身高和体重数据如下表所示数据如下表所示. .编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 8身高身高/cm/cm165165165165157157170170175175165165155155170170体重体重/kg/kg484857575050545464646161434359591画出散点画出散点图2根据女大学生的身高根据女大学生的身高预告体重的回告体重的回归方程，方程，3预告一名身高告一名身高为172cm的女大学生的体重的女大学生的体重.;解：解：1.确定变量：确定变量： 由于问题中要求根据身高预告体重，因此选取身高为自变由于问题中要求根据身高预告体重，因
8、此选取身高为自变量量x，体重为因变量，体重为因变量y2. 2. 作散点图；作散点图；3.设回归方程：由散点图可知，样本点呈条状分布，身高和设回归方程：由散点图可知，样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来体重有较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似的描写它们之间的关系近似的描写它们之间的关系.故设回归直线方程为故设回归直线方程为;因此，对于身高因此，对于身高172cm的女大学生，由线性回归方程可以预告其的女大学生，由线性回归方程可以预告其体重为：体重为：是斜率的估是斜率的估计值，阐明身高明身高x每添加每添加1个个单位位时，体重体重y就添加就添加0.8
9、49个个单位，位，这阐明体重与身高具明体重与身高具有正的有正的线性相关关系性相关关系.4.4.求回求回归归方程：方程：5.根据回根据回归归方程作出方程作出预预告告.有故所求故所求线性回性回归方程方程为：;思索思索1：如何描画两个变量之间线性相关关系的强弱：如何描画两个变量之间线性相关关系的强弱？1)用相关系数用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱相关系数相关系数 2相关系数的性质: 1|r|1 2正相关；负相关 3|r|越接近于1，x与y相关程度越强； |r|越接近于0，x与y相关程度越弱问题：到达怎：到达怎样程度，程度，x、y线性相关呢？它性相关
10、呢？它们的相关程度怎的相关程度怎样呢？呢？通常：通常：r-1,-0.75-负相关很相关很强; r0.75,1正相关很正相关很强; r-0.75,-0.3-负相关普通相关普通; r0.3, 0.75正相关普通正相关普通; r-0.25, 0.25-相关性相关性较弱弱; 注注:通常，通常，r0.75，以，以为两个两个变量有很量有很强的相关性的相关性相关关系的测度相关系数取值及其意义相关关系的测度相关系数取值及其意义-1.0+1.00-0.5+0.5完全完全完全完全负负相关相关相关相关无无无无线线性相关性相关性相关性相关完全正相关完全正相关完全正相关完全正相关负负相关程度添加相关程度添加相关程度添加
11、相关程度添加r正相关程度添加正相关程度添加正相关程度添加正相关程度添加本例中本例中,由上面公式可求得由上面公式可求得r=0.7980.75阐明体重与身高有很强的线性相关性，从而阐明我们建立的回归模型阐明体重与身高有很强的线性相关性，从而阐明我们建立的回归模型 有意义的有意义的.、当、当 时时，x x与与y y为为完全完全线线性相关，它性相关，它们们之之间间存在确定的函数关系。存在确定的函数关系。、当、当 时时，表示，表示x x与与y y存在着一定的存在着一定的线线性相关，性相关， r r的的绝对值绝对值越大，越接近于越大，越接近于1 1，表示，表示x x与与y y直直线线相关程度越高，反之越低
12、。相关程度越高，反之越低。练习练习2:某种产品的零件数某种产品的零件数x与加工时间与加工时间y之间有如表所示之间有如表所示数据数据:零件数零件数X24568加工时间加工时间y(分分钟钟)3040605070(1)求线性回归方程求线性回归方程;思索思索2：身高为：身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？假设不是，他能解析一下缘由吗？吗？假设不是，他能解析一下缘由吗？答：身高答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是的女大学生的体重不一定是60.316kg，但普通可以以，但普通可以以为她的体重接近于她的体重接近于60.316kg或在或在60.316kg 左
13、右。即，用左右。即，用这个回个回归方程不方程不能能给出每个身高出每个身高为172cm的女大学生的体重的的女大学生的体重的预测值，只能，只能给出她出她们平平均体重的均体重的值。 从散点从散点图图看到，看到，样样本点分布在某一条直本点分布在某一条直线线的附近，而不是在一条直的附近，而不是在一条直线线上，上，所以不能用一次函数所以不能用一次函数y=bx+a描画它描画它们们关系。关系。 我我们们可以用下面的可以用下面的线线性回性回归归模型来表示：模型来表示：y=bx+a+e， 其中其中a和和b为为模型的未知参数，模型的未知参数，e称称为为随机随机误误差差 。思索思索3：产生随机误差项：产生随机误差项e
14、的缘由是什么？的缘由是什么？随机随机误差差e e的来源的来源( (可以推行到普通：可以推行到普通：1 1、其它要素的影响：影响体重、其它要素的影响：影响体重y y 的要素不只是身高的要素不只是身高x,x,能能够还包括包括遗传基因、基因、饮食食习惯、生、生长环境等要素；境等要素；2 2、用、用线性回性回归模型近似真模型近似真实模型所引起的模型所引起的误差；差；3 3、身高、身高 y y 的的观测误差。差。以上三以上三项误差越小，差越小，阐明我明我们的回的回归模型的模型的拟合效果越好。合效果越好。函数模型：回归模型： 函数模型：因函数模型：因变变量量y完全由自完全由自变变量量x确定确定 线线性回性
15、回归归模型模型y=bx+a+e添加了随机添加了随机误误差差项项e，因，因变变量量y的的值值由自由自变变量量x和和随机随机误误差差项项e共同确定，即自共同确定，即自变变量量x只能解析部分只能解析部分y的的变变化。化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预告变量。因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊方式，因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊方式， 线性回归模型是一次函数模型的普通方式线性回归模型是一次函数模型的普通方式.思索思索4：函数模型与回归模型之间的差别？：函数模型与回归模型之间的差别？1.确定确定变变量；量； 2.作散点作散点图图，判，判别别相关关系；相关关系；3.设设回回归归方程；方程；4.求回求回归归方程；方程；5.根据回根据回归归方程作出方程作出预预告告.小结：线性回归分析的根本步骤：小结：线性回归分析的根本步骤：;
