方程的根与函数的零点

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1、天 道 酬 勤 自 强 不 息教材：新课标人教A版必修1课题：方程的根与函数的零点授课教师：罗风云 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像有什么关系？的图像有什么关系？探究一探究一情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 情境创设情境创设 方程方程x22x+1=0x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1函数函数函函数数的的图图像像方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0x

2、y01321121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3函数的图像与函数的图像与x轴的交点轴的交点情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 通过上述探究，我们可以得出以下结论：通过上述探究，我们可以得出以下结论：1.1.方程实数方程实数根的个数根的个数，就是函数图像与，就是函数图像与x轴轴交点的个数交点的个数；2.2.方程的方程的实数根实数根，就是函数图像与就是函数图像与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标。情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 方程方程ax2 +bx+c

3、=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图像的图像 判别式判别式 =b24ac0=00函数的图像函数的图像与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 一、函数一、函数零点的概念零点的概念注：注：3.3.不是所有的函数都有零点；不是所有的函数都有零点；2.2.函数的零点函数的零点不是点不是点，是一个实

4、数；，是一个实数； 对于函数对于函数 ，我们把使，我们把使 的实数的实数 叫做叫做函数函数 的的零点零点（zero point）。）。 1.1.函数的函数的零点零点就是函数图像与就是函数图像与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标; ;新知探索新知探索情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 4.4. 方程方程f(x)=0的实数根的实数根函数函数y=f(x)的图像与的图像与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标函数值等于函数值等于零零时的时的x的值的值函数函数y=f(x)的的零点零点归纳关系：归纳关系：数数形形对零点的理解：对零点的理解： 数数 的角度：的角度：

5、 形形 的角度：的角度：使使f(x)=0的实数的实数x的值的值函数函数f(x)的图像与的图像与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 数形结合(2)(2)二次函数二次函数中，中，则则二次函数二次函数的零点个数是（的零点个数是（ ）A.2A.2个个 B.1B.1个个 C.0C.0个个 D.D.无法确定无法确定(3)(3)如果函数如果函数 仅仅有一个零点，求有一个零点，求实实数数 的的值值. .(4)(4)若函数若函数有一个零点有一个零点2 2，那么函数，那么函数的零点是的零点是 . . 答案：答案：A A答案：答

6、案：0 0或或答案：答案：0 0或或(1)(1)函数函数y=x2-5x+6的零点是（的零点是（ ） A.（3，0）,（2，0） B. x=2 C. x=3 D. 2和和3 答案：答案：D D情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 思考：思考： 刚才，我们已经学习了如何去求一个函数的刚才，我们已经学习了如何去求一个函数的零点，那么现在你能判断出函数零点，那么现在你能判断出函数f(x)=lnx+2x-6的的零点有几个吗？零点有几个吗？情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 AABB首先，我们先看一个

7、实际问题：小马过河首先，我们先看一个实际问题：小马过河 哪幅图片能说明小马在从哪幅图片能说明小马在从A点到点到B点的过程点的过程中，一定曾渡过河？中，一定曾渡过河？ 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 0123 4 5-1-212345-1-2-3-4xy探究二探究二情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 观观察二次函数察二次函数f(x)x22x3的的图图像：像：在区在区间间 -2-2，1 1 上有零点上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0( (“”或或“”) )在

8、区在区间间(2，4)上有零点上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或或“”） 1 14 45 5 3 3 0123 4 5-1-212345-1-2-3-4x情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 xyOabcd思考：思考：观察图像填空，在怎样的条件下，观察图像填空，在怎样的条件下，函数函数 在区间在区间 上存在零点？上存在零点？情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 有有 有有 有有 在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0( (“”或或“”) ) 在区间在区间(a,b)上上_(_(有有

9、/ /无无) )零点；零点；在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _0( (“”或或“”) ) 在区间在区间(b,c)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点；在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _0( (“”或或”) ) 在区间在区间(c,d)上上_(_(有有/ /无无) )零点；零点；xyOabcd情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 回到刚才的小马过河问题，将河流抽象成回到刚才的小马过河问题，将河流抽象成x轴，轴，将两个位置视为将两个位置视为A、B两点。请问当两点。请问当A、B与与x轴怎轴怎样的位置关系时，样的位置关系时

10、，AB间的一段连续不断的函数图间的一段连续不断的函数图像与像与x轴一定会有交点？轴一定会有交点？ab x ab x如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，的图像是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在怎样才能保证在a,b上有零点？上有零点？ab x ab x ab xab x情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 二二、函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理 （勘根定理）（勘根定理）例例xyoyxoxyoxyo情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 判断正误，若不正确，请举出反例判断正误，若不

11、正确，请举出反例. .已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间 a,b 满足满足f(a)f(b) 0，则，则f(x) 在区间在区间(a,b)内存在零点内存在零点. .已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间 a,b 上连续，且上连续，且f(a)f(b)0， 则则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点. .已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间 a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b) 0， 则则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 抽象概括：抽象概括

12、： 在在闭闭区区间间 上的上的图图像像b. b. 若函数若函数是是连续连续不断的一条曲不断的一条曲线线，有，有，并且，并且在在闭闭区区间间上上单调单调，则则在区在区间间 内，函数内，函数有唯一的零点。有唯一的零点。 a. a. 定理中的关键词：定理中的关键词： “连续连续”、“ ”、“有零点有零点”； 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 由上表和右图可知由上表和右图可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是单调递增函数，内

13、是单调递增函数，所以它仅有一个零点。所以它仅有一个零点。解法解法1：用计算器或计算机作出：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图像的对应值表和图像 4 1.30691.09863.38635.6094 7.7918 9.9459 12.079414.1972123456789x xf f（x x）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0246105y241086121487643219的零点个数。的零点个数。例例1. 1. 求函数求函数62ln)(- -+ += =xxxf典例解析典例解析情境创设情境创设 新知探

14、索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 回到刚才给出的思考，我们来看例回到刚才给出的思考，我们来看例1：一题多解一题多解01234 5-1-212345-1-2xy6的零点个数。的零点个数。例例1. 1. 求函数求函数62ln)(- -+ += =xxxf解法2：所求问题可以转化为求方程lnx+2x-6=0的根的个数，也即是求方程lnx=-2x+6的根的个数，也即是求函数y=lnx与函数y=-2x+6的图像交点的个数。数的精细数的精细形形的的直观直观互互为为印证印证相相得得益彰益彰数形结合情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业

15、课后作业 例例2. 2. 判断判断在在内是否存在内是否存在实实数解？数解？提示：注意定理中的关键词：提示：注意定理中的关键词： “连续连续”、“ ”、“有零点有零点”； 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 2. 2. 方程方程的解所在的区的解所在的区间为间为（ ） A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)1. 1. 已知函数已知函数，问问：方程：方程在区在区间间内有没有

16、内有没有实实数解？数解？为为什么？什么？ C请大家概括一下：请大家概括一下：这节课你学到了什么？这节课你学到了什么？1函数零点的定义函数零点的定义;2三个等价关系三个等价关系;3. 函数的零点存在性定理函数的零点存在性定理;4. 两种思想：函数方程思想；数形结合思想。两种思想：函数方程思想；数形结合思想。情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 习题习题3.1 A3.1 A组组 1 1、2 2、3 3课后作业课后作业情境创设情境创设 新知探索新知探索 典例解析典例解析 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 函数零点方程根，函数零点方程根，形数本是同根生。形数本是同根生。函数零点端点判，函数零点端点判，图像连续不能忘。图像连续不能忘。最后，用一首诗来结束这一节课：最后，用一首诗来结束这一节课：谢谢！