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1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY第十二章第十二章 弯曲变形弯曲变形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。甚至会出现废品。 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作
2、。12.1 概述概述一、工程中的弯曲实例一、工程中的弯曲实例CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。则会使小车行走困难，出现爬坡现象。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 但但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。足特定的工作需要。 例如，例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的
3、变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。的冲击和振动作用。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的1 1、研究刚度、研究刚度2 2、解静不定问题、解静不定问题3 3、确定梁弯曲的动载系数。、确定梁弯曲的动载系数。控制变形：齿轮轴，镗刀杆控制变形：齿轮轴，镗刀杆使用变形：叠板弹簧，跳水板使用变形：叠板弹簧，跳水板CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、弯曲变形的基本概念三、弯曲变形的基本概念对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面1 1、挠曲线、挠曲线 梁梁在在平面弯
4、曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面（纵向对称 面）内，变成了一条曲线，该曲线称为面）内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线。表示：表示：连续光滑连续光滑特点：特点：w=f(x)，它是，它是坐标坐标x的连续函数。的连续函数。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2.2.挠度和转角挠度和转角规定规定：向上的挠度为正：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：: : 是度量弯曲变形的两个基本量是度量弯曲变形的两个基本量CHINA UNIVERSITY OF MINING
5、 AND TECHNOLOGY四、画绕曲线近似形状的方法四、画绕曲线近似形状的方法1 1、考虑支座的约束特点、考虑支座的约束特点固定端：固定端：w = 0,= 0, = 0= 0铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 2、考虑弯矩的变化、考虑弯矩的变化弯矩为正，凹弯矩为正，凹弯矩为负，凸弯矩为负，凸弯矩为弯矩为O O的线段，直线的线段，直线弯矩为弯矩为O O的点，拐点的点，拐点ABPPxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：CHINA UN
6、IVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12.2 挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程的导出一、挠曲线近似微分方程的导出力学公式力学公式力学公式力学公式数学公式数学公式数学公式数学公式平面曲线平面曲线( (挠曲线挠曲线) ) 上任意点的曲率公式。上任意点的曲率公式。纯弯曲梁变形后中性层的曲率纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲（公式，对于横力弯曲（l5h）可近似使用。可近似使用。对于小挠度情形有对于小挠度情形有CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似
7、微分方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形由挠曲线近似微分方程，由挠曲线近似微分方程， 得：得：对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：说明：说明：（1 1）若）若M（x）方程方程 或或 EI有变化，则应分段。有变化，则应分段。（2 2）C C、D D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY固定端固定端：w = 0,= 0, = 0= 0确定积分常数：确定积分常数：（1 1）边界条件）边
8、界条件（2 2）连续性条件）连续性条件 梁梁的的挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线挠曲线是一条连续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左的任一点处（如：弯矩方程的分界处，截面的突变处）左右两截面的转角和挠度均相等。右两截面的转角和挠度均相等。A铰支座：铰支座：w A= 0,= 0,wB = 0= 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷试求图示简支梁在均布载荷q作用下的作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定转角方程、挠曲线方程，并确
9、定max和和wmax。由边界条件由边界条件：得：得：梁的转角方程和挠曲线方程为：梁的转角方程和挠曲线方程为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例: : 已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定角方程、挠曲线方程，并确定max和和wmax。解：解：由边界条件由边界条件: :梁的转角方程和挠曲线方程为：梁的转角方程和挠曲线方程为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：CHINA U
10、NIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例: : 试试求求图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度图示简支梁的弯曲变形（抗弯刚度: :EIz）axyABblCP解：解：1.1.求求支反支反力、写出弯矩方程；力、写出弯矩方程；ACAC段：段：x1CBCB段：段：2.2.列出挠曲线微分方程，并积分；列出挠曲线微分方程，并积分；ACAC段：段：CBCB段：段：3.3.列出边界条件；列出边界条件；4.4.连续性条件；连续性条件；由连续性条件，可求得由连续性条件，可求得x2由边界条件，可求得由边界条件，可求得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOL
11、OGY5.5.求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度axyABblCPRARBx1x2 对对简支梁受简支梁受集中力，最大转角一集中力，最大转角一般在两端截面上般在两端截面上: :比较两者，当比较两者，当 a b 时时: :挠度最大值发生在挠度最大值发生在截面上，截面上， 当当 a b 时，发生在时，发生在ACAC段：段： 将积分常数代入，得到转角方程将积分常数代入，得到转角方程和和挠曲挠曲线方程线方程( (略略) )。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY讨论：讨论：（1 1）AC段：段：CB段：段：（2 2）当须分段表示弯矩方程时，需用连续性当须
12、分段表示弯矩方程时，需用连续性条件、边界条件一起确定积分常数。条件、边界条件一起确定积分常数。（3 3） 截面截面最大挠度最大挠度很接近于梁中点挠度值很接近于梁中点挠度值故故工程上常用中点的挠度代替最大挠度：工程上常用中点的挠度代替最大挠度：（4 4）当当 b =l/2 时时（5 5）积分法适用于积分法适用于求任意截求任意截面的挠度和转角面的挠度和转角.axyABblCPRARBx1x2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：已知梁的抗弯刚度为已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，
13、并确定并确定max和和wmax。解：解：由对称性，只考虑半跨梁由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续性条件：由连续性条件：由边界条件：由边界条件：由对称条件：由对称条件：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数？并写出各梁的边界条件和连续
14、条件。积分常数？并写出各梁的边界条件和连续条件。边界条件边界条件连续条件连续条件边界条件边界条件连续条件连续条件CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY边界条件边界条件连续条件连续条件边界条件边界条件CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1.1.挠度和转角挠度和转角规定规定：向上的挠度为正：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程： 挠度和转角是度量弯曲变形挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。的两个基本量。内容回顾：内容回顾：CHINA UNIVERSITY
15、 OF MINING AND TECHNOLOGY挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程2.2.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程3.3.积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：截面的转角方程截面的转角方程梁的挠曲线方程梁的挠曲线方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY说明：说明：（1 1）若）若M（x）方程方程 或或 EI有变化，则应分段。有变化，则应分段。（2 2）C C、D D为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。为积分常数，由边界条件和连续性条件确定。挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程CHINA
16、UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12.3 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、叠加法前提一、叠加法前提 材料服从胡克定律材料服从胡克定律 小变形小变形二、第一类叠加法二、第一类叠加法载荷叠加法载荷叠加法 当当梁上梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。的变形。已知已知已知已知：q、l、EI求求：wC , B各种载荷与它所引起的变各种载荷与它所引起的变形成线性关
17、系。形成线性关系。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYvvv=+CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY用叠加法求用叠加法求例：例：解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY若图示梁若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩则力偶矩等于多少？等于多少？例：例：解解:CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求图示梁求图示梁 B、D两点的挠度两点的挠度 wB、 wD。解：解：CHINA UNIVERSITY OF
18、MINING AND TECHNOLOGYv 例：例：用叠加法确定图示梁用叠加法确定图示梁C截面的挠度截面的挠度 wC和转角和转角C。解：解：vvv所以，所以，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：用叠加法求图示梁中点用叠加法求图示梁中点C的挠度的挠度wCABqL/2L/2L/2L/2CABL/2L/2L/2L/2Cq/2q/2ABL/2L/2L/2L/2Cq/2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：求梁中点求梁中点C的挠度的挠度 wC解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINI
19、NG AND TECHNOLOGY三、第二类叠加法三、第二类叠加法逐段分析求和法逐段分析求和法 为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，化处理，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为计算变形的方法称为逐段分析求和法逐段分析求和法，又称，又称位移叠加法位移叠加法。注：注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较
20、特殊的悬臂梁的变形时， 比较方便。比较方便。vCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度的挠度。解：解：用逐段分析求和法。用逐段分析求和法。（2 2）将）将BC段刚化段刚化（1 1）将）将AB段刚化段刚化（3 3）最后结果）最后结果lABaC CqABqABC Cqaqa2/2CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例求外伸梁求外伸梁ABC的外伸端的外伸端A的挠度和转角的挠度和转角。解：解： （1 1）将）将BC段刚化。段刚化。（2 2）将）将AB段刚化。段刚化
21、。（3 3）最后结果）最后结果ABqABaC CqP=qaaam=qa2DqaABC Cm=qa2/2P=qam=qa2DCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例求悬臂梁求悬臂梁ACB的自由端的自由端B的挠度和转角的挠度和转角。解：解：（1 1）将）将AC段刚化。段刚化。（2 2）将）将BC段刚化。段刚化。BCABqaaCqam=qa2/2ABCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，如图示，梁的最大挠度是梁的最大挠度是梁的多少
22、倍？梁的多少倍？例：例：16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：简支梁在整个梁上受均布载荷简支梁在整个梁上受均布载荷 q 作用作用，若其跨度增加若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？一倍，则其最大挠度增加多少倍？16倍倍CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12.4 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件：刚度条件： 、 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。常工作时的要求。一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件二、三类刚度问题二、三类刚度问题
23、（1 1）刚度校核）刚度校核（2 2）截面设计）截面设计（3 3）确定许可载荷）确定许可载荷CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa. 试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并并校核强度。校核强度。解：解：由刚度条件由刚度条件CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：矩形截面例：矩形截面例：矩形截面例：矩形截面 的纯弯曲梁如
24、图所示的纯弯曲梁如图所示的纯弯曲梁如图所示的纯弯曲梁如图所示, ,已知梁中性层上无已知梁中性层上无已知梁中性层上无已知梁中性层上无应力应力应力应力, ,若将梁沿中性层若将梁沿中性层若将梁沿中性层若将梁沿中性层 锯开锯开锯开锯开, ,将锯开后的两梁叠合在一起并将锯开后的两梁叠合在一起并将锯开后的两梁叠合在一起并将锯开后的两梁叠合在一起并承受相同的弯矩承受相同的弯矩承受相同的弯矩承受相同的弯矩 , ,问锯开前后问锯开前后问锯开前后问锯开前后, ,即一根即一根即一根即一根 的梁和两根的梁和两根的梁和两根的梁和两根 叠合在一起的梁叠合在一起的梁叠合在一起的梁叠合在一起的梁, ,两者的最大弯曲应力和抗弯
25、刚度的比值分别两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别为多少为多少为多少为多少? ?CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解解解解: :锯开前锯开前锯开前锯开前: :最大应力最大应力最大应力最大应力抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度锯开后锯开后锯开后锯开后, ,两根两根两根两根 的梁独立作用的梁独立作用的梁独立作用的梁独立作用, ,每梁承受每梁承受每梁承受每梁承受 , ,故叠合梁故叠合梁故叠合梁故叠合梁的的的的最大应力最大应力最大应力最大应力抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度抗弯刚度两种情
26、况下两种情况下两种情况下两种情况下, ,最大应力和抗弯刚度的比值为最大应力和抗弯刚度的比值为最大应力和抗弯刚度的比值为最大应力和抗弯刚度的比值为CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解除多余约束，代之相应的反力；变解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为形式上的静定梁系统静不定梁为形式上的静定梁系统一、静不定梁的概念一、静不定梁的概念不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁 静不定梁静不定梁 或或超静定梁超静定梁二、相当系统的建立二、
27、相当系统的建立方法步骤：方法步骤： 该梁称为原静不定梁的该梁称为原静不定梁的相当系统相当系统 求求出出解除约束处的变形，并与实际变解除约束处的变形，并与实际变形比较，得补充方程；形比较，得补充方程；三、用变形比较法解静不定梁三、用变形比较法解静不定梁12.5 简单超静定梁简单超静定梁CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。例：例：解：解：将支座将支座B看成多余约束，看成多余约束，变形协调条件为：变形协调条件为：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 另解另解：将
28、支座将支座A A对截面转动的约束看成多对截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件为：余约束，变形协调条件为：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12.6 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。上述各种因素入手。一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI影响梁强度的截面几何性质影响梁强度的截面几何性质影响梁刚度的截面几何性质影响梁刚度的截面几何性质1.1.合理选择截面形状合理选择截面形状2.2.合理选择材料合理选择材料影响梁强度的材料性能影响梁强度的材料性能 影响梁刚度的材料性能影响梁刚度的材料性能 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY二、减小跨度或增加支撑二、减小跨度或增加支撑lql/2q三、改变加载方式三、改变加载方式l/2Pl/2l/3P/2P/2lqCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY谢谢大家！谢谢大家！
