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1、 全 等三角形本课内容2.5 如图是两组形状、大小完全相同的图形如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？做一做做一做（1）（2）（1）（2）我发现它们可以完全重合我发现它们可以完全重合结论结论 我们把能够完全重合的两个图形叫我们把能够完全重合的两个图形叫作作全等图形全等图形.动脑筋动脑筋 如图，如图，ABC分别通过平移、旋转、轴反射分别通过平移、旋转、轴反射后得到后得到 ，问，问ABC与与 能完能完全重合吗全重合吗？ 根据平移、旋转和轴反射的性质，
2、可知根据平移、旋转和轴反射的性质，可知分别通过上述三个变换后得到的分别通过上述三个变换后得到的 与与ABC都可以完全重合，因此它们是全等图形都可以完全重合，因此它们是全等图形.结论结论能完全重合的两个三角形叫作能完全重合的两个三角形叫作全等三角形全等三角形. 全等三角形中，互相重合的顶点叫作全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应对应顶点顶点， 互相重合的边叫作互相重合的边叫作对应边对应边， 互相重合互相重合的角叫作的角叫作对应角对应角.ABCABCA( (A) )B( (B) )C( (C) )例如，图例如，图（1）中的中的ABC和和 全等，全等，其中其中A与与A，B与与B，C与与C是是对对应顶
3、点；应顶点；记作：记作： ABC .AB与与 ，BC与与 ，CA与与 是是对对应边；应边；A与与A，B与与B，C与与C是是对对应角应角.（1）小提示 全等用符号全等用符号“ ”表示，读作表示，读作“全等于全等于”. 在表示两个三角形全等时，通常把表示在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上对应顶点的字母写在对应位置上.结论结论 全等三角形全等三角形的对应边相等的对应边相等； 全等三角形的全等三角形的对应角相等对应角相等. 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：能够完全重合的两个角是相等的
4、，由此得到： 例如例如，举举例例例例1 如图，已知如图，已知ABCDCB，AB=3， DB=4，A=60.（1）写出写出ABC和和DCB的对应边和对应角的对应边和对应角；（2）求求AC，DC的长及的长及D的度数的度数.解解（1）AB与与DC，AC与与DB，BC与与CB是对应边；是对应边；A与与D，ABC与与DCB，ACB与与DBC是对应角是对应角. AC = DB = 4， DC = AB =3.（2） AC与与DB， AB与与DC是全等三角形的对应边，是全等三角形的对应边，A与与D是全等三角形的对应角，是全等三角形的对应角，D =A = 60.练习练习 如图，已知如图，已知ADFCBE，AD
5、=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.（1）找出它们的所有对应边和对应角；找出它们的所有对应边和对应角；（2）求求ADF的周长及的周长及BEC的度数的度数.解解（1）AF与与CE，AD与与CB，DF与与BE是对应边；是对应边；A与与C，AFD与与CEB，D与与B是对应角是对应角. （2）ADF的周长是的周长是13，BEC=40. 两个三角形满足什么条件就能全等呢两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题下面我们就来探讨这个问题. 每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为三角形，它的一个角为50，夹这个角的两边分别
6、，夹这个角的两边分别为为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗完全重合吗？由此你能得到什么结论由此你能得到什么结论？探究探究502cm2.5cm502cm2.5cm502cm2.5cm 我发现它们完全重合，我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角夹角分别相等的两个三角形全等形全等. 下面，我们从以下这几种情形来探讨这个下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真猜测是否为真. 设在设在ABC和和 中中， ，（1）ABC和和 的位置关系如图的位置关系如图. 将将ABC作平移，使作平移，使BC的像的
7、像 与与 重重合，合，ABC在平移下的像为在平移下的像为 . 由于平移不改变图形的形状和大小，因此由于平移不改变图形的形状和大小，因此ABC因为因为 ，所以线段所以线段AB与与 重合，重合，因此点因此点 与点与点 重合，重合， 那么那么 与与 重合，重合， 所以所以 与与 重合，重合， 因此因此 ， 从而从而（2）ABC和和 的位置关系如图的位置关系如图（顶点顶点B 与顶点与顶点 重合重合）. .因为因为 ，将将ABC作绕点作绕点B的旋转，旋转角等于的旋转，旋转角等于 ，所以线段所以线段BC的像与线段的像与线段 重合重合. 因为因为 ，所以所以( (A) )B( (C) )由于旋转不改变图形的
8、形状和大小，由于旋转不改变图形的形状和大小，又因为又因为 ，所以在上述旋转下，所以在上述旋转下，BA的像与的像与 重合，重合，从而从而AC的像就与的像就与 重合，重合，于是于是ABC的像就是的像就是 因此因此 ABC ( (A) )B( (C) )（3）ABC和和 的位置关系如图的位置关系如图.根据情形根据情形（1），（2）的结论得的结论得将将ABC作平移，使顶点作平移，使顶点B的像的像 和顶点和顶点 重合，重合，因此因此（4）ABC和和 的位置关系如图的位置关系如图.将将ABC作关于直线作关于直线BC的轴反射，的轴反射，ABC在轴反射下的像为在轴反射下的像为 由于轴反射不改变图形的形状和大小
9、，由于轴反射不改变图形的形状和大小，因此因此 ABC 根据情形根据情形（3）的结论得的结论得 ，因此因此由此得到判定两个三角形全等的基本事实：由此得到判定两个三角形全等的基本事实：结论结论两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成通常可简写成“边角边边角边”或或“SAS”. .例例2 已知：如图，已知：如图，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO， CO=DO. 求证：求证：ACO BDO.举举例例证明：证明：在在ACO和和BDO中，中， ACO BDO.（SAS）AO = BO， AOC = BOD，（对顶角相等对顶角相等）CO = DO，练
10、习练习1. 如图，将两根钢条如图，将两根钢条AA和和BB的中点的中点O连在一起，连在一起， 使钢条可以绕点使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内自由转动，就可做成测量工件内 槽宽度的工具槽宽度的工具（卡钳卡钳）. .只要量出只要量出 的长，就得的长，就得 出工件内槽的宽出工件内槽的宽AB. 这是根据什么道理呢这是根据什么道理呢？解解 ABOABO，AB= AB.2. 如图，如图，ADBC，AD=BC. 问：问：ADC和和CBA 是全等三角形吗是全等三角形吗？为什么为什么？解解 ADBC ADCCBA.DAC=BCA，又又 AD=BC，AC公共公共 3. 已知：如图，已知：如图，AB=AC
11、，点，点E，F分别是分别是AC， AB的中点的中点. 求证：求证：BE=CF.解解 AB=AC, 且且 E，F分别是分别是 AC，AB中点中点， ABEACF，AF=AE，又又 A公共公共， BE=CF. 类似于基本事实类似于基本事实“SAS”的探究，同的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使等变换使ABC的像与的像与 重合，因重合，因此此ABC 结论结论由此得到判定两个三角形全等的基本事实：由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 通常可简写成通常可简写成“角边角角边角”
12、或或“ASA”. .举举例例例例3 已知：如图，点已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，在同一条直线上， ABDC，AB=CD，B=D. 求证：求证：ABE CDF.证明证明 ABDC， A=C.在在ABE和和CDF中，中， ABE CDF （ASA）.A=C，AB = CD，B=D，例例4 如图，为测量河宽如图，为测量河宽AB，小军从河岸的，小军从河岸的A点沿着和点沿着和 AB垂直的方向走到垂直的方向走到C点，并在点，并在AC的中点的中点E处立一处立一 根标杆，然后从根标杆，然后从C点沿着与点沿着与AC垂直的方向走到垂直的方向走到D 点，使点，使D，E，B恰好在一条直线上恰好在一条直线
13、上. 于是小军于是小军 说：说：“CD的长就是河的宽的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？你能说出这个道理吗？举举例例图图3-35ABECD解：解：在在AEB和和CED中，中， A = C = 90，AE = CE， AEB = CED ( (对顶角相等对顶角相等) ) AEB CED.（ASA） AB=CD .( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )因此，因此，CD的长就是河的宽度的长就是河的宽度.练习练习1. 如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎 成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样 的
14、三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片 去去. 请问应带哪块玻璃碎片去请问应带哪块玻璃碎片去？为什么为什么？答：应带玻璃碎片答：应带玻璃碎片去去;只有这块玻璃具备决定全只有这块玻璃具备决定全等三角形的几个条件等三角形的几个条件:在在直角三角形中已知一个锐直角三角形中已知一个锐角和一条直角边，由角和一条直角边，由AAS判定定理即可确定两个三角形全等，故应带判定定理即可确定两个三角形全等，故应带这块玻璃去这块玻璃去.2. 已知：如图，已知：如图，ABC ，CF， 分别是分别是ACB和和 的平分线的平分线. 求证：求证：证明：证明： ABC ABC， A =
15、A , ACB = ACB. AC=AC证明：证明： CF=CF. 又又CF，CF分别是分别是ACB和和ACB的平分线的平分线， ACF= ACF. ACF ACF动脑筋动脑筋 如图，在如图，在 ABC和和 中，如果中，如果 A= A， B= B， ，那么，那么 ABC和和 全等吗全等吗？ 根据三角形内角和根据三角形内角和定理，可将上述条件转定理，可将上述条件转化为满足化为满足“ASA”的条件，的条件，从而可以证明从而可以证明ABC在在ABC和和 中，中， A = A， B = B， C = C.又又 ， B= B， ( (ASA) ).结论结论由此得到判定两个三角形全等的定理：由此得到判定两
16、个三角形全等的定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等.通常可简写成通常可简写成“角角边角角边”或或“AAS”. .例例5 已知：如图，已知：如图，B=D，1=2， 求证：求证：ABC ADC.举举例例证明证明 1 =2，ACB=ACD（同角的补角相等同角的补角相等）. .在在ABC和和ADC中，中， ABC ADC （AAS）.B =D，ACB =ACD，AC = AC，例例6 已知：如图，点已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，在同一条直线上， ACFD，A=D，BF=EC. 求证：求证：ABC DEF.举举例例
17、证明证明 ACFD，ACB =DFE. BF= EC， BF+FC=EC+FC，即即 BC=EF .在在ABC 和和DEF中，中， ABCDEF（AAS）.A =D，ACB =DFE，BC = EF，练习练习1. 已知：如图，已知：如图，1=2，AD=AE. 求证：求证：ADCAEB. ADCAEB（AAS）.1 =2，A = A，AD = AE，证明证明 在在ADC 和和AEB中，中，2. 已知：在已知：在ABC中，中，ABC =ACB， BDAC于点于点D，CEAB于点于点E. 求证：求证：BD=CE.证明证明 由题意可知由题意可知BEC和和BDC均为直角三角形均为直角三角形， 在在RtB
18、EC和和RtCDB中，中，ABC =ACB ，BC = BC ， RtBEC RtCDB（AAS）.BEC =CDB=90 ，探究探究 如图，在如图，在ABC和和 中，如果中，如果 ， ， ，那么，那么ABC与与 全等吗全等吗？ 如果能够说明如果能够说明A=A，那么就可，那么就可以由以由“边角边边角边”得出得出ABC 将将ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像的像 与与 重合，并使点重合，并使点A的像的像 与点与点 在在 的两旁，的两旁，ABC在上述变换下的像为在上述变换下的像为 由上述变换性质可知由上述变换性质可知ABC ，则则 ，连接连接 1=2，3=4
19、.从而从而1+3=2+4， ， ，即即在在 和和 中，中， （SAS）. . ABC ，结论结论由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成通常可简写成“边边边边边边”或或“SSS”. .举举例例例例7 已知：如图，已知：如图，AB=CD ，BC=DA. 求证：求证： B=D.证明：证明：在在ABC和和CDA中，中， ABC CDA. ( (SSS) )AB=CD，BC=DA，AC=CA，( (公共边公共边) ) B = D.举举例例例例8 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，A
20、B=AC，点，点D，E 在在BC上，且上，且AD=AE，BE=CD. 求证：求证：ABDACE.证明证明 BE = CD， BE- -DE = CD- -DE.即即 BD = CE.在在ABD和和ACE中，中， ABDACE （SSS）.AB = AC，BD = CE，AD = AE，结论结论 由由“边边边边边边”可知，只要三角形三边的长可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性三角形的稳定性.结论结论 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用三角形的稳定性在生产和生
21、活中有广泛的应用. 如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性. .练习练习1. 如图，已知如图，已知AD=BC，AC=BD. 那么那么1与与2相等吗相等吗？答：相等答：相等. 因为因为 AD=BC， AC=BD， AB公共公共， 所以所以 ABD BAC ( (SSS) ). 所以所以 1 = 2 ( (全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).).2. 如图，点如图，点A，C，B，D在同一条直线上，在同一条直线上， AC=BD，AE=CF，BE=DF. 求证：
22、求证：AECF，BEDF.证明证明 AC=BD， AC+ +BC=BD+ +BC ，即即 AB=CD .所以所以 AECF，BEDF.又又 AE=CF，BE=DF，所以所以 ABE CDF ( (SSS) ).所以所以 EAB = FCD, EBA = FDC ( (全等三角全等三角形对应角相等形对应角相等).).议一议议一议根据下列条件，分别画根据下列条件，分别画ABC和和（1） ， ， B=B= 45； 满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABC和和 一定一定全等吗全等吗？由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论？ 满足条件的两个三角形满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两不一定全等
23、，由此得出：两边分别相等且其中一组等边边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不的对角相等的两个三角形不一定全等一定全等.（2） A=A= 80，B=B= 30， C=C=70. 满足上述条件画出的满足上述条件画出的ABC和和 一定一定全等吗全等吗？由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论？ 满足条件的两满足条件的两个三角形不一定全个三角形不一定全等，由此得出：三等，由此得出：三角分别相等的两个角分别相等的两个三角形不一定全等三角形不一定全等.举举例例例例9 已知：如图，已知：如图，AC与与BD相交于点相交于点O， 且且AB= DC，AC = DB. 求证：求证：A =D.证明证明 连接
24、连接BC.在在ABC和和DCB中，中， ABC DCB （SSS）. A =D.AB = DC，BC = CB （公共边公共边），），AC = DB ，举举例例例例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道. 为估测这条隧道的长度为估测这条隧道的长度（如图如图），需测出这，需测出这 座山座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给间的距离，结合所学知识，你能给 出什么好方法吗出什么好方法吗？解解 选择某一合适的地点选择某一合适的地点O，使得从使得从O点能测出点能测出AO与与BO的长度的长度. 这样就构造出两个三角形这样就构造出两个三角形.连接连接AO并延长至
25、并延长至A，使，使 ；连接连接BO并延长至并延长至B，使，使 ，连接连接 ，OAB在在AOB和和 中，中， ， ， ， AOB （SAS）. . AB = 因此只要测出因此只要测出 的长度就能得到这座山的长度就能得到这座山A，B间的间的距离距离.练习练习1. 已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：求证：B =D.证明证明 如图，连接如图，连接AC. .所以所以 ACB ACD ( (SSS) ).所以所以 B =D.在在ACB和和ACD中，中，AB = AD，BC = CD ，AC = AC （公共边公共边） ，2. 如图，在如图，在ABC和和DEC中，已知一些相等的边中，已
26、知一些相等的边 或角或角（见下表见下表），请再补充适当的条件，从而能，请再补充适当的条件，从而能 运用已学的判定方法来判定运用已学的判定方法来判定ABC DEC.已知条件已知条件补充条件补充条件判定方法判定方法AC=DC，A=DSASA=D，AB=DEASAA=D，AB=DEAASAC=DC，AB=DESSSAB=DEB=EACB=DCEBC=EC 如图，在如图，在ABC与与DEF中，已知条件中，已知条件AB=DE，还需添加，还需添加两个条件才能使两个条件才能使ABC DEF，不能添加的一组条件是，不能添加的一组条件是（ ）. . A. .B=E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF C. A=D，B=E D. A=D，BC=EF中考中考 试题试题例例1 AB=DE, ,A=D, ,BC=EF但但ABC与与DEF不全等不全等. .解解D中考中考 试题试题例例2 如图如图4.2-2， ACB ， BCB=30，则，则 ACA的的度数为度数为（ ）. . A. .20 B. 30 C. 35 D. 40B解解ACB ， ， .故选故选B. 结结 束束
