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1、高数下册答案第九章 多元函数的微分法及其应用 1多元函数概念一、设f(x,y) x2 y2,(x,y) x2 y2,求:f(x,y),y2.答案：f (x, y), y2) (x2 y2)2 y4 x4 2x2y2 2y4二、求下列函数的定义域：x2(1 y)22(x, y) | y x1;1、f (x, y) 221 x yy2、z arcsin(x, y) | y x ,x 0;x三、求下列极限：x2sin y 1、lim（0）2(x,y)(0,0)2x y 2、y(1)3x (e6)(x,y)(,2)xlim四、证明：当沿着 x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y x2趋于（0，0）
2、时，极限1为,2二者不相等，所以极限不存在五、证明：当(x, y) (0,0)时，f (x, y)为初等函数，连续。当(x, y) (0,0)时，1xy sin 0 f (0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数(x,ylim)(0,0)22x y在整个 xoy面上连续。六、设z x y2 f (x y)且当 y=0时z x2，求 f(x)及 z 的表达式.解：f(x)=x2 x，z x2 2y2 2xy y1高数下册答案 2偏导数1、设 z=xy xe ,验证xyyyxzz y xy zxyyyzyzzz证明： yexex, x ex，x y xy xy xex xyzxxyxyz x
3、2 y23 1,1）处切线与 y轴正向夹角()2、求空间曲线:1在点（22y 423、设f (x, y) xy (y 1)2arcsin4、设u x, 求zx,求fx(x,1) ( 1)yzyuuu，xzyzzuzu1yuzy1 2xyln xxln x解：x，yzyxyy2u2u2u22225、设u x y z，证明 :222uxyz6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由122xsin, x y 022f (x, y) x yx2 y2 00,10 0 0lim f (x, y) 0 f (0,0)连续；fx(0,0) lim sin不存在，fy(0,0) l
4、im2y0x0x0y 0xy07、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求lim（2fx(a,b)）x0f (a x,b) f (a x,b)x2高数下册答案 3 全微分1、单选题（1）（D）既非充分又非必要条件（2）（B）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：yyy1x1）z edz ex(2dx dy)xx 2）z sin(xy2)解：dz cos(xy2) (y2dx 2xydy)y11y 3）u x解：du xzdx xzln xdy 2xzln xdzzzzyzyyy3、设z ycos(x 2y)， 求dz解：dz(0,)4 ysin(x 2y) dx (co
5、s(x 2y) 2ysin(x 2y) )dydz |(0,)=dx dy4424、设f (x, y,z) (x2 y2)sin5、解：(x,ylim)(0,0)1x y221z(2dx 4dy 5dz)df (1,2,1)求：2225x y 0 f (0,0)所以f (x, y)在（0，0）点处连续。fx(0,0) 2(x,y)(0,0)limf (x,0) f (0,0)f (0,y) f (0,0) 0, fy(0,0) lim 0(x,y)(0,0)xyf (x,y) 0(x) (y)2 0，所以可微。3高数下册答案 4多元复合函数的求导法则1、设z uv,u sint,v et，求2
6、、ttdz=cost.(sint)e 1etlnsin t(sint)eetdtz z3、设z (x y)2x3y,，求,x yz (2x3y)(x y)2x3y13(x y)2x3yln(x y),yzzy nz4、设z xnf (2)，f可微，证明x 2yxyxdzdt解：2z2z2z5、设z f (x y ,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求2，2xxyyz解： 2xf12yf2 ,x2 zz 2x( f11(2y) f122x)2 f22y( f21(2y) f222x) 2yf12xf2 ,xyy22 =2 f14xyf114(x2 y2) f124xyf2222z z222 2
7、 f14x f118xyf124y f22,2 2f14y2f118xyf124x2f22xyyx6、设z f (xy,) g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求xy2zxyzy1解： f1y 2f2g，xxy2z z11y y11x x f f1 y y( ( f f11x x f f12) )2f f22( ( f f12x x f f22) )2g g3g gx xy yx xx xx xx xy yy ydu7、设u F(x, y,z)，z f (x, y)，y (x)，求dx4高数下册答案解：du F1 F2(x) F3( fx fy(x)。dx2z2z2z2uzz
8、zzzz7、证明： 2 a22uvv2yuvxuvxu22z2z2z2z2u2 u 42 4a a 22 (a 2) a222uvxyuvyuvuv2z2z22z2 u (6 a a )2 0 a=3得：(10 5a)uvv8、设函数 f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1) a,f2/(1,1) b又，(x) fx, fx, f (x,x)求(1).和 /(1) (1) , (a+ab+ab2+b3) 5隐函数的求导公式1、设yln y x y，求dydx解：令F(x, y) yln y x y，Fx 1,Fy ln y,dy1dxln yz2、设z z(x, y
9、)由方程x2 y2 z2 yf ()确定，其中f可微，证明yzz(x2 y2 z2) 2xy 2xzxyx2zyz3、设z z(x, y)由方程 e所确定，其中f可微，求zxyzzzzz2z , ,xx(1 z) y1 zx(1 z)3xyx2 y2 z21dyxdzdzdy 0)4、设，求， (，22dxydxdxdxz x yz z5、设z z(x, y)由方程F(xy, y z,xz) 0所确定，F可微，求,x y5高数下册答案解：令F(x, y,z) F(xy, y z,xz)，则FyFxF1y zF3zF1x F2z , xFzyFF2 xF3F2 xF3z6 6、设z f (x,
10、y)由方程z x y ezxy 0所确定，求dz (dz dx dy) )7、设 z=z(x,y)由方程3xy xcos(yz) z3 y所确定，求zz, ,yxz3xy.yln3 cos(yz)zx.3xyln3 xzsin(yz) 1 ,22xy3z xysin(yz)3z xysin(yz) 6微分法在几何中的应用1、 求螺旋线x 2cost, y 2sint,z 3t在对应于t 处的切线及法平面方程43z x2y 24解：切线方程为3 223法平面方程2(x 2) 2(y 2) 3(z ) 04x 3y 4z 52、解：切线方程为，法平面方程：4x 3y 04 303、求曲面2x23y
11、2 z2 9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为2(x 1) 3(y 1) 2(z 2) 0x 1y 1z 2及法线方程2 324、证明：令F(x,y,z) f (axbz,aybz)，则Fx f1a,Fy f2a,Fz bf1 bf2,n ( f1a, f2a,bf1bf2)n(b,b,a) 0，所以在（x0, y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。11122222225、证明：令F(x,y,z)x3 y3 z3 a3，则Fxx3,Fyy3,Fzz3,333在任一点x0, y0,z0处的切平面方程为x0(x x0) y0(y y0) z0(z z0) 01313
12、13在在三个坐标轴上的截距分别为x0a , y0a ,z0a ,在三个坐标轴上的截距的平方和为a21323132313236高数下册答案y证明曲面z xf ()上任意一点M(x0, y0,z0),(x0 0)处的切平面都通过原点x7、证明 ：F(tx,ty,tz) tkF(x, y,z)两边对 t 求导，并令 t=1xFx yFy zFz kF(x, y,z)设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：Fx(x0, y0,z0)(x x0)+Fy(x0, y0,z0)(y y0)+Fz(x0, y0,z0)(z z0)=0此平面过原点（0，0，0） 7方向导数与梯度1、设函数f (x, y) x2
13、 xy y2， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为gradf (1,3) i5j,f(1,3) cos5sin , 方向导数达到最大值的方向为s (1,5)，方向导l数达到最小值的方向为 s (1,5)。u3 312、解：方向导数 为，该点处方向导数达到最大值的方向即(1,2,1)l2为梯度的方向u38gradu(1,2,1) 2i5j 3k，此时最大值为(1,2,1)luuu y2z3, 2xyz3, 3xy2z2，s (1,2,3)，该函数在点（1，1，-3、解：xyz1）处的方u4向导数为，(1,1,1
14、)l14u2xu2yu2z2,4、解：，xx y2 z2yx2 y2 z2zx2 y2 z27高数下册答案gradu(1,1,1) 222ij k333 8 多元函数的极值及求法 1、求函数f (x, y) 3x2 3y2 2x 2y 2的极值。11答案：（，）极小值点33 2求函数f (x, y) x2 y2 2ln x 18ln y的极值答案：极小值f (1,3) 10 18ln33. 函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y在点（1，1）处取得极值，求常数 a (-5)4、求函数z x2 y21在条件x y 3 0下的条件极值解：F(x, y,) x2 y21(x y 3)Fx
15、02 211 ( , )，极小值为F 023 3y5、（长和宽 2 米，高 3 米）a b c5)52222证明：令L ln x ln y 3lnz(x y z 5r )LLL 0, 0, 0，x2 y2 z2 5r2解得驻点x y r,z 3r。所以函数令xyz6、 证明a,b,c有abc3 27(f (x, y,z) ln x ln y 3ln z在x y r,z 3r处达到极大值。极大值为x2 y2 z25)，令ln(3 3r )。即xyz 3 3rx y (z ) 27(r ) 27(5a b c5x2 a, y2 b,z2 c,得abc3 27()。5535222325x2y2 7、
16、解：F x y z1( z21) 2(x y z)3221xF 2x 2 0x3F 2y y 0y123222Fy 2z 21z 2 0x ，y ，z 2(31)2 12(11)x2y2 z2132x y z 02228高数下册答案1 (x2 y2 z2) d21111311 1311 13长半轴，短半轴666第九章自测题一、一、选择题：（每题 2 分，共 14 分）1、B、limf (x, y)不存在；(x,y)(0,0)2 、 B、充分条件；3、 D、无极限。4、（A）必要条件；5、（ B）驻点但非极值点；6、（C）x2y40；7、 (B)ft fxt fyt;二、二、填空题：（每题分，共
17、 18 分）x2sin y1、lim（ 0）(x,y)(0,0)x2 y23fxyz、设f (x, y,z) e，则（exyz(13xyz x2y2z2)）xyzsin(xy),xy 0,、设f (x, y) y2则fx(0,1) ( 0 )xy 0,0,、设z (x 2y)x，则在点(1,0)处的全微分. .dz (dx 2dy)2y x、曲线2在点P0(1,1,1)处的切线方程为x zx1y1z1( ) )214x2 y2 z23xx 1y 1z 1、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为() )2102x4y6z 4三、计算题（每题 6 分）1 1、设f (x, y) xln(x2 y2)
18、，求f (x, y)的一阶偏导数2xy2x2f (x,y) ，。fx(x,y)ln(x y )2yx2 y2x y2229高数下册答案x 2 2、设f (x, y) ln，求此函数在点P0(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处x y沿着从f21 P0到P1(2,1)方向的方向导数(df(1,1) dxdy，) )l2522z1y z3、解：解： 2xf12f2 2x f11 yf123f22xxxyxy1x sin2f (x,0) f (0,0)x不存在，故不存在，故f (0,0)不存在，同理，不存在，同理，f (0,0)也也、lim limyxx0x0x 0x不存在。不存在。当当(x,y)
19、 (0,0)时，有时，有x12x1fx(x,y) sin2cos23/2222222(x y )x yx yx yfy(x, y) yx2 y2sin1x2 y22y1cos(x2 y2)3/2x2 y2、设z f (x, y)由方程z x y ezxy 0所确定，求dz(dz dx dy) )2z、设z f(x) y,(y) x，f具有连续的二阶偏导数，,可导，求xy2zz f12(y) f21 f22(y)(x) f11 f1(x) f2xyx (x)(y)1f12 (y) f22 (x) f1122u x y u0u u(x,y),(x,y)、设2确定函数，求。,22x yxy u 0u
20、4xu u24xy2,x2(u22)x2(u22)u2y xy2yu xy2,2yu2yu212u2u2u222、设u f ( x y z )，式中f二阶可导，求222222xyzx y z解：记解：记r x2 y2 z2，则，则10高数下册答案f (r) f (r)r1ruf (r)r f (r)uf (r)r f (r)uf (r)r f (r)x,yz，333xryrzr2ur2f (r)3 f (r)r f (r)2f (r)r f (r)x 253xrr类似地，有类似地，有2ur2f (r)3 f (r)r f (r)2f (r)r f (r) y y2r5r32ur2f (r)3
21、f (r)r f (r)2f (r)r f (r)z z2r5r32u2u2ur2f (r)3 f (r)r f (r)23 f (r)r f (r)22r 253xyzrrf (r)r四、（分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。111设三个正数为设三个正数为x,y,z，则，则x y z a，记，记F ，令，令xyz111(x y z a)xyz则由则由1 02xx 1 0ayy2解出解出x y z 。31z 2 0zx y z a五、证明题：（分）试证：曲面z x f (yz)上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中f连续可导。证明：曲面在任一点证明：曲面在任一点M(x,y
22、,z)处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为n 1, f ,1 f 1,1,1，则，则定直线定直线 L L 的方向向量若为的方向向量若为s ns 0，即，即n su 11高数下册答案则曲面上任一点的切平面平行于以则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)(1,1,1)为方向的定直线。为方向的定直线。第十章重积分 1二重积分的概念与性质1、(I x2 y2dxdy=.4.2 .4.2 D1316)312、解：D3=a .aa x y dxdy2 382221 43、设 D 由圆(x 2)2 (y 1)2 2围成,求3dxdyD解：由于 D 的面积为2,故3dxdy=6D4、解：在 D 上，l
23、n(x y)ln(x y)2,故I1I25、 设 f(t)连续，则由平面 z=0，柱面x2 y21,和曲面z f (xy)2所围的立体的体积，可用二重积分表示为V f (xy)2dxdyD:x2y216、根据二重积分的性质估计下列积分的值sin2xsin2ydxdyD:0 x , 0 y D (0sin2xsin2ydxdy 2)D7、解：利用积分中值定理及连续性有lim1a0a2f (x, y)dxdy lim f (,) D8a0f (0,0) 2二重积分的计算法12高数下册答案911、 C ：ln3ln28222、C ：313、D：e4e224、C0dy1f (x,y)dx1dy15、
24、A2f (x2, y)dxdyD11y12y21f (x,y)dx6、 B4f (x2, y2)dxdyD17、 Adyf (x, y)dx0yaa8、求I Dx29dxdy，其中由 x=2,y=x,xy=1 所围成. ()D:24y9、设 I=dx13ln x0f (x, y)dy,交换积分次序后 I 为：ln30 I=dx13ln x0f (x, y)dy=dyyf (x, y)dxe310、改变二次积分的次序：0dx0f (x, y)dy 2dx02x44xf (x, y)dy =x dx01x22x1y2dx11、设 D=(x,y)|0x1,0y1 ,求exydxdy的值D解：eDxy
25、dxdy=dxe001l1xydy (e dx)(eydy) (e 1)2001x1112 设 I=R2 x2 y2dxdy,其中 D 是由 x2+y2=Rx 所围城的区域，求 I (R3)3D13、计算二重积分| x2 y24| dxdy，其中 D 是圆域x2 y2 9D解：| x y 4| dxdy=d(4 r )rdr d(r2 4)rdr 22D00022222341214、计算二重积分eDmaxx2,y2dxdy，其中 D=(x,y)| 0x1,0y113高数下册答案1x1y解：eDmaxx2,y2dxdy=dxe dy dy yeydx e 10000x2215、计算二重积分Dx
26、y22dxdyx y1,x y 1.，D：22x y1x yr(cossin)42ddxdy解：2=rdr 1220x y2rcossinD 3三重积分1、 Cdx02012、Cd dd d2f( f(coscos, ,sinsin, ,z) z)dzdz021x202dy1x2y02xdz3、设是由x2 y2 z21所确定的有界闭域，求三重积分e|z|dv解：e|z|dv=e|z|(11x2y21z2dxdy)dz=2e01z(1 z2)dz 24、设是由曲面 z=xy, y=x, x=1 及 z=0 所围成的空间区域，求xy2z3dxdydz(1/364)zln(x2 y2 z21)5、设
27、是球域：x y z 1，求dxdydz (0)222x y z 16、计算(x2 y2)dxdydz其中为：平面 z=2 与曲面x2 y2 2z2所围成的222Q区域 (64)57、计算x2zdxdydz其中是由平面 z=0,z=y,y=1 以及 y=x2所围成的闭区域Q(2/27)8、设函数 f(u)有连续导数，且 f(0)=0,求lim1222解：lim4f ( x y z dxdydzt0tx2y2z2t21t0t4x2y z tf ( x2 y2 z2)dxdydz22214高数下册答案t1=lim4t0t20ddf (r)r2sindr lim00t0t4r2f (r)dr0t4 f
28、 (0) 4重积分的应用1、3（1）C( 2)47 (2) C (0,)34(3)、A (,0,0)32 (4)、B32、求均匀上半球体(半径为 R)的质心解：显然质心在 z 轴上，故 x=y=0,z=1Vzdv 3R8故质心为(0,0,R)834、 曲面z 13 x2 y2将球面x2 y2 z2 25分割成三部分，由上至下依次记这三部分曲面的面积为s1, s2, s3,求s1:s2:s355解：S S1 1dxdy 10S S3 3dxdy 20222225 x y25 x yx2y9x2y16S S2 2 705、求曲面Rz xy包含在圆柱x2 y2 R2内部的那部分面积解：S S x2y
29、R2R2 x2 y22(2 2 1)R2dxdy R315高数下册答案6、求圆柱体x2 y2 2Rx包含在抛物面x2 y2 2Rz和 xoy 平面之间那部分立体的体积123R32解：V V (x y )dxdy 2R4x2y2Rx第十章自测题一、选择题: （40 分）1 1、D Ddy011y0f (x, y)dx. .2 2、C C3234a13、Bdr2rdr a4;00214、A4815 、Aa2b2c366、BI drdrzdz00r2117、曲面z x2 y2包含在圆柱x2 y2 2x内部的那部分面积s ( ) A3 B2 C5 D22.8、 B B5二、计算下列二重积分:（20 分
30、） 1、(x2 y2)d,其中D是闭区域:0 y sin x,0 x . (2D40) )92、arctand,其中D是由直线y 0及圆周x2 y2 4,x2 y21,y x所围Dyx成的在第一象 限内的闭区域 . (32) )6416高数下册答案 3、(y23x6y9)d,其中D是闭区 域:x2 y2 R2 (D4R49R2) )4 4、Dx2 y22d,其中D:x2 y2 3. (5.) )2三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15 分） 1 1、dy012y0f (x, y)dxdy133y0f (x, y)dx ( (dxx023xf (x, y)dy) )22yy22
31、2 2、dx011 1x2xf (x, y)dy ( (dyf (x, y)dxdy001a1y20f (x, y)dx) ) 3 3、a0df (rcos,rsin)rdr ( (df (rcos,rsin)rdr) )000四、计算下列三重积分:（15 分） 1、ycos(x z)dxdydz,:抛物柱面y x及平面 y o,z o,x z 2所围成的区域 (1)1622、(y2 z2)dv,其中是由xoy平面上曲线y2 2x绕x轴旋转而成的曲面与 2平面x 5所围 (五、（5 分）求平面 (250)3xyz1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .abc122a b b2c2c2a2)2六、
32、（5 分）设f (x)在0,1上连续,试证:11y113f (x) f (y) f (z)dxdydz f (x)dx0xx06F(x) f (t)dt,则F(x) f (x)0x且F(t) f (x)dx,F(0) 0011x0xxf (x) f (y) f (z)dxdydz f (x)dxf (y)F(y) F(x)dy 01 1y117高数下册答案1011111f (x)(F2(1) F2(x) F(x)F(1) F2(x)dx=F3(1) F3(1) F3(1)=F3(1)62262第十一章曲线积分与曲面积分 1对弧长的曲线积分1 1、 B.2fx, ydsL12、 C.4 213、
33、A.t 1t2t4dt04求xds,其中L为由y x, y x2所围区域的整个边界L解：011y 1dy4y102xdx 125 5 1 1225y ds,其中L为双纽线(x2 y2)2 a2(x2 y2)(a 0)L解：原积分=4yds 4rsinrrd4a4222L1040sind2a2226x2 y2ds,其中L为x2 y2 axLa 0原积分=2 2acost adt 2a2027x2ds,其中L为球面x2 y2 z2 a2与平面x y 0的交线L18高数下册答案解：将x y代入方程x2 y2 z2 a2得2x2 z2 a2于是L 的参数方程：x 原积分=2a2cost, y a2si
34、nt, z asint，又ds adt0a2cos2tadt a3228、求均匀弧x etcost, y etsint, z et t 0的重心坐标0ds 3etdt,M 13etdt 3，x0M0etcost 3etdt 211，y0 , z05522 对坐标的曲线积分一、选择题一、选择题1. D.ABC 都不对2 A.03、 B.-2二、计算1x2 y2dx x2 y2dy，其中L由曲线y 1 1 x0 x 2从A2,0到O0,0方向解：B1,1AB:y 2 x,x:21;BO:y x,x:10I L_L_x2122 xdx x 2 x221dxx102 x2dx 43ABBO2x2 y2
35、dx y (xy ln(xx2 y2) dy其中L是正向圆周曲线x2 y2 a2解： 由奇偶对称性x2 y2dx 0，L：x acost, y asint,t :LI a4sin t cos tdta sint cost lna1costdt223a4a sin t cos tdt 442219高数下册答案3xdx ydyx y 1dz其中为从点A1,1,1到B2,3,4的有向线段解：方程：x t 1, y 2t 1, z 3t 1，I 14t 6dt 13三、过O0,0和A,0的曲线族y asin xa 0，求曲线L使沿该曲线从O0,0到A,0的积分1 y3dx2x ydy的值最小解：Ia1
36、 a3sin3x 2x a sin xa cos x dx 4a 4a3Ia 4 a2 1 0, a 1 I1 8 0。a 1,Ia最小，此时y sin x10L03四、空间每一点处Px, y, z有力Fx, y, z，其大小与Px, y, z到z轴的距离成反比，方向垂直指向z轴，试求当质点沿圆周x cost, y 1,z sint从点M1,1,0到N0,1,1时，力Fx, y, z所作的功解：由已知Fx,y,zkxx y22,kyx y22,0W xLkx2 y2dxkyx2 y22dy cos0k cost2t 1d cost kln22五、将积分LP(x, y)dxQ(x, y)dy化为
37、对弧长的积分,其中L沿上半圆周x2 y2 2x 0 从O(0,0)到B(2,0).解：y 2x x2,d y cosdxds1 x2x x2d xds 1 y2dx12x x2dx2x x2,cosdy1 x，于是ds2x x2Q(x, y) (1 x)dsLP(x, y)dxQ(x, y)dy P(x, y)L3格林公式及其应用20高数下册答案一、选择题选择题1 C.ab.2.C.03. B.-18二、计算题1.设L是圆x y2x 1取逆时针方向，则22ln x2 y2dxeydyx2 y22x2L解：将方程代入被积函数在由格林公式得ln12xdxeydy (00)dxdy 02LD22xy
38、3 y3cos xdx12ysin x3x2y3dy,其中L为点O0,0到A,1的抛物线L2y2解：因2x的弧段QP故积分与路径无关，取B,0xy2222 012ysin3 ydy 22401I OBBA3求I Lydx xdyx y22，L为(1)x12y 121 (2) 正方形边界x y 1的正向解：(1)直接用格林公式=0222 (2) 设l为圆周：x y r取逆时针方向，其参数方程x rcost, y rsint,t :0 2原积分为lL0dxdy lDl所以21高数下册答案2Lydx xdyx y22lydx xdyx y220 r2sin2t r2cos2tr2dt 24、验证解：
39、y2 yexdx 2xy exdy在xoy面上是某函数ux, y的全微分，求出ux, yQP 2y ex，ux, y xy2 yex，xy5、设曲线积分xy2dx yxdy与路径无关，其中x具有连续的导数，且1,10,00 0，计算xy2dx yxdy的值解：取路径：沿x 0从0,0到0,1；再沿y 1从0,1到1,1则11I 0y0dy xdx 012或QPx 2,又0 0得x x2xy4对面积的曲面积分xyz41、计算曲面积分(z 2xy)ds，其中是平面1在第一卦限的2343部分解：I 24y61xy) 2x dxdy dx02333x3(1 )2Dxy4(104.61dy 4 6132
40、、求曲面积分21ds，其中是界于平面 z=0 和 z=H 之间的圆柱面222x y zy2R y2Hx2 y2 R解：I 21R z221Dyzdydz 2R201R z22Rdz.1R y22dyRHR =2arctan0.arcsinR 2arctanzRyRHR22高数下册答案3、求曲面积分(xy yz zx)ds，其中是锥面z x2 y2被柱面x2 y2 2ax所截得的有限部分解：I Dxyxy (x y) x y 2dxdy=2222acosd22rcossin r(cos sin).r 2rdr=0642a415 5对坐标的曲面积分一、选择题1. A.02. Bxdydz3.B.z
41、dxdy 2zdxdy1二、计算1x2dydz y2dzdx z2dxdy其中由x y z 1及三个坐标面所围成闭曲面的外侧解：z dxdy 1 x ydxdy dx1 x ydy 2Dxy00211x2112由轮换对称性原式 142x ydydz其中为锥面z x2 y2被平面z 1所截部分的外侧解：由对称性ydydz 0原式 xdydz xzxdxdy x2y21x2x2 y221dxdy 22dr cosdr 00323高数下册答案3.(x y)dydzy zdzdxz xdxdy其中为z x2 y2被平面z 1所截部分，其法向量与 z 轴成锐角解：由对称性ydydz zdzdx 022原
42、式 2x 2y z xdxdy x2y21x2 y2 xdxdy dr3r2cosdr 00212三、用两类曲面积分之间的关系计算1 求(x3cos y3cos z3cos)dS其中是柱面x2 y2 a2在0 z h部分，cos,cos,cos是的外法线的方向余弦解：原式 x3dydz y2dzdx zdxdy由奇偶对称性 及 dxdy=0 得ha22原式 x dydz 2x dydz 2dza y330a32dy 4ha4344cos tdt a h4022( f (x, y, z) x)dydz 2 f (z, y, z) ydzdxf (x, y, z) zdxdy其中f (x, y,
43、z)为连续函数，为平面x y z 1在第四卦限部分的上侧解： 的法向量为n 1,1,1 cos原式 13, cos 13, cos13.111(x y z)dS=1 3dxdy233Dxy四、试求向量A i z jezx2 y2k穿过由z x2 y2及z 1及z 2所围成圆台外侧面（不含上下底）的流量24高数下册答案解：=dydz zdzdxezx y22dxdy2dxdy由奇偶对称性知dydz zdzdx 0x2 y2ez2 derdr 2e1e01 6 6高斯公式高斯公式1. 设是抛物面z (x2 y2)介于z 0及z 2之间部分的下侧，求z2 x dydz zdxdy1282设为x2 y
44、2 z21取外侧,求222xx 1dydz yy 1dzdx zz 1dxdy 32513.设为平面x y z 1在第一卦限部分的上侧，则xydydz yzdzdx xzdxdy=84.求矢量场A x3i y3j z3k穿过曲面z RR2 x2 y2R 0与z x2 y2所围成的闭曲面外侧的通量5. 求285R51y x 1f dydzyx x f ydzdx zdxdy，其中fu有连续的二阶导数，是22y x2 z2, y 8 x2 z2所围立体的外侧解：原式 dV x2y2482x2 y2dxdy d82rrdr 1620025高数下册答案 6.求xz2dydz x2y z3dzdx 2x
45、y y2z dxdy，其中是z a2 x2 y2及z 0所围曲面的外侧解：原式7.x2 y zdV 2224dsindrdr 0002a25a5xdydz ydzdx zdxdy(x y z )1R32223，其中为x2 y2 z2 R2取外侧1R32解：原式 xdydz ydzdx zdxdy3dV 4 7 7斯托克斯公式斯托克斯公式1、设L为依参数增大方向的椭圆：x asin2t, y 2asintcost,z acos2t0 t 2，求Ly zdxz xdyx ydz（0）2设L为平面x y z 1与坐标面交线，从 z 轴看去为逆时针方向，求Ly z xdxx y zdyy x zdz（
46、2）3.设L为圆周x2 y2 z2 R2,x y z 0若从ox轴正向看依逆时针方向，则Ly 1dxz 2dyx3dz（ 3R2） 4、Ly dx z dy x dz其中L为圆周x2 y2 z2 R2,x y z 0若从ox轴正向看依逆时针方向。解： coscoscosdS 3cosdS 3dS 3R2x2 y2 z a25Ly dx z dy x dz,其中L为曲线2z 0,a 0从ox轴正2x y ax向看依逆时针方向。222226高数下册答案解1：为球面被L所围部分z a2 x2 y2,x2 y2 ax.x, y,z取凸侧x y z上点x,y,z处的法向量为,，由斯托克斯公式a a ay
47、z xI 2zcos xcos ycosdS 2z x ydSaaaxy 2x ya2 x2 y2x2y2ax注：由对称性ydxdy DDdxdy 2xdxdy a34x2y2axxydxdy 0222a x yacos sin ,za sin, :解2：L的参数方程xacos2, y226L(y z )dx(z x) dy (x y)dz,其中L为椭圆xzx2 y2 a2,1(a 0,b 0)若从 x 轴正向看，此椭圆依逆时针方向。ab解：所围区域，其法向量为b,0, a原积分 2coscoscosdS 2aba b22dS2ab dxdy 2aabax2y2a2第十一章自测题一、填空（每题
48、 4 分，共 20 分）1、设平面曲线L为下半圆周y1x2，则曲线积分22(x y )ds _（L）2、设L为椭圆x2y21，其周长为a,则432xy3xL24y2ds (12a)3、设为正向圆周x22在第一象限中的部分，则曲线积分3（）xdy2ydx _L2y227高数下册答案4、设是由锥面zx2y2与半球面z域，是的整个边界的外侧，则R2x2y2围成的空间区xdydz ydzdx zdxdy _2W2R35、设为球面(xR)2(yR)2(zR)2SR2外侧，则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy _（0）2223/2(x y z )二、选择题（每题 5 分，共 15 分）1、C.zd
49、S 4zdS12、B.x dydz 03、设 L 是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点 A(2,0)的折线段，则曲线积分I ydx xdy为（ ） A 0 B -1 C 2 D 2L三、计算（每题 8 分）1计算曲面积分 zds，其中为锥面zSx2y2在柱体x2 y2 2x内的部分2222cos2r dr 0I 2x y 2x22. x y dxdy 2d232292、过O0,0和A,0的曲线族y asin xa 0，求曲线L使沿该曲线从O0,0到A,0的积分1 y3dx2x ydy的值最小L解：Ia1 a03sin3x 2x a sin xa cos x dx 4a 43a3Ia
50、4 a2 1 0, a 1 I1 8 0。a 1,Ia最小，此时y sin x3、计算曲线积分I4xLxdy ydx2 y2，其中L是以1,0为中心，R(R 1)为半径的圆周（取逆时针方向）28高数下册答案222解：设l为圆周：4x y r取逆时针方向，其参数方程x rcost, y rsint,t : 0 22原积分为22220dxdy 4x y4x yLlxdy ydxxdy ydx2l LlDl0121r cos2t r2sin2t22dt 2r4、计算I (y2 z2)dx(2z2 x2)dy(3x2 y2)dz其中 L 是平面Lxyz2与柱面xy1的交线，从 z 轴正向看上去为逆时针
51、方向.（-24）5计算曲面积分I 2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy其中是曲面Sz 1 x2 y2(z 0)的上侧。（-）S 6计算曲面积分I 平面zR,zR Rxdydz z2dxdy2x其中 S 是由曲面x2 y2 z212y2R2与两0围成立体表面的外侧（2R）2x2y z21的上半部分，点P22 7设 S 是椭球面x, y, zS,为 S 在S点 P 处切平面,x, y, z为点o0,0,0到切平面的距离,求（3）2zdSx, y, z四、（9 分）在变力F yz i xz j xy k作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x2a2y2b2z2c21第一卦限的点P， ，问，
52、 ，取何值3abc)9时，力F所作的功最大？求出W的最大值。（第十二章无穷级数 1常数项级数的概念和性质29高数下册答案522、 D可能收敛也可能发散3 、 C 收敛于 2S-u1114、若limbn ，bn 0,求()的值nbn1n1bn1、C1111111111) () () .() b1b2b2b3b3b4bnbn1b1bn11所以lim Snnb1解：Sn (5、若级数an收敛，问数列an是否有界n1解：由于liman 0，故收敛数列必有界。n6、若liman a，求级数(anan1)的值nn1解：Sn(a1 a2) (a2 a3).(an an1) a1 an1故(anan1) li
53、m(a1an1) a1an1n7、求(2n1a 2n1a)的值n1解：Sn(3a a)n1(5a 3a).(2n1a 2n1a) 2n1a an故(2n1a 2n1a)= lim(2n1a a) 1a8、求11的和 ()4n1n(n1)(n2) 2 常数项级数的审敛法 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数1的敛散性n1(3n2)(3n1)1111解：由于,而级数发散，故n发散n n2nn1n nn12n解：n n=nn.1.1.1 3、判定敛散性1(a 0)nn11aa 1,收敛;0 a 1, 发散nen4、判定敛散性 (收敛);2n3n
54、2n en11n e二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性3n.n!5、判定级数n的敛散性n1nan133n.n!解：lim1,所以n发散naen1nn4n6、判定级数n的敛散性nn15 3an144n解：lim收敛1，所以nnna5n15 3n 7、n.tann1n2n1收敛an 8、()，a 1收敛n1n1三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、(1)n1n1n3n1（绝对收敛）10、n1(1)n1( n1n)（条件收敛）四、判定n1n3sin2n3是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛nn3sin解：|nn3n sin333绝对收敛3|n，用比值判别法知n收
55、敛,所以n2n2n2nn1n12 3 3幂级数幂级数31高数下册答案1、设幂级数a an nxn在 x=3 处收敛，则该级数在 x=-1 点处（）n n0 0A绝对收敛 B条件收敛 C 发散 D可能收敛也可能发散(1)n12、级数n1(x2)n的收敛域（0，4nn n1 12(1)nn13、 求幂级数nx 3nxn的收敛半径（）32n n1 14、若级数a an n(x 2)n在 x=-2 处收敛，则此级数在 x=5 处是否收敛，若收敛，是n n1 1否绝对收敛（绝对收敛 ）(x5)2n15、求幂级数的收敛域n2n4n n1 1解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当 x=-7、-3 时，级
56、数发散，所以级数的收敛域为（-7，-3）(x)n6、求幂级数n1的收敛域nn n1 13解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在 x=-3 处发散，在 x=3 处收敛，所以收敛域为（-3，3x4n111 x17、求幂级数的和函数（lnarctanx x -1x1）41 x2n14n18、求幂级数n(n 2)xn的和函数n n1 1d2n1dn解：n(n 2)x n(n1)x nx x2(x) x(x )dxn n1 1dxn n1 1n n1 1n n1 1n n1 1x(3 x) =（-1x-1）(1 x)3nnn 4函数展开成幂级数1展开成 x 的幂级数2x 3x 211解：f(x)=
57、(1 x)(2 x)111和的幂级数展开式可得 f(x)=(1-n1)xn x(1,1)由2(1 x)(2 x)n11、将函数 f(x)=32高数下册答案2、将函数 f(x)=ln(x 1 x2)展开成 x 的幂级数111.341解：f (x) 而=1x2x . x1,12222.41 x1 x(2n -1)!22n1x两边积分得ln(x 1 x ) x (-1)n x(1,1)nn!2 (2n 1)n113、将函数 f(x)=展开成 x 的幂级数(1 x)(1 x2)(1 x4)(1 x8)1 x解：f(x)= (1 x)(1 x16)(1 x32).1 x x16 x17 x32 x33.
58、161 xx4、将函数 f(x)=2展开成 x-5 的幂级数x 5x63232解： f(x)=(-1)n(n1-n1)(x -5)n x(3,7)2(x5)3(x5)n123(1)n1x2n1的和函数展开成 (x 1)的幂级数5、将级数n1(2n1)!n12(1)n1x2n1(1)n1x2n1xx112()2sin解：n1=2sin2(2n1)!(2n1)!222n1n11x11x12sincos2cossin22221(1)n1(1)n2n2n12sin(x 1)cos(x 1)nn xR2n02 (2n)!2n02 (2n1)!5 函数幂级数展开式的应用1、计算 ln2 的进似值（要求误差
59、不超过 0.0001）111解：在 lnx 的幂级数展开式中令 x=2 ln2=1-.(1)n1.234考虑误差范围可求得 ln2 0.6931122x22、计算定积分edx的进似值（要求误差不超过 0.0001）012 nx解：e=(1)n!n n 0 0x2n2120ex2dx 2120(1)nn n0 012n111xdx=(124.)n!2 .32 .5.2!33高数下册答案120再考虑误差范围可求得3、计算积分12exdx 0.52052sin xdx的进似值，（要求误差不超过 0.0001）0x1sin xsin xx3x41111.dx 1.0x3!5!x3.3!5.5!7.7!
60、1sin x再考虑误差范围可求得dx 0.94610x 7 7傅里叶级数傅里叶级数1、设 f(x)是周期为2的周期函数，它在-,)上的表达式为, x 0f(x)=试将 f(x)展开成傅立叶级数x,0 x 解：a0bn=11f (x)dx 2an1f (x)cosnxdx 1n2(1)n11f (x)sinnxdx 12(1)nn再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式2、将函数f (x) x2 x2,(0 x )展开成正弦级数(1sin nx,(0,)n1n3、将函数f (x) x21,x112(0 x )展开成正弦级数和余弦级数2n2n1n3 (1)(2n32n)sin nx,0,
61、)121x11 4(1)n2cosnx,0,)3nn12 8 8一般周期函数的傅立叶级数一般周期函数的傅立叶级数34高数下册答案1、将 f(x)=2+|x|(-1 x 1)展开成以 2 为周期的傅立叶级数后求54解：展开 f(x)=22cos(2n1)x12代 x=0 得22(2n1)8n0n0(2n1)1的值2n0nn 011112=+得222n26n0(2n1)n0(2n)n0n2、将 f(x)=x-1(0 x 2)展开成周期为 4 的余弦级数22nx422解：a0(x 1)dx 0an(x 1)cosdx 22(1)n12202n81(2k 1)xcos f(x)=2 (0 x 2)22
62、k1(2k 1)3、将 f(x)=x-1(0 x 2)展开成周期为 4 的正弦级数的和函数为 s(x)，求 s(8)f (00) f (00)11解：s(8)=s(0)= 0221x0, a0x24、设 f(x)=，S(x)=ancosnx,xR,12n122xx( ,1)217其中an=2f (x)cosnxdx,n 0,1,2,3.求 S()0211f (0) f (0)7132解：S()=S()=2=2242第十二章自测题答案一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B.二、1、发散； 2、收敛.三、条件收敛.四、4 8. (提示:化成2)1 1五、1、, )； 2、( 2, 2).5 511(1)ln(1 x),x(1,0)(0,1)六、s(x) .七、2e.x0,x 012n2n3 3335高数下册答案1nn1八、x,(2 x)2n12n1x(2,2)e11(1)ne1n(1)n1e1)cosnsinnxx九、f (x) 222n11 nn 1 ( x 且x n,n 0,1,2,).21cosnhsinnx,x(0,h)(h,)十、f (x) n1n(x) h2fsinnhcosnx,n1nx0,h)(h,).36
