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1、第第2讲不等式选讲讲不等式选讲高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.1.(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.真 题 感 悟yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，
2、f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.2.(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1，1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x2x4，当1x1时，f(x)g(x)(x2)(x1)0，则1x1.当x1时，f(x)g(x)x23x40，解得1x4，又x0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc.(2)|axb|caxbc或axbc.考 点 整 合3.|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零
3、点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式热点一绝对值不等式的解法【例1】 (2018衡水中学质检)已知函数f(x)|2x2|x3|.解(1)依题意得|2x2|x3|3x2，当x1时，原不等式可化为2x2x33x2，无解.探究提高1.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对值的几何意义，结合数轴直观求解.【训练1】 (2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(
4、1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.可得f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.又|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).热点二不等式的证明【例2】 (2017全国卷)已知实数a0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)所以(ab)
5、38，因此ab2.探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.【训练2】 (2018济南调研)已知函数f(x)|x1|.解(1)f(x)f(2x5)|x1|2x4|x9，当x2时，不等式为4x12，解得x3，故x3，当2x0，b0).热点三绝对值不等式恒成立(存在)问题【例3】 (2017全国卷)已知函数f(
6、x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.由f(x)1可得当x1时显然不满足题意；当1x2时，2x11，解得x1，则1x2；当x2时，f(x)31恒成立，x2.综上知f(x)1的解集为x|x1.(2)不等式f(x)x2xm等价于f(x)x2xm，令g(x)f(x)x2x，则g(x)m解集非空只需要g(x)maxm.当x1时，g(x)maxg(1)3115；当x2时，g(x)maxg(2)22231.探究提高1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.本题分离参数m，对含绝对值符号的函数g(x)分段讨论，求出g
7、(x)的最大值，进而求出m的取值范围，优化解题过程.【训练3】 (2018郑州调研)设函数f(x)|xa|2a.(1)若不等式f(x)1的解集为x|2x4，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)k2k4恒成立，求实数k的取值范围.解(1)因为|xa|2a1，所以|xa|12a，所以2a1xa12a，所以a1x13a.因为不等式f(x)1的解集为x|2x4，(2)由(1)得f(x)|x1|2.不等式f(x)k2k4恒成立，只需f(x)mink2k4，所以2k2k4，即k2k20，所以k的取值范围是1，2.1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法、几何法(利用绝对值几何意义)、构造函数法.前者体现了分类讨论思想，后者体现了数形结合思想的应用.2.利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件，利用基本不等式求最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
