《第六章留数理论及其应用-复变函数论-教学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章留数理论及其应用-复变函数论-教学课件（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回下页第六章第六章 留数理论及其应用留数理论及其应用前面第二五章为复变函数论的重要理论本章的内容是对前面理论的进一步应用留数在实际中应用很广泛，主要是求积分和零点的分布情况返回上页下页内容：内容：第一节 留数第二节 解析函数的孤立奇点第三节 留数理论计算实积分第四节 辐角原理及其应用目标或要求：目标或要求：掌握留数的概念和求法；掌握留数定理的内容和基本应用方法；掌握利用留数定理求实积分的基本方法；了解辐角原理和儒歇定理的简单应用。返回上页下页第一节第一节 留数留数w1 1 留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理w2 2 留数的求法留数的求法w3 3 函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数
2、返回上页下页留数的留数的定义及留数定理定义及留数定理留数留数导入导入设函数f(z)在点a解析。作圆使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析,由柯西积分定理,如果a是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零.如：设a为f(z)的孤立奇点,在以a为心,半径为R 的去心邻域，即在0|z-a|R内把f(z)展成罗朗级数：它在较小的闭环形域0r1|z-a|r2R内一致收敛,可以逐项积分,积分曲线为周线c:|z-a|=r(r1rr2)由重要积分可见：f(z)洛朗级数的(z-a)-1项的系数c-1具有特别重要的地位 。数这里z= a是函数的一阶极点.得返回上页下页定义定义6.1 设点a()为函数f(z)的孤
3、立奇点，即f(z)在a点的一去心邻域：0|z-a|R (0R+)内解析，称积分：为f(z)在点a的留数留数(或残数残数) (Residue) ，记作 或这里积分是沿正向逆时针方向取的。注解注解留数只与函数和点有关,而与R、无关, 有一定的任意性定义时要求点为孤立奇点,定义函数在其解析点的留数为0;留数与洛朗系数的关系： = c-1留数的概念留数的概念即= f(z)在在a洛朗级数洛朗级数(z-a)-1项的系数项的系数可去奇点可去奇点的留数为的留数为0只要f(z)在0|z-a|R内解析,0R即可;可扩展到解析点,作为运算的作为运算的求求留数留数,对函对函数是具有线数是具有线性性的性性的返回上页下页
4、定理定理6.1(柯西柯西留数定理留数定理) D是周线或复周线C所围区域,在D内只有有限多个孤立奇点：在D -在则证证 以D内每一个孤立奇点ak为心,作圆Ck使:以它为边界的闭圆盘上每一点都在D内 任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。从D中除去以Ck为边界的闭圆盘得区域G 其边界是C以及Ck在G上,f(z)解析,并连续到边界。由复周线柯西积分定理两边乘2i,并根据留数的定义,得结论成立。CkCnC2C1柯西柯西留数定理留数定理=D+CD内解析D - 内连续设f(z)：CDa1a2akanG(k=1,2,.,n)返回上页下页留数定理的注解留数定理的注解留数定理建立了留数与积分的关系，是非常重要的;具
5、体计算一定要注意前面的系数2i ;用小范围的留数求大范围的积分,化整为零,是留数重要应用;所围区域内只能有孤立奇点，否则，不能用；含盖了柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数的积分公式.求积分求积分求留数定义洛朗系数其它方法求积分一般方法寻找！无意义不简单希望简单！返回上页下页留数的求法留数的求法一般原则只要在以奇点为心的圆环上把函数展开为洛朗级数，取它的负一次幂项的系数就行了.只关心洛朗级数负一次幂项的系数，也可不求洛朗级数，而通过某种方法求出负一次幂项的系数。但对于极点，有略简便的方法.定理定理6.2 设a是f(z)的一个n阶极点，在a的一去心邻域内其中：(z)在此邻域内(包括z=a)解析，
6、且(a)0,则证证 (z)在a的泰勒展式是：则 返回上页下页一、二阶极点留数的计算一、二阶极点留数的计算推论推论6.3、6.4 设a是f(z)的一阶极点, (z)=(z-a) f(z), 则 设a是f(z)的二阶极点, (z)=(z-a)2 f(z), 则定理定理 6.5 设a是f(z)=P(z)/Q(z)的一阶极点,且为Q(z)的一阶零点，则证证返回上页下页对各种求留数的方法都应灵活熟练地掌握，并结合自己的习惯，总结一套对自己行之有效的方法；求留数的一般方法是求洛朗级数负一次幂项的系数(c-1)，应结合洛朗级数和泰勒级数来求；求极点留数的公式将求留数的问题转化为求(z)的泰勒展式的系数；求极
7、点留数的公式，也有很大的局限性，由于先要判断孤立奇点的类型，而此工作是需要很多的计算，所以，此公式也只适合求低阶(一般不超过3阶)极点的留数；构造求极点留数公式中的(z),只要f(z)的极点(a)的阶(n)求对，则(z)= f(z)(z-a)n用留数求积分的一般过程求出积分曲线所围区域的全部奇点；判别所有奇点的类型；选择求留数的方法，求出奇点的留数；利用柯西留数定理求积分。注意被积函数的周期性和其它特性！注意被积函数的周期性和其它特性！留数计算的注解留数计算的注解返回上页下页例例(补充例补充例)设解法解法1 由定义得注意：这里的积分路径的半径并非只能取1/4，只须使半径小于1即可满足定义的条件
8、解法解法2 因点z=0为f(z)的孤立奇点，所以，在:0|z|1/3内有由此得c-1=2 ，得求柯西积分公式柯西积分公式同样这里同样这里并非只能取并非只能取1/3,只须小于只须小于1即可即可返回上页下页续解补充例续解补充例解法解法3 因点z=0为f(z)的一阶极点，所以，依求极点留数的公式得解法解法4 因点z=0为f(z)的一阶极点，所以，依求一阶极点留数的公式得返回上页下页例例(P228例例6.1)设 求解解 f(z)在积分曲线:|z|=2内的奇点为： z =0、1 容易判定：则由留数定理得：z =0为f(z)的一阶极点; z =1为f(z)的二阶极点返回上页下页例例(P229例例6.2)设
9、 求 ，n:自然数解解 令在积分曲线:|z|=n内的奇点满足:|k+1/2|n,故z=k+1/2依求一阶极点留数的公式得：由留数定理得：f(z)=是 的一阶零点， 是f(z)的一阶极点f(z)在整个多平面上解析得:即f(z)奇点为：即-nkn-1返回上页下页例例(P229例例6.3)设 求解解 在积分曲线:|z|=1内的奇点: z=0容易证明z=0为f(z)的3阶极点依求极点留数的公式得：由留数定理得：又求留数又求留数c-1为n=1时的系数,即-1/2故返回上页下页例例(P229例例6.4)设 求 解解 在积分曲线:|z|=1内的奇点: z=0利用重要基本初等函数的泰勒展式，按分子、分母展开f
10、(z):故由留数定理得：构造非构造非0因子因子-g(z)在z=0处解析非0. 因此f(z)在z=0的c-1为g(z)在z=0泰勒展式的常数项,即g(0)=-1返回上页下页又解例又解例(P229例例6.4)f(z)的因子：z、sinz、1-ez都以z=0为1阶零点，则z=0为f(z)的1+1-13=-1阶零点,即1阶极点依求极点留数的公式得：余下和前面一样利用零点阶级利用零点阶级的运算确定极的运算确定极点的阶点的阶返回上页下页例例(P231例例6.5)设 求解解 在积分曲线:|z|=1内的奇点: z=0由展开式知，z=0为本质奇点f(z)展开式:因此f(z)在z=0的c-1=0故由留数定理得：如
11、则c-1=1返回上页下页函数在无穷远点的留数函数在无穷远点的留数定义定义定义定义6.2 设为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-:0r|z|+ 解析，则称为f(z)在点点留数留数。注：注：积分曲线为负方向顺时针方向。与与洛洛朗系数的关系朗系数的关系将f(z)在的洛朗级数，沿-逐项积分得注：注：记为注意与有限点的差异；当为可去奇点时，其留数一般不为0。如1+1/z, 为可去奇点,但返回上页下页定理定理6.6 如果f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),则f(z)在各点的留数总和为零。利用有限点的留数定理，很容易证明注释：注释：在该定理说明，函数在全平面上所有各点
12、的留数之和为零，这里所说各点包括无限远点和有限远点；作用：作用：当周线C内(外)有很多奇点，而C外(内)的奇点少，则可用此定理将求C内(外)留数和转化为求C外(内)留数和。不同的留数组合，得不同的公式，可以求不同的留数和。求法求法-c-1；由定理6.6 含含的的留数定理留数定理a1,a2,an为f(z)在z平面上全部有限奇点利用定义很容易利用定义很容易证明证明返回上页下页例例(P233例例6.6)设 求解解 f(z)在扩充复平面上共有七个奇点：前六个均在积分曲线:|z|=4的内部，由留数定理,所求积分方法一方法一由得c-1=1故方法二方法二所求积分=2i以t=0为一阶极点，故t返回上页下页求周
13、线上积分的方法小结：求周线上积分的方法小结：积分定理；积分定理；积分公式；积分公式；高阶导数积分公式；高阶导数积分公式；有限点的有限点的留数定理；留数定理；含含的的留数定理留数定理辐角原理。辐角原理。将求积分的问题转化为求导数的问题将求积分的问题转化为求导数的问题返回上页下页w1 1w2 2w3 3w4 4 积分路径上有奇点的积分积分路径上有奇点的积分第二节第二节 用留数定理计算实积分用留数定理计算实积分 返回上页下页留数定理的应用留数定理的应用求实积分求实积分:在求一些实定积分或反常积分的值时,其被积函数的原函数,不能用初等函数表示出来;或者可以求出原函数,但计算非常复杂.留数定理的一个重要
14、应用是计算某些实积分. 如能把实积分化为复积分,再用求复积分的方法,就可简化问题.关键的是设法把实积分跟复变函数在周线上的积分联系起来.但是,利用留数求实积分,无通用的方法,也不是适合所有实积分.实积分变为实积分变为周线上的周线上的复积分的要点：复积分的要点：定积分利用变量代换把l1变为另一复平面上的周线,再应用留数定理;另外补上一段曲线l2, 使l1+l2为周线, 积分左端可用留数定理,右端第一个积分为所求实积分,如果右端第二个积分容易求出,则问题解决.的积分区间a,b为复平面上实轴上的一段l1yx0z平面平面abl1l2利用极限,周线上连续.返回上页下页R:二元有理函数二元有理函数方法方法
15、: 设R(sin,cos)在0,2连续.令: z=e i ，dz=e i id=zid，d=dz/zi : 02 ，z : 在单位圆|z|=1周上正向变动一周某些不为此标准型的积分,可利用积分区间的移动、函数的周期、奇偶和欧拉公式转化为此标准型，0 21z平面平面并注意利用实虚部的比较返回上页下页例例(P234例例6.7)求 解解 当p=0,I=2,下设p0当0|p|1,f(z)在|z|1内仅以z=p为一阶极点,故由留数定理当1|p|,f(z)在|z|1内仅以z=1/p为一阶极点,故由留数定理令z=e i ，在|z|=1上无奇点,在|z|=1上无奇点,记返回上页下页例例(P236例例6.9)求
16、 解解 令z=e i 当z绕|z|=1一周，则u绕|u|=1两周f(z)在|z|1内仅有一阶极点：依求一阶极点留数的公式得：故由留数定理在|z|=1上无奇点,令u=z 2记f(z)=变量代换的应用变量代换的应用绕行多周的处理方法绕行多周的处理方法返回上页下页例例(P237例例6.10)求 解解 被积函数为偶函数，故令则f(z)在|z|1内仅以z=1/2为一阶极点,由留数定理，比较实部故 令z=e i 在|z|=1上无奇点,=记f(z)=欧拉公式欧拉公式奇偶函数的奇偶函数的处理方法处理方法返回上页下页例例(补充例补充例)求 解解 若直接作变换z=e i ，则积分复杂，先考虑积分:变换z=e i
17、，则f(z)在|z|0,R00, RR0有引理引理6.1设f(z)在圆弧SR ：z=Rei(12,R充分大)上连续,且在SR上一致成立(即与12中的无关)，则证证z平面平面xy令:z=Rei (12)dz=Re i id=zid，d=dz/zi : 12z :在圆弧SR上变动一次SRR1R2用留数求广义积分基础理论之一；R充分大保证包含角形区域的全部有限奇点返回上页下页定理定理6.7 设f(z)=P(z)/Q(z)为有理分式，其中为互质多项式,则证证 由n-m2得作R：z=Rei(0)取R足够大,使CR的内部包含f(z)在上半平面内的一切奇点,由在实轴上Q(z)0知, f(z)在CR上连续由于
18、当n-m2时由引理6.1收敛,且且n-m2；在实轴上Q(z)0与线段-R,R构成周线CR由留数定理得又于是公式成立过过程程比比公公式式更更重重要要返回上页下页例例(P241例例6.11)设 解解 被积函数f(x)为偶函数，故函数f(x)的奇点为故在上半平面的奇点为：而：奇偶函数的奇偶函数的处理方法处理方法计算为一阶极点返回上页下页例例(补充例补充例)求 解解 满足定理的要求，即：得上半平面的全部奇点为有两个：与易判断与均为一阶极点，算留数，有解方程：记其中：得返回上页下页R:有理函数有理函数处理方法与第二种积分的一样处理方法与第二种积分的一样引理引理6.2(若尔当(Jordan ) 记 (R0
19、充分大)圆弧R( G): z=Rei (R0R,11)设g(z)在闭区域G上连续 如果zR在G时,一致成立则证证 g(z)在有界闭集R上连续,则模可取最大值,设为M(R),z平面平面xy-R RR(m0)z平面平面xyRRR返回上页下页当0P(z)的次数;在实轴上Q(z)0;m0则特别：分开实、虚部就可求积分改变m ，可用不同区域的留数求不同的积分例例(P244例例6.13)计算 解解 被积函数为偶函数，故 有两个奇点：i在上半平面的奇点为: i所以为一阶极点I=满足上定理中对g(x)的要求其留数为:记返回上页下页例例(补充例补充例)计算 解解 令则E=ReH记有两个奇点:-2i其留数为：由定
20、理得所以从而有为一阶极点满足上定理中的要求因此，为了计算E ，只需求出H 上半平面的奇点为:-2+ i返回上页下页计算积分路径上有奇点的积分计算积分路径上有奇点的积分 前面所讲的三种类型都是f(x)在实轴上没有奇点的情况,如果f(x)在实轴上有奇点, 前述计算方法不完全适用求此广义积分(瑕积分),但也可以借助复积分来计算某些这类广义积分.例如f(x)在实轴上有一个奇点z=a(a为实数)要计算在作辅助线时,应绕过奇点z=a具体办法是具体办法是在上半平面,作个以z=a为心,半径为的半圆周C(如图所示) 上式左端用留数定理计算，再令0、R+取极限第一个极限用下面介绍的引理求.第二个极限用前面介绍的引
21、理求.如果实轴上有n个奇点，那么分别按上面的方法处理返回上页下页例例(P246例例6.15)计算狄利克雷积分积分解解 积分收敛，且取f(z)=eiz/z，则f(z)只是在z=0有一个一阶极点。取、R,使 R 0 ,作积分路径引理引理6.3设f(z)在圆弧Sr ：z-a=rei(12,r充分小)上连续,且在Sr上一致成立(即与12中的无关)，则证明方法同引理6.1。返回上页下页续解例续解例(P246例例6.15)在上半平面上作以原点为心、 、R为半径的半圆C 、 CR于是有由引理6.2 于是令0、R+有则由引理6.3返回上页下页第三节第三节 辐角原理及其应用辐角原理及其应用w1 1 对数留数对数
22、留数 w2 2 辐角原理辐角原理 w3 3 儒歇儒歇(Rouche)定理定理 返回上页下页对数留数对数留数 概念概念应用留数定理,可以解决有关零点与极点的个数问题，考虑形如f (z)/f (z)的复变函数在极点处的留数,由之导出的辐角原理提供了确定解析函数零点个数的一个有效工具。由于积分称为f(z)的对数留数对数留数。函数的对数求导的留数f (z)/f (z)的奇点的奇点：f(z)的零点和奇点。这里只考虑f(z)的奇点为极点的情况。返回上页下页证证 由条件得在a的邻域内于是引理引理6.4设a是f(z)的n阶零点,则a为函数f (z)/f (z)的一阶极点,在a解析 且其中g(z)在a解析非0设
23、b为f(z)的m阶极点,则b为函数f (z)/f (z)的一阶极点,并且并且故结论成立由的结论, b为的一阶极点,且或由g(z)在a解析非0,得g(z)/g(z)在a解析,由条件得b为1/f (z)的m阶零点,返回上页下页零点与极点的个数零点与极点的个数 定理定理6.9 设C是一条周线， f(z) 满足: 在C的内部除极点外解析的； 在C上连续非零。则有其中N(f,C)、 P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数一个n阶零点算作n个零点，一个m阶极点算作m个极点证证 由上章习题(二)14P223, 知f(z)在C内至多有有限个零点和极点设ak为f(z)在C内部的不同零点，其阶为n
24、k (k=1,2,.,p) bj为f(z)在C内部的不同极点，其阶为mj (j=1,2,.,q)根据条件和引理6.4知f (z)/f (z)在C内部除去一阶极点: ak (k=1,2,.,p)、 bj (j=1,2,.,q)外解析,并在C上连续故由留数定理及引理6.4得返回上页下页注解：注解： 如将零点和极点等同看待，则由引理6.4知，函数的导数除函数具有统一阶的作用都为负一阶零点一阶极点。且其留数只与函数零点和极点的阶有关,而与函数其它性质无关; 定理6.9中的公式可两边用,由个数求积分,或由积分求个数。其主要用于研究函数的零点和极点个数，当然也可以求积分； 定理6.9中的公式有些推广，如本
25、章习题(二)8P275。返回上页下页辐角原理辐角原理 对数留数有一个实际意义,由此给出定理6.9中公式的等价表述.由于函数 是z的单值函数但 的值可能改变！当z从z0起绕行周线C一周回到z0时：=0=式中表示z沿C绕行一周后argf(z)的改变量，他一定是2的整倍数。Cyx0z平面平面vu0w平面平面w=f(z)w0z0C 于是01返回上页下页从对数留数看，对数留数为自变量绕周线一周函数幅角的改变量，即此等式成立的条件为函数在周线内除有限个奇点外解析，连续到边界，边界上无零点；前面所有结论中的周线可为复周线；当原点在周线内部，幅角改变，否则幅角不变。辐角原理辐角原理 在定理6.9的条件下，f(
26、z)在周线C的内部的零点个数与极点个数之差，等于当z沿C正方向绕行一周后argf(z)的改变量除以2 ，即特别，如f(z)在周线C的内部无极点，则注：vu0w平面平面变变不变不变不变不变|z-a|=Ra|w-b|=Rb返回上页下页例例(P263例例6.21)设 试验证辐角原理。证证故辐角原理成立。yx0z平面平面31 2 4z返回上页下页儒歇定理儒歇定理定理定理5.2(儒歇定理儒歇定理) 设C是周线，函数f(z)及g(z)满足： 在C内部解析并连续到C ； 在C上，|f(z)|g(z)|，则在C内部，f(z)与f(z)+g(z)的零点个数相同，即： N(f,C)=N(f+g,C)证证 用辐角原
27、理证明N(f,C)=N(f+g,C)Carg( f )= Carg( f+g)周线C在函数1+g/f 的像周线内部不含原点周线C在函数1+g/f 的像周线包含在不含原点的某圆盘内先证明可以用辐角原理，即在C上， f(z)与f(z)+g(z)非零在C上， |f(z)|g(z)| 所以f(z)非零 |f(z)+g(z)| 0|f(z)|-|g(z)|0 所以f(z)+g(z)非零返回上页下页儒歇定理儒歇定理证明续证明续 zC， |f(z)|g(z)|Cyx0z平面平面vu0w平面平面记1 2|w-1|=1即C在 的像都落在w平面的圆|w-1|=1内部或C的像不绕w平面的原点w=0所以返回上页下页儒
28、歇定理注解儒歇定理注解应用此定理时，只要估计和式在区域边界上模的值。组成和的两函数中,在边界上模大的函数零点数为和式函数的零点数。用于解决函数零点个数和分布问题。f(z)及g(z)选择的除满足定理中的条件外，还应保证f(z)的零点个数好计算。并注意：并注意：辐角原理也可求零点的个数，但儒歇定理更简单方便。注意，儒歇定理只是充分条件,而辐角原理为充分必要条件。不要忽略重根；多项式,特别是整数次幂函数的应用；常数的应用；零点阶的应用。返回上页下页例例(P267例例6.24)如果|a|e，求证方程ez=azn在单位圆|z|1内有n个根。证证 显然azn在单位圆|z|1内有n个零点z=0为n阶零点所以
29、取在边界|z|=1上，z=cos+isin 由儒歇定理azn-ez在|z|1内的零点的个数与azn相同，即n个，因此方程在单位圆|z|1内有n个根。例例(P268例例6.26) 证明方程z7-z3+12=0的根在圆环：1|z|2内。证证 显然只要证明：方程在|z|2内有7根，在|z|1内无根。在|z|1内,边界: |z|=1,12 所以，方程在|z|1内无根在|z|2内,边界: |z|=2, |z7|=27=128 z7在|z|2内以z=0为7阶零点, 所以，方程在|z|1+1= 12在|z|23+12=返回上页下页例例(P266例例6.23)p(z)=a0zn+a1zn-1+at-1zn-t
30、+1+at zn-t+at+1zn-t-1 +an(a00)，满足：|at|a0|+|a1|+|at-1|+|at+1| +|an|则p(z)在|z|1内有n-t个零点。证证 显然at zn-t在单位圆|z|a0|+|a1|+|at-1|+|at+1| +|an|g(z)|由儒歇定理f(z)+g(z)=p(z)在|z|1内的零点的个数 与f(z)=atzn-t相同，即n-t个返回上页下页可直接利用此例的结论判断一元高次方程在单位圆内的根的个数。如方程： 在|z|1+2+1=4,410例如w=ez的导数在z平面上任意一点不为零，返回上页下页留数计算留数计算：(一) 1，2，3 ，(二) 1(1,
31、2,3)，2，3，4，5R(sinx,cosx)： (一) 4， (二) 1(4)，6P/Q： (一) 5(1,2)， P/Qeimx： (一) 5(3,4)， (二) 1(5)有奇点：有奇点： (一) 6， P/Qlnx： (一) 8， 根式根式： (一) 7，9辐角原理辐角原理 ： (一) 12，13 (二) 7，8儒歇定理儒歇定理： (一) 10，11，14 (二) 9，10，11，12，13，14，15，16作业作业返回上页小小 结结留数的概念留数的概念柯西积分定理柯西积分定理求积分求积分复积分复积分实积分实积分一阶一阶二阶二阶其它其它零点、极点及对数留数零点、极点及对数留数幅角原理幅角原理儒歇定理儒歇定理留数的求法留数的求法c-1极点极点留数定理留数定理积分路径上有奇点的积分积分路径上有奇点的积分方程根的方程根的分布分布单叶解析单叶解析导数非零导数非零
