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1、选修4-1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质【知识梳理】【知识梳理】1.1.平行线等分线段定理平行线等分线段定理名称名称条件条件结论结论定理定理一组平行线在一条直线一组平行线在一条直线上截得的线段相等上截得的线段相等在其他直线上截得的在其他直线上截得的线段也线段也_推论推论1 1经过三角形一边的中点经过三角形一边的中点与另一边平行的直线与另一边平行的直线_第三边第三边推论推论2 2经过梯形一腰的中点经过梯形一腰的中点, ,且且与底边平行的直线与底边平行的直线_另一腰另一腰相等相等平分平分平分平分2.2.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理(1)(1)定理定理: :三条平行线截
2、两条直线三条平行线截两条直线, ,所得的所得的_成比例成比例. .(2)(2)推论推论: :平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )所得所得的对应线段的对应线段_._.对应线段对应线段成比例成比例3.3.相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质(1)(1)相似三角形的判定相似三角形的判定: :定义定义: :对应角对应角_,_,对应边对应边_的两个三角形叫做相似三角形的两个三角形叫做相似三角形. .预备定理预备定理: :平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边( (或两边的延长或两边的延长线线)_,)_,
3、所构成的三角形与原三角形所构成的三角形与原三角形_._.相等相等成比例成比例相交相交相似相似判定判定: :条件条件结论结论任意任意三角形三角形两角对应两角对应_两个三角两个三角形相似形相似两边对应两边对应_且夹角且夹角_三边对应三边对应_直角直角三角形三角形有一个锐角对应有一个锐角对应_两个直角两个直角三角形三角形相似相似两条直角边对应两条直角边对应_斜边和一条直角边对应斜边和一条直角边对应_相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例相等相等成比例成比例成比例成比例(2)(2)相似三角形的性质相似三角形的性质: :对应量的比值对应量的比值与相似比的关系与相似比的关系对应高、中线、角平分线、周长对
4、应高、中线、角平分线、周长, ,外接圆的直径、周长外接圆的直径、周长等于相似比等于相似比面积比、外接圆的面积比面积比、外接圆的面积比等于相似比的平方等于相似比的平方4.4.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理定理定理: :直角三角形斜边上的高是直角三角形斜边上的高是_的比例中项的比例中项; ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_._.两直角边在斜边上射影两直角边在斜边上射影比例中项比例中项【小题快练】【小题快练】1.(20151.(2015牡丹江模拟牡丹江模拟) )如图如图, ,正三角形正三角形ABCABC中中,D,E,D,E分别在分别在AC,AB
5、AC,AB上上, , AE=BE, AE=BE,则有则有( () )A.AEDBEDA.AEDBEDB.AEDCBDB.AEDCBDC.AEDABDC.AEDABDD.BADBCDD.BADBCD【解析】【解析】选选B.B.在正三角形在正三角形ABCABC中中, AE=BE, AE=BE,在在AEDAED与与CBDCBD中中,A=C,A=C,故故AEDCBD.AEDCBD.2.(20142.(2014广东高考广东高考) )如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, ,点点E E在在ABAB上且上且EB=2AE,ACEB=2AE,AC与与DEDE交于点交于点F,F,则则 = =
6、 . .【解析】【解析】显然显然CDFAEF,CDFAEF,则则答案答案: :3 33.(20153.(2015长沙模拟长沙模拟) )如图如图,D,D是是ABCABC中中BCBC边上一点边上一点, ,点点E,FE,F分别是分别是ABD,ACDABD,ACD的重心的重心,EF,EF与与ADAD交于点交于点M,M,则则 = =. .【解析】【解析】连接连接AE,AF,AE,AF,并延长交并延长交BCBC于于G,H.G,H.因为点因为点E,FE,F分别是分别是ABD,ACDABD,ACD的重心的重心, ,所以所以 =2, =2,所以所以EFGH,EFGH,所以所以 =2. =2.答案答案: :2 2
7、4.(20154.(2015中山模拟中山模拟) )如图如图, ,在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,BD,ADBC,BD与与ACAC相交于相交于O,O,过过O O的直线分别交的直线分别交AB,CDAB,CD于于E,F,E,F,且且EFBC,EFBC,若若AD=12,BC=20,AD=12,BC=20,则则EF=EF=. .【解析】【解析】由题意由题意ADEFBC,ADEFBC,则则AODCOB,AODCOB,则则则则 则则EO= EO= 同理同理FO=20 FO=20 则则EF=15.EF=15.答案答案: :1515考点考点1 1 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理【典例【
8、典例1 1】如图如图, ,将一块边长为将一块边长为1212的正方形纸的正方形纸ABCDABCD的顶点的顶点A A折叠至边上折叠至边上的点的点E,E,使使DE=5,DE=5,折痕为折痕为PQ,PQ,求求【解题提示】【解题提示】过点过点M M作平行线构造平行线段组作平行线构造平行线段组. .【规范解答】【规范解答】如图所示如图所示, ,过过M M作作MNADMNAD交交DCDC于于N,N,所以所以又因为又因为AM=ME,AM=ME,所以所以DN=NE= DE= .DN=NE= DE= .所以所以NC=NE+EC= +7= .NC=NE+EC= +7= .因为因为PDMNQC,PDMNQC,所以所以
9、【规律方法】【规律方法】平行线分线段成比例定理及推论的应用平行线分线段成比例定理及推论的应用(1)(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明利用平行线分线段成比例定理来计算或证明, ,首先要观察平行线组首先要观察平行线组, ,再确定所截直线再确定所截直线, ,进而确定比例线段及比例式进而确定比例线段及比例式, ,同时注意合比性质、等同时注意合比性质、等比性质的运用比性质的运用. .(2)(2)解决此类问题往往需要作辅助的平行线解决此类问题往往需要作辅助的平行线, ,要结合条件构造平行线组要结合条件构造平行线组, ,再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题再应用平行线分线段成比例定理
10、及其推论转化比例式解题. .【变式训练】【变式训练】如图如图,AD,AD平分平分BAC,DEAC,EFBC,AB=15cm,AF=4cm,BAC,DEAC,EFBC,AB=15cm,AF=4cm,求求BEBE和和DEDE的长的长. .【解析】【解析】如图如图, ,因为因为DEAC,DEAC,所以所以3=2.3=2.又又ADAD平分平分BAC,BAC,所以所以1=2.1=2.所以所以1=3,1=3,即即AE=ED.AE=ED.因为因为DEAC,EFBC,DEAC,EFBC,所以四边形所以四边形EDCFEDCF是平行四边形是平行四边形. .所以所以ED=FC,ED=FC,即即AE=ED=FC.AE
11、=ED=FC.设设AE=DE=FC=xcm.AE=DE=FC=xcm.由由EFBCEFBC得得 即即解得解得x x1 1=6,x=6,x2 2=-10(=-10(舍去舍去).).所以所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).【加固训练】【加固训练】如图如图,E,F,E,F是四边形是四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC上的两点上的两点,AE=CF,AE=CF,BE=DF,BEDF,AD=DC,BE=DF,BEDF,AD=DC,求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .【证明】【证明】因为因为DFBE,DFBE,
12、所以所以DFA=BEC.DFA=BEC.因为因为CF=AE,EF=EF,CF=AE,EF=EF,所以所以AF=CE.AF=CE.在在ADFADF和和CBECBE中中, ,因为因为DF=BE,DFE=BEF,AF=EC,DF=BE,DFE=BEF,AF=EC,所以所以ADFCBE(SAS),ADFCBE(SAS),所以所以AD=BC,AD=BC,所以所以DAC=BCA,DAC=BCA,所以所以ADBC,ADBC,所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .因为因为AD=DC,AD=DC,所以四边形所以四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .考点考点2 2 相似三角形的判定与
13、性质相似三角形的判定与性质【典例【典例2 2】如图如图,ABC,ABC中中,BAC=90,ADBC,BAC=90,ADBC交交BCBC于于点点D,D,若若E E是是ACAC的中点的中点,ED,ED的延长线交的延长线交ABAB的延长线于的延长线于F,F,求证求证: :【解题提示】【解题提示】利用利用DBFADF,RtABDRtCBADBFADF,RtABDRtCBA进行比例式的转进行比例式的转化证明化证明. .【规范解答】【规范解答】因为因为E E是是RtADCRtADC斜边斜边ACAC的中点的中点, ,所以所以AE=EC=DE.AE=EC=DE.所以所以EDC=ECD,EDC=ECD,又又ED
14、C=BDF,EDC=BDF,所以所以EDC=C=BDF.EDC=C=BDF.又又ADBCADBC且且BAC=90,BAC=90,所以所以BAD=C,BAD=C,所以所以BAD=BDF,BAD=BDF,所以所以DBFADF.DBFADF.所以所以又又RtABDRtCBA,RtABDRtCBA,因此因此所以所以【规律方法】【规律方法】证明相似三角形的一般思路证明相似三角形的一般思路(1)(1)先找两对内角对应相等先找两对内角对应相等. .(2)(2)若只有一个角对应相等若只有一个角对应相等, ,再判定这个角的两邻边是否对应成比例再判定这个角的两邻边是否对应成比例. .(3)(3)若无角对应相等若无
15、角对应相等, ,就要证明三边对应成比例就要证明三边对应成比例. .【变式训练】【变式训练】如图如图, ,在在ABCABC中中,BAC=90,AD,BAC=90,AD是是BCBC边上的高边上的高,E,E是是BCBC边上的一个动点边上的一个动点( (不与不与B,CB,C重合重合),EF),EFAB,EGAC,AB,EGAC,垂足分别为垂足分别为F,G.F,G.(1)(1)求证求证: :(2)FD(2)FD与与DGDG是否垂直是否垂直? ?若垂直若垂直, ,请给出证明请给出证明; ;若不垂直若不垂直, ,请说明理由请说明理由. .(3)(3)当当AB=ACAB=AC时时,FDG,FDG为等腰直角三角
16、形吗为等腰直角三角形吗? ?并说明理由并说明理由. .【解析】【解析】(1)(1)在四边形在四边形AFEGAFEG中中, ,因为因为FAG=AFE=AGE=90,FAG=AFE=AGE=90,所以四边形所以四边形AFEGAFEG为矩形为矩形, ,所以所以AF=EG.AF=EG.根据题意易证根据题意易证ADCEGC,ADCEGC,所以所以(2)FDDG.(2)FDDG.证明过程如下证明过程如下: :因为因为ABCABC为直角三角形为直角三角形,ADBC,ADBC,所以所以FAD=C.FAD=C.又由又由(1)(1)可知可知, ,所以所以AFDCGD,AFDCGD,所以所以ADF=CDG.ADF=
17、CDG.又又CDG+ADG=90,CDG+ADG=90,所以所以ADF+ADG=90,ADF+ADG=90,即即FDG=90,FDG=90,所以所以FDDG.FDDG.(3)(3)当当AB=ACAB=AC时时,FDG,FDG是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .理由如下理由如下: :因为因为AB=AC,BAC=90,AB=AC,BAC=90,所以所以AD=DC.AD=DC.又因为又因为AFDCGD,AFDCGD,所以所以 =1,FD=DG. =1,FD=DG.又又FDG=90,FDG=90,所以所以FDGFDG为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .【加固训练】【加固训练】已知已知ABCABC中
18、中,BFAC,BFAC于点于点F,CEABF,CEAB于点于点E,BFE,BF和和CECE相交于相交于点点P,P,求证求证: :(1)CPFBPE.(2)EFPBCP.(1)CPFBPE.(2)EFPBCP.【证明】【证明】(1)(1)因为因为BFACBFAC于点于点F,CEABF,CEAB于点于点E,E,所以所以BFC=CEB.BFC=CEB.又因为又因为CPF=BPE,CPF=BPE,所以所以CPFBPE.CPFBPE.(2)(2)由由(1)(1)得得CPFBPE,CPFBPE,所以所以又因为又因为EPF=BPC,EPF=BPC,所以所以EFPBCP.EFPBCP.考点考点3 3 直角三角
19、形中的射影定理直角三角形中的射影定理【典例【典例3 3】如图所示如图所示,CD,CD垂直平分垂直平分AB,AB,点点E E在在CDCD上上,DFAC,DFAC,DGBE,F,GDGBE,F,G分别为垂足分别为垂足. .求证求证:AFAC=BGBE.:AFAC=BGBE.【解题提示】【解题提示】利用射影定理表示出利用射影定理表示出AD,BD,AD,BD,再利用再利用AD=BDAD=BD证明证明. .【规范解答】【规范解答】因为因为CDCD垂直平分垂直平分AB,AB,所以所以ADC=BDC=90,AD=DB.ADC=BDC=90,AD=DB.在在RtADCRtADC中中, ,因为因为DFAC,DF
20、AC,所以所以ADAD2 2=AFAC.=AFAC.同理同理BDBD2 2=BGBE.=BGBE.所以所以AFAC=BGBE.AFAC=BGBE.【规律方法】【规律方法】对射影定理的理解和应用对射影定理的理解和应用(1)(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影. .(2)(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化要善于将有关比例式进行适当的变形转化, ,有时还要将等积式转化有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式为比例式或将比例式转化为等积式, ,并且注意射影定理的其他变式并且注意射影定理的其他变式. .(3)
21、(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用注意射影定理与勾股定理的结合应用. .【变式训练】【变式训练】如图如图, ,在在ABCABC中中,C=90,BAC,C=90,BAC的平分线的平分线ADAD交交BCBC边于边于D,D,求证求证: :【证明】【证明】过过C C作作ADAD的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,CEE,CE的延长线交的延长线交ABAB于于F,F,则由射影定理得则由射影定理得ACAC2 2=AEAD,=AEAD,过过E E作作EGBCEGBC交交ABAB于于G.G.因为因为CAD=BAD,AECF,CAD=BAD,AECF,所以所以CE=EF,CE=EF,所以所以BC=2EG,BC=2EG,所以所以【加固训练】【加固训练】如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中,CAB=90,ADBC,CAB=90,ADBC于于D,BED,BE是是ABCABC的平分线的平分线, ,交交ADAD于于F,F,求证求证: :【证明】【证明】由三角形的内角平分线定理得由三角形的内角平分线定理得, ,在在ABDABD中中, ,在在ABCABC中中, ,在在RtABCRtABC中中, ,由射影定理知由射影定理知,AB,AB2 2=BDBC,=BDBC,即即由由得得: :由由得得: :
