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1、2 2.3.2 .3.2 利用导数解不等式及参数利用导数解不等式及参数的取值的取值范围范围命题热点一命题热点二命题热点三利用导数证明不等式【思考】如何利用导数证明不等式?例1(2017全国,理21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)2-2.2命题热点一命题热点二命题热点三3命题热点一命题热点二命题热点三因为f(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2.所以e-2f
2、(x0)0,bR)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数解析式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.6命题热点一命题热点二命题热点三7命题热点一命题热点二命题热点三8命题热点一命题热点二命题热点三9命题热点一命题热点二命题热点三10命题热点一命题热点二命题热点三利用导数解与不等式恒成立有关的问题【思考】求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本方法有哪些?例2已知函数f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)设a=2,b= .
3、求方程f(x)=2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.11命题热点一命题热点二命题热点三12命题热点一命题热点二命题热点三13命题热点一命题热点二命题热点三14命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形.构造函数,借助函数的图象观察或参变分离,转化为求函数的最值问题来处理.如不等式f(x)g(x)恒成立的处理方法一般是构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min0;或分离参数,将不等式等价变形为ah
4、(x)或a1时,存在x0(0,+),使f(x0)=0,则f(x)在区间0,x0)内单调递减,在区间(x0,+)内单调递增,则当x0,x0)时,f(x)0,使得|g(x)-g(x0)|0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.18命题热点一命题热点二命题热点三当x(0,1)时,g(x)0,则(1,+)是g(x)的单调递增区间.所以x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,故最小值为g(1)=1.19命题热点一命题热点二命题热点三20命题热点一命题热点二命题热点三题后反思解决探索性问题的常用方法:(1)从最简单、最特殊的情况出发,有时也可借助直觉观察或判断,推测出
5、命题的结论,必要时给出严格证明.(2)假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推出矛盾,则结论不存在.(3)使用等价转化思想,找出命题成立的充要条件.21命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)= .已知曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值.(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由.(3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解：(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(
6、1,f(1)处的切线斜率为2,所以f(1)=2.22命题热点一命题热点二命题热点三23命题热点一命题热点二命题热点三24命题热点一命题热点二命题热点三25规律总结拓展演练1.无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.2.当利用导数求解含参数的问题时,首先,要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次,要灵活掌握各种解题方法和运算技巧,比如参变分离法,分类讨论思想和数形结
7、合思想等.当涉及函数的极值和最值问题时,一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因式,若能,则比较根的大小,并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数的大致图象;若不能,则考虑二次求导,研究函数是否具有单调性.26规律总结拓展演练 答案解析解析关闭 答案解析关闭27规律总结拓展演练2.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y= x垂直的切线,则实数m的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭28规律总结拓展演练3.若函数f(x)=2lnx+x2-5x+c在区间(m,m+1)内为减函数,则m的取值范围是. 答案解析解析关闭 答案解析关闭29规
8、律总结拓展演练4.已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)lnx,a1.(1)求f(x)的单调区间;(2)若g(x)=(2-a)x-lnx,f(x)g(x)在区间e,+)上恒成立,求a的取值范围.故f(x)在区间(0,+)上单调递增.若a-11,则1a2,则当x(a-1,1)时,f(x)0.故f(x)在区间(a-1,1)内单调递减,在区间(0,a-1),(1,+)内单调递增.30规律总结拓展演练若a-11,即a2,同理可得f(x)在区间(1,a-1)内单调递减,在区间(0,1),(a-1,+)内单调递增.31规律总结拓展演练5.(2017全国,理21)已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)0,求a的值;32规律总结拓展演练解: (1)f(x)的定义域为(0,+).所以f(x)在区间(0,a)单调递减,在区间(a,+)单调递增.故x=a是f(x)在区间(0,+)的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.33规律总结拓展演练34
