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1、10.6圆锥曲线的综合问题高考理数高考理数1.定点问题定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过取参数的不同特殊值,及对应的方程组的根的求解完成),即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关.2.定值问题(1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到一般结论.(2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:选择适当的变量;把要证明的定值的量表示成上述变量的函数;把定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值.3.最值问题求最值问题常见的方法有两种:(1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象性质来解决,特别要关注是用圆锥曲
2、线的定义和平面几何的有关结论来求最值.(2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数(通常为二次函知识清单数),再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等.4.存在性问题(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.5.求定值、最值、范围等圆锥曲线综合问题
3、的四重视(1)重视定义在解题中的作用;(2)重视平面几何知识在解题中的作用;(3)重视根与系数的关系在解题中的作用;(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.“定点”“定值”问题是圆锥曲线中常考题型,难度较大,注重知识点之间的联系与综合,更加注重对数学思想方法,尤其是函数思想,数形结合思想及分类讨论思想的考查.1.圆锥曲线中的定点、定值问题常用的解题方法(1)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值;(2)从特殊情况入手,求出定点或定值,再证明定点或定值与变量无关.2.求解定点问题的基本思路(1)把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把常量当作未知数,
4、将方程一端化为0,即化为kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把常量k当作未知数).(2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就得到一个关于x,y的方程组,即(3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足的点(x0,y0)为直线突破方法方法方法1圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题或曲线所过的定点.3.求解定值问题的基本思路(1)首先求出这个几何量或代数表达式;(2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式;(3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列
5、出方程k=g(m,n),代入y=f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常数)的形式.例例1(2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的平分线,证明直线l过定点.解析解析(1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,|O1M|=,又|O1A|=,=,化简得y2=8x(x0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(
6、0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.其中=-32kb+640.由根与系数的关系得,x1+x2=,x1x2=.因为x轴是PBQ的平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,整理得2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,将代入并化简得8(b+k)=0,k=-b,此时0,直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).1
7、-1(2015甘肃二模,20,12分)椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,过椭圆右焦点F且斜率为1的直线l截椭圆所得弦长为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A、B为椭圆长轴的两个端点,作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的直线PQ,与椭圆交于P、Q两点,若满足AFP=BFQ,求证:直线PQ恒经过一定点.解析解析依题意知l:y=x-c,又e=,所以椭圆C:+=1,联立得7x2-8cx-8c2=0,所以=,解得c=1,所以a=2,b=,于是椭圆C的方程为+=1.(5分)(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且直线PQ的方程为y=kx+m(k0),由(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
8、.所以x1+x2=-,x1x2=,(*)由AFP=BFQ,得kPF=-kQF+=0y1(x2-1)+y2(x1-1)=0,即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,将(*)式代入上式得2k+(m-k)-2m=0,化简得m=-4k.(10分)所以直线PQ的方程为y=k(x-4),所以直线PQ恒经过一定点(4,0).(12分)1.最值问题的求解方法(1)建立函数模型,利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值.(2)建立不等式模型,利用基本不等式求最值.(3)数形结合,利用相切、相交的几何性质求最值.2.求参数范围的常用方法(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利
9、用求函数值域的方法求解.(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数范围.(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的范围.(4)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.例例2(2012浙江,21,15分)如图,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(1)求椭圆C的方程;(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程.方法方法2圆锥曲线中的最值、参数范围问题圆锥曲线中的最值、参数范围问题解题导引解题导引(1)设F(-c,0),则=结合=,得c=
10、1,a=2椭圆方程(2)设lAB:y=kx+m(m0),与椭圆方程联立求AB中点M的坐标,由O,P,M共线求k及m将SABP表示成关于m的函数利用导数法求最值,得直线l的方程解析解析(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方程为y=kx+m(m0),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(*)则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,所以线段AB的中点M.因为M在直线OP上
11、,所以=,得m=0(舍去)或k=-.此时方程(*)为3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0,所以|AB|=|x1-x2|=.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设ABP的面积为S,则S=|AB|d=.其中m(-2,0)(0,2),令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m-2,2.u(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1-)(m-1+).所以当且仅当m=1-时,u(m)取到最大值.故当且仅当m=1-时,S取到最大值.综上,所求直线l的方程为3x+2y+2-2=0.2-1(2015辽宁抚顺二中测试)设点P在以F1、F2为左、右焦点的双曲线C:-=1(a0,
12、b0)上,PF2x轴,|PF2|=3,点D为右顶点,且|F1D|=3|DF2|.(1)求双曲线C的方程;(2)设过点F2的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且满足|OA|2+|OB|2|AB|2(其中O为原点),求直线l的斜率的取值范围.解析解析(1)由题意,得=3,a+c=3(c-a)且c2=a2+b2,解得a=1,b=,c=2,故双曲线C的方程为x2-=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由|OA|2+|OB|2|AB|2,得0AOB00x1x2+y1y20,显然,kAB=0不合题意;当ABx轴时,不妨令A在B的上方,则A(2,3),B(2,-3),=-5,也不合题意.故直
13、线l的斜率存在且不为零,设直线l的斜率为k,由消去y,整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,=(4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)0k20,x1+x2=,x1x2=.由x1x2+y1y20x1x2+k(x1-2)k(x2-2)0(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k20(1+k2)-2k2+4k20k23,故l的斜率的取值范围是.“存在性”问题是一类探索性问题,存在性问题的求解方法具有以下特点:(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.一般步骤为:假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在,用待定系数法设出;列出关于待定系数的方程(组);若方程(组
14、)有实数解,则曲线(或直线、点等)存在,否则不存在.(2)反证法和验证法也是求解存在性问题常用的方法.例例3(2012江西,20,13分)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l.问:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.解题导引解题导引(1),坐标化由|+|=方法方法3圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线中的存在性问题(+)
15、+2得关系式曲线C的方程(2)写出PA,PB,l的方程,并设l与y轴交于点F-1t0时,l与直线PA平行,不合题意t-1时,l与PA,PB的方程分别联立由D、E的横坐标之差及|FP|=-t得SPDE,SQAB的表达式由为常数求t解析解析(1)=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),则|+|=,(+)=(x,y)(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程:x2=4y.(2)假设存在点P(0,t)(t0)满足条件,则直线PA的方程是y=x+t,PB的方程是y=x+t.曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,设它与y轴的交点为F.因为-2x02,所以-11.当-1t0时,-1-.存
16、在x0(-2,2),使得=,即l与直线PA平行,故当-1t0时不符合题意.当t-1时,-1,所以l与直线PA,PB一定相交.分别联立得方程组解得D,E的横坐标分别是xD=,xE=,则xE-xD=(1-t),又|FP|=-t,则SPDE=|FP|xE-xD|=,SQAB=4=,于是=.对于任意x0(-2,2),要使为常数,即只需t满足解得t=-1,此时=2,故存在t=-1,使得QAB与PDE的面积之比是常数2.3-1(2015内蒙古呼伦贝尔一模,20)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点M,过点M作圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为A,B,|AB|=.(1)求抛物线E
17、的方程;(2)过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点.是否存在这样的k,使得抛物线E上总存在点Q(x0,y0)满足QHQG?若存在,求k的取值范围;若不存在,说明理由.解析解析(1)由已知得M,C(2,0).设AB与x轴交于点R,由圆的对称性可知,|AR|=.于是|CR|=,所以|CM|=3,即2+=3,所以p=2.故抛物线E的方程为y2=4x.(2)设H(x1,y1),G(x2,y2).由得ky2-4y+4k=0,由得-1k1且k0.y1+y2=,y1y2=4.kQH=,同理kQG=.由QHQG得=-1,即+y0(y1+y2)+y1y2=-16,+y0+20=0,=-800,得-k且k0,由-1k1且k0得k的取值范围为.
