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1、常系数非齐次线性微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有特解:第三步第三步 求原
2、方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程 均为 m 次多项式 .第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. 的一个特解 .解解: 本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解例例5. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为例例6.解解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐
3、次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1 . (填空) 设2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为作业作业P347 1 (1) , (6); 2 (2) , (4); 6
