Taylor展开式的惟一性定理展开式的惟一性定理定理 设定理 设 是是 D上的解析函数上的解析函数, 是是 D内的点，且在内的点，且在 内可展成幂级数内可展成幂级数则这个幂级数是则这个幂级数是 在在点的点的Taylor级数，即级数，即注注 这个定理为把函数展开成这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接级数的间接方法奠定了基础方法奠定了基础. 将函数展开成将函数展开成Taylor级数级数将函数展开为将函数展开为Taylor级数的方法级数的方法: :1. 直接方法直接方法; 2. 间接方法间接方法.1. 直接方法直接方法由由Taylor展开定理计算级数的系数展开定理计算级数的系数然后将函数然后将函数 f (z)在在z0 展开成幂级数展开成幂级数. 2. 间接方法间接方法 借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析结合解析函数的性质函数的性质, 幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导, 逐逐项项积分等积分等)和其它的数学技巧和其它的数学技巧 (代换等代换等) , 求函数求函数的的Taylor展开式展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简通常比直接展开更为简洁洁, 使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛 . 例例1 利用 利用并且收敛半径并且收敛半径同理同理本例利用直接方法也很简单本例利用直接方法也很简单以及以及可可 得得 和和 例例2 求 求 在在点邻域内点邻域内 的的Taylor级数级数. 解 解 是是的惟一奇点的惟一奇点, 且且 故收故收敛半径半径在在 中，用中，用z替换替换-z, 则则 逐项求导，得逐项求导，得 例例3 将 将 展开展开为z的幂级数的幂级数. 令令 则则 根据例根据例2，， 例例4 求对数函数的主值求对数函数的主值 在在z=0点点的的Taylor级数级数. 负实轴向左的射线的区域内解析负实轴向左的射线的区域内解析. 因因为 并且由并且由 有有 函数函数 在复平面中割去从点在复平面中割去从点-1沿沿 所以所以根据根据 ，把上式逐项积分，得，把上式逐项积分，得 例例5 将函数 将函数 在在处展开处展开 成成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围级数，并指出该级数的收敛范围. 当当 即即 时时, 。