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1、第二章第二章 数列极限数列极限2.1 数列极限的概念2.2 收敛数列的性质2.3 数列极限存在的条件1h2.1 数列极限的概念数列极限的概念一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法2h一、概念的引入一、概念的引入引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积SA1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , 显然n越大, An越接近于S 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势 3h2 2、截丈、截丈问题：“一尺之棰，日截其
2、半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”4h二、数列的定义例如例如5h注意：注意：1.数列数列对应着数着数轴上一个点列上一个点列.可看作一可看作一动点在数点在数轴上依次取上依次取2.数列是整数列是整标函数函数6h数列极限来自数列极限来自实践，它有丰富的践，它有丰富的实际背景背景. .我我们的祖的祖 先很早就先很早就对数列数列进行了研究，早在行了研究，早在战国国时期就有了期就有了极限的概念极限的概念 例例1 战国国时代哲学家庄周所著的庄子代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用天下篇引用过一句一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就也就是是说一根一尺一根一尺 长的
3、木棒，每天截去一半，的木棒，每天截去一半，这样的的过程程可以一直无限制的可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成行下去。将每天截后的木棒排成一列一列, 如如图所示所示, 三、数列的极限7h（c11(k)c11(k)） 其其长度度组成的数列成的数列为 , 024681000.20.40.60.81随着随着n 无限的增加无限的增加, 木棒的木棒的长度无限的度无限的趋近于零。近于零。 8h 例如 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则常数a称为数列xn的极限 或称数列xn收敛a 记为v数列极限的通俗定义9h问题: 当当 无限增大无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近
4、于某一确定的数确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学如何用数学语言言刻划它刻划它.通通过上面演示上面演示实验的的观察察:23h24h当n无限增大时 xn无限接近于a 当n无限增大时 |xna|无限接近于0 当n无限增大时 |xna|可以任意小 要多小就能有多小 当n增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意小的正数分析 因此 如果 n 增大到一定程度以后 |xna|能小于事先给定的任意小的正数 则当n无限增大时 xn无限接近于常数a 当n无限增大时 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a 则数列xn收敛a 下页25hv
5、数列极限的精确定义 设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |N目的：NO,NO,有些有些点在点在条形条形域外域外面！面！33hN 越来越小，N越来越大！34h数列极限的定数列极限的定义未未给出求极限的方法出求极限的方法.例例1证所以所以,注意：注意：35h分 析: 例1 证明 下页 0, NN 当nN时 有|xna| . 36h 利用定利用定义验证数列极限，有数列极限，有时遇到的不等式遇到的不等式|xna|不易考不易考虑，往往采用把，往往采用把|xna|放大的方法。放大的方法。若能放大到若能放大到较简单的式子，就的式子，就较容易从
6、一个比容易从一个比较简单的不等式去的不等式去寻找找项数指数指标N放大的原放大的原则： 放大后的式子放大后的式子较简单 放大后的式子以放大后的式子以0为极限极限例例 2 证明明证明明37h则当当n N时，有，有38h例例3. 证明明分析，要使分析，要使 （为简化，限定化，限定 n只要只要 证. 当当 n N 时有有由定由定义 适当予先限定适当予先限定 nn。是允。是允许的！但最后取的！但最后取 N 时要保要保证nn。39h. 例例4.证明明（K为正正实数）数）证：由于：由于所以所以对任意任意0，取，取N= , 当当 nN时, 便有便有 40h例例5证所以所以,说明明:常数列的极限等于同一常数常数
7、列的极限等于同一常数.小小结: 用定用定义证数列极限存在数列极限存在时,关关键是任意是任意给定定 寻找找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.41h例例6证42h例例7证43h 由上面数列极限的由上面数列极限的证明可明可总结出数出数列极限列极限证明的步明的步骤：2 2 适当放大适当放大 ，通常放大成，通常放大成 的形式的形式， 求出需要的求出需要的 1 化化简 3 3 解解 w总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 44h四四 收收敛的否定的
8、否定: 数列发散 45h五五 数列极限的数列极限的记註註:1 满足条件足条件 “ ”的数列的数列: 。2 改改变或去掉数列的有限或去掉数列的有限项, 不影响数列的不影响数列的收收敛性和极限性和极限. 重排不改重排不改变数列数列敛散性散性:46h3 数列极限的等价定数列极限的等价定义: 对 对任正整数任正整数47h六六 无无穷小数列小数列: w定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）w 命题1. 的极限为n 是无穷小量. 变量有极限的充要条件为它可分解为加一个无穷小量。命题2无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题3无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。命题448hv
9、小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法. 49h2.2 收敛数列的性质1、唯一性、唯一性2、有界性有界性3、保号性、保号性4、保不等式性、保不等式性5、四、四则运算运算6、迫、迫敛性性7、子数列的收、子数列的收敛性性50h1、唯一性、唯一性定理定理2.2 2.2 每个收每个收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限. .证由定由定义,故收故收敛数列极限唯一数列极限唯一.51h2、有界性有界性例如例如,有界有界无界无界52h定理定理2.3 2.3 收收敛的数列必定有界的数列必定有界. .证由定由定义,注意：注意：有界性是数列
10、收有界性是数列收敛的必要条件的必要条件.推推论 无界数列必定无界数列必定发散散. .53h例例1证由定由定义,区区间长度度为1.不可能同不可能同时位于位于长度度为1的的区区间内内.54h3保序性保序性55h56h从而 57h定理2.6 (收敛数列的保号性) 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)4 保号性保号性58h推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0) 这说明若数列明若数列 收收敛且极限不且极限不为零，零，则当当n充分大充分大时， 与与0的距离不能任意小的距离不能任意小.这一事一事实在后面在后
11、面讨论极限的四极限的四则运算运算时会用到会用到.59h证5 迫迫敛性性( 双逼原理双逼原理 )60h上两式同上两式同时成立成立,上述数列极限存在的准上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限可以推广到函数的极限61h例例2 2解解由由夹逼定理得逼定理得62h6 绝对值收收敛性性: ( 注意反之不成立注意反之不成立 ). 推推论 设数列数列 和和 收收敛, 则 63h7数列极限的四则运算法则定理2.8 设有数列xn和yn 如果那么64h例例5 求求例例4 求求解：解： 分 a=1， |a|1 三种情况 解解：（分子有理化）例例3 求求65h8、子数列的收、子数列的收敛性性注意：注意：例如，例如，
12、66h定理定理7 7 收收敛数列的任一子数列也收数列的任一子数列也收敛且极限相且极限相同同证证毕67h例例6对于数列于数列xn 证此此时有有68h此此时有有总之：之：恒有恒有69hTh ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 Th ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 子列子列 和和 收收敛于同一极限于同一极限. 的任何子列收的任何子列收敛 于同一极限于同一极限.Th ( 数列收数列收敛充要条件充要条件 ) 收收敛 子列子列 、都收都收敛. 和和 70h思考思考题证明明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有，必有 成立成立71h思考思考题解答解答（等价）（等价
13、）证明中所采用的明中所采用的实际上就是不等式上就是不等式即即证明中没有采用明中没有采用“适当放大适当放大” 的的值72h从而从而 时，仅有有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而反而缩小小为73hv 小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 不等式性; (6), 收敛数列与其子列的关系. 74h2.3 数列极限存在的条件数列极限存在的条件一 数列收数列收敛的一个充分条件的一个充分条件 单调有界原理有界原理 二二 数列收数列收敛的充要条件的充要条件 Cauchy收收敛准准则三三 关于极限关于极限 四 数列数列 单调有界有界
14、证法欣法欣赏 75h一一 单调有界原理有界原理定定义 称为单调上升的，若 称为单调下降的，若 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？76hMv定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 定理1的几何解释x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生 数列极限存在的条件77h数列极限存在的条件定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限 证明 78h例例1 设 证明数列 收敛. 例例2 例例3 (n重根号), 证明数列
15、 单调有界, 并求极限. 求 ( 计算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解 由均值不等式, 有 有下界; 79h注意到对 有 有 , 例4 1）证明序列 的极限存在； 2）求极限 80h解解 1） 因 时有 所以 即有 81h故序列 下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是 这表明序列 有下界。又 或 82h2） 因 所以 又 即得 83h二二 数列收数列收敛的充要条件的充要条件 Cauchy收收敛准准则1 Cauchy列：列： 如果数列具有以下特性：则称数列是一个基本数列.（ Cauchy列）列）2 Cauchy收收敛准准则：定理 数列 收敛的充要条件是：是一个基本数列.数列收敛或84h8
16、5h86h数列极限存在的条件定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1 x2 x3 x4 x5 87h 例例5 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列收敛. 其中 是中的数. 证 令 有 88h 89h90h91h92h三三. 关于极限关于极限 （证明留在下段进行.） 例例8 例例9 例例1093h四四 数列数列 证法一法一单调有界有界证法欣法欣赏: Cauchy (17891857 ) 最先给出这一极限，Riemann（18261866）最先给出以下证法一.设 用二项式展开，得 94h95h注意到 且比 多一项 即 . 96h有界. 综上, 数列单调有界.评註註: 该证法朴素而稳健, 不失大师风度.证法二法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有97h98h99h100h101h102h103h104hv 小结 (1), 单调有界定理; (2), 单调有界定理的几何意义; (3), 柯西收敛准则; (4), 柯西收敛准则的几何解释. 105h
