第一章 函数与极限习题

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1、第一章第一章函数与极限函数与极限【内容提要】【内容提要】1. 函数的定义与性质（1 1）常量与变量、区间与邻域）常量与变量、区间与邻域 常量就是在某变化过程中不变的量；而变量则是在某变化过程中变化的量。（2 2）函数的概念函数的概念 设有两个变量 x 和 y，D 为一非空数集，如果对于 D 内每一个数 x，变量 y 按一定的法则 f 总有唯一确定的值与之对应，则称y 是 x 的函数。记作 y=f(x)。数集 D 称为函数的定义域。（3 3）函数的表示法）函数的表示法 解析法、列表法、图象法。（4 4）函数的性质）函数的性质 有界性、奇偶性、单调性、周期性。2. 函数的极限（1 1）自变量趋于无

2、穷大时函数的极限）自变量趋于无穷大时函数的极限对于给定的任意小的正数，总存在一个正数 X，当|x|X 时，不等式| f (x) A |（A 是一个确定的常数）恒成立，则称常数A 为函数f (x)当x 时的极限，记作lim f (x) A或f (x) A(x )。x（2 2）自变量趋于有限值时函数的极限）自变量趋于有限值时函数的极限设函数 f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的无论多么小的正数，总存在一个正数，当0 | x x0|时，不等式| f (x) A |（A 是一个确定的常数 ） 恒 成 立 ， 则 称 常 数A为 函 数f (x)当x x0时 的 极 限 ， 记 作

3、l i m fx( )或 Axf x () A0x (。x)（3 3）极限存在定理）极限存在定理函数 f(x)在点x0极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在并且相等，即lim f (x) A lim f (x) lim f (x) Axxx0xx0（4 4）函数极限的性质）函数极限的性质定理 1（唯一性）若lim f (x)（或lim f (x)）存在，则它的极限是唯一的。xxx0定理 2（局部有界性）若lim f (x)存在，则在点x0的某一邻域内函数 f(x)有界。xx0定理 3（局部保号性）若lim f (x)=A，且 A0(或 A0(或 f(x)0)。推论 1 若lim f (x)

4、=A，且在点x0的某一去心邻域内恒有f (x) 0(或f (x) 0)，xx0则必有A 0(或A 0)。（5 5）无穷大与无穷小量）无穷大与无穷小量定理 5当x x0（或x ） ， 函数 f(x)以常数 A 为极限的充分必要条件是在该变化过程中，函数 f(x)可表示为 A 与一个无穷小的和。性质 1 在同一变化过程中，有限个无穷小量的和仍是无穷小量。性质 2 在同一变化过程中，有限个无穷小量的积仍是无穷小量。性质 3 在同一变化过程中，一个有界变量与一个无穷小量的积仍是无穷小量。（6 6）函数极限的运算法则）函数极限的运算法则定理 4 四则运算法则 若lim f (x) A，lim g(x)

5、B，则有xx0xx0lim( f (x) g(x) A B。xx0lim f (x)g(x) AB。xx0lim kf (x) kA。xx0limxx0f (x)A(B 0)。g(x)Ba0xma1xm1一般地，limxb xnb xn101a0b,当m nam1xam0=0,当m n。bn1xbn,当m n3. 两个重要极限（1）limsin x1。x0x1xx（2）lim(1) e。x4. 函数的间断与连续（1 1）函数连续性条件）函数连续性条件 函数连续的定义可知，函数在点x0处连续必须同时满足三个条件：函数 f(x)在点x0的处有定义。自变量x x0时函数 f(x)的极限存在。lim

6、f (x) f (x0)。xx0（2 2）函数间断点的类型）函数间断点的类型如果函数连续性的三个条件中， 任何一个得不到满足， 则称函数y fx在x x0处不连续。函数不连续点称为间断点。间断点可以按左、右极限是否存在进行分类，即：左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点。第一类间断点中，左、右极限相等的间断点，称为可去间断点。左、右极限至少有一个不存在的间断点，称为第二类间断点。（3 3）初等函数的连续性）初等函数的连续性定理 1 若函数 f(x)，g(x)在点x0的处都连续，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0的处连续。定理 2 设函数 u=(x)当x x0时极限存在且等于 a，

7、即lim(x) a，而函数xx0y f (u)在点 u=a 连续， 则复合函数y f (x)当x x0时的极限也存在且等于f(a),即lim f (x) f (a)。xx0定理 3 设函数 u=(x) 在点x0的处连续，而函数y f (u)在点u (x0)连续，则复合函数y f (x)在点x0的处连续。最后，我们可以得到总结：一切初等函数在其定义域内都是连续函数【习题解答】【习题解答】1-1 下列各题中的两个函数是否相同。（1）fx x，gx2x2；（2）fx lgx，gx 2lg x；x21（3）fx x1，gx。x1解 （1）不是，定义域不同； （2）不是，定义域不同； （3）不是，定义域

8、不同。1-2 求下列函数的定义域。（1）y alnbxcab 0；（2）y （3）y ln x1 1 x2；xx21；（4）y 1。x x解 （1）x c； （2）1,0b0,1；（3）xR； （4）x 0。1 x21-3 设fxx2x 0x 0，求f1, f0, f1, ff1。解f1 0，f01，f11-4 求下列函数的反函数。（1）y 31 x；（2）y 解 （1）y x31； （2）y 1，ff11。2axbad bx 0。cxdbdxcxaa x 。c1-5 当x 0时，下列函数与x相比是什么阶的无穷小量。（1）x sin x；（2）x 1000x；（3）ln12x。322x2sin

9、 xsin x 解 （1）lim limx10 1，所以是x的等价无穷小；x0x0xxx31000x2 limx21000x 0，所以是x的高阶无穷小；（2）limx0x0x（3）limln12x ，所以是x的低阶无穷小。x0xx12；（2）lim1；x0x3x31-6 求下列极限。（1）limx2x21x2（3）lim2；（4）lim；2x12x x3x01 1 x（5）limx01 1 x 33；（6）lim。3x11 x31 x2xx2解 （1）limx1211 lim；x2x3235（2）lim1x0225 lim 1；x3x0033x1x1x21x1（3）lim2 lim lim 0

10、；x12x x3x1x12x3x12x3（4）limx0x21 1 x2 limx0x21 1 x21 1 x21 1 x2 lim 1 1 x2 2；x0（5）limx01 x 313 lim 1；3x0202x311 x x2x2 x23（6）lim lim lim3x11 x3x11 x3x1x1 1 x x21 x1 x lim1-7 求下列极限。（1）limx0x21。x11 x xtan xsin xsin2x；（2）lim；x0xsin3xxsin xtan xsin x；（4）lim。3x0xsin xsin x（3）limx0解 （1）limtan xsin x tan xs

11、in x lim11 0；x0x0xxxsin2xsin2x3x222 lim11；x0sin3xx02xsin3x 333（2）limsin xxsin xx11 0；（3）lim limx0xsin xx0sin x111x11x 1sin1tan xsin x1cosx122cosx lim lim lim（4）lim。3222x0x0x0x0sin xsin xcosxsin xsin x81-8 求下列极限（1）lim1x122x022lim；（2）1x0xx2x2x； 2 x x1（3）lim；（4）lim。x0x02x1x12解 （1）lim1 lim1x0x01xx 22x1

12、x42 e4；x112（2）lim1x02xx121 lim1x01x22x e1；（3）lim1 2 x 1 lim 1x lim 1xx0x0x0222 xxx2x111x2 e1；2 x1 x12（4）lim lim lim 1x0x0x0x1x1x11 lim1x01x12 12x121 e2。1-9 请问a取何值时，下列函数在,内为连续函数。 sin x（1）fxx22a x xa（2）fx1cosxx2x0x 0x 0；x 0x 0。fx lim解（1）limx0sin x1，lim fx lim2a x2 2a，则2a 1，即x0x0xa 1；2x0x0fx lim（2）limx

13、a a，limfx limx01cosx11a ，即。2x0x221-10 试确定下列函数的间断点并说明类型。（1）y 1；x23x2x1x 1（2）y 。3 xx 1解 （1）x 1和x 2，可去间断点； （2）x 1，可去间断点。1-11 求下列极限。（1）lim(x131sin3x)；（2）；limx0x31x 1x 4 2x（3）limln(1 2x)1；（4）lim (1)x0xsin3xx；（5）lim(x2x 3x1)；（6）lim xln(x 2) ln x。x2x 1311 x x2x2 x23解 （1）lim lim lim3x11 x3x11 x3x1x1 1 x x21

14、 x1 x limx21。x11 x xsin3x lim（2）limx0x4 2x0（3）lim3xx4 2x4 2x4 2 limx03xx4 2x12；ln(12x)2x2 lim；x0x0sin3x3x3x1（4）lim(1)xx e1limx1xx ；1 lim1x11x24 311x2224（5）lim(x2x3x14) lim1x2x12x1x1 e2；2ln1x lim2 0。（6）lim xln(x2)ln x limxxxx2x1-12 证明方程x2 1至少有一个小于 1 的正根。证 略x【课外练习】【课外练习】一、单选题一、单选题1.函数f (x) 1 x的定义域是（ ）

15、1 xA.x 1B.x 1C.x 1D.-1 x 12.函数 y=|sin2x|的最小周期是（ ）A.2B. C.2D.4x21=（ ）3.lim2x1x 3x+2A.1B. 2C.-2D.不存在xcos, x 14.函数f (x) 的间断点是（ ）2x1, x 1A.x 1B.x 1C.x 0D.x 1或x 15.limxsin x=（ ） x1xA.1B.-1C.0D.6.lim13x（ ）x0A.eB.eC.eD.e7.331313lim1+3x( )x1xA.3232B.C.D.23238.函数y f (x)在x x0点处有定义是它在该点处连续的（ ）A.必要充分B.充分条件C.充要条

16、件D.无关条件9.函数f (x) x 1,0 x 1,在x 1处间断是因为（ ）2 x,1 x 3x1f (x)不存在A.f (x)在点x 1处无意义B.limf (x)不存在D.lim f (x)不存在C.limx1x110.lim(xsinx011sin x) （ ）xx2，则ff (3)（ ）x 1A.0B.1C.2D.不存在11. 若f (x) A.4576B.C.D.348512. 下列函数中，表达式为基本初等函数的是（ ） 2x2,x 0A.y By 2x cosx2x 1,x 0C.y xD.y sinx13. 若lim f (x) a（a 为常数） ，则函数f (x)在x0处（

17、 ）xx0A.有定义，且f (x0) aB.可以有定义，也可以没定义C.有定义，但f (x0)可以为a以外任何值 D.没有定义14. 当x 0时，函数sin1是（ ）xA.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.极限为 115. 当x +时，下列变量中与 x 相比为高阶无穷大量的是（ ）A.x 1B.ln(x 1)C.x sin x.e16. 若limxsin3x 2，则 k=（ ）x0kx123C.D.632A.6B.x23,x 317. 设f (x) 2,则lim f (x) （ ）x3x 3,x 3A.0B.-6C.6D.不存在18. 设f (x) x12x，则lim f(x) （ ）x0A

18、.eB.e19. 函数y 1212C.eD.e22x 3的连续区间是（ ）(x 1)(x 2)A.,2(2,1)(1,)B.3,)(1,)C.（-,-2) (-2,+)D.(,1)mx20.设f (x) (1kx) ,x 0,若f (x)在x 0处连续，则 a=（ ）a,x 0A.ekmB.ekmC.eD.ekm二、填空题二、填空题1.函数y 1x x 22ln(2x 7)的定义域是；22.已知f (x 1) x 2x，则f (x) ；5x42x21；3.lim5x7x 2x2 x 34.limsin5x sin2x；x0sin3xx 1x) ；x 15.lim(x6.limx0sin x；2

19、x x1；x 17.当x 0时，tan x sin x为 x 的阶无穷小量。8.limx1x 1 cos12x sin,x 09.设函数f (x) ，则 a=时lim f (x)存在。xx02a x .x 010. 当 a=( )时使函数f (x) a x,x 0，在 x=0 点连续。cosx,x 0三、计算及证明题三、计算及证明题1判断下列各对函数是否相同（1）f (x) x,g(x) 1x2（2）f (x) lnx ,g(x) 2ln x（3）f (x) x2,g(x) x2f (x) x 1,g(x) x1x1（4）2求下列极限（1）limx2x 1；x 3x22x 3（2）lim；x3

20、x 3（1-（3）limx02)；x 3x23（5）lim；x2x 2x21（6）lim2；x12x x 34x32x2 x（7）lim；2x03x 2xx23x 2（8）lim；2x11 x(x h)3 x3（9）lim；h0hxn1（10）lim（n 为正整数） ；x1x 1（11）lim2x 3；x6x 11000x；x1 x24（12）lim1+u3lim（13）u1u。3当x 0时，下列无穷小量与 x 相比，是什么阶的无穷小量（1）x 1000x（2）1+x 1 x（3）x sinx（4）（5）23x sin x(x 1)x34x（6）ln(12x) 3x 2,x 024设f (x)

21、=x 1,0 x 12,1 xx分别讨论x 0及x 1时 f(x)的极限是否存在。1，x 0x20,x 05设f (x) x22x,0 x 23x 6,2 x讨论x 0及x 2时，f (x)的极限是否存在？并求lim f (x)及lim f (x)。xx6若limx22x kx3x 3 4，求 k 的值。7若limx2ax bx11 x 5，求 a、b 的值。8若lim(x21xx 1ax b) 0，求 a、b 的值。9求下列极限。（1）limtan x sin xx0x；（2）limsin2xx0sin3x；limx sin x（3）x0x sin x。10求下列极限。（1）lim(12xx

22、)2x；（2）lim(12x21xx)；（3）lim(x 1xxx 1)。【课外练习【课外练习 参考答案】参考答案】一、单选题一、单选题1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.C11.B12.A13.B14.D15.C16.A17.D二、填空题二、填空题1.7,2.x24x 3223.04.15.e10.1三、计算及证明题三、计算及证明题1 略28.A9.D18.D19.A6.-17.高10.B20.D8.09.0（1)limx2x 1=0.2；x 3(x 3)(x 1)x22x 3 4；（2)lim=limx3x3x 3x 3（1-（3)limx025)=；x 33x23（4)lim= ；x

23、2x 2x21(x 1)(x 1)（5)lim2=lim 0；x12x x 3x1(x 1)(2x 1)4x32x2 xx(4x22x 1)4x22x 1（6)lim=lim lim 0.5；2x0x0x03x 2xx(3x 2)3x 2x23x 2(x 2)(x 1)=lim 0.5；（7)lim2x1x11 x(1 x)(1 x)(x h)3 x33x2h 3xh2h3222=lim（8)lim=lim(3x 3xh h ) 3x；hhh0hhxn1n1n2（9)lim=lim(x x. x 1) n；x1x1x 1（10)32x 3x1；lim=limx6x 1x136x21000100

24、0xlim=limx 0；2x1 xx11x2（11)（12)11441+u3uu 0。lim=limu1uu11u43.x31000x1000同阶无穷小；（1)limx0x（2)limx01 x 1 x1等价无穷小；xx sin x21等价无穷小；（3)lim x0x（4)limx0x sinx 低阶无穷小；x(x 1)x34x1同阶无穷小；（5)limx0x4（6)limln(1 2x) 2同阶无穷小；x0x2x0x0x 2) 2,lim( x 1)1,lim f (x)不存在4.lim(3x0limx122 2,lim(x 1) 2,lim f (x) 2。x1x1x2x0x 2x) 0

25、,lim5.lim(+x0x2x21 ,lim f (x)不存在，2x0x2x2x 6) 0,lim( x 2x) 0,lim f (x) 0，lim(3l i m10; l i m x ( 3 6 )。xx2x6.由x22x k (x 3)(x 1)(3k),k 3。7.由x2ax b (x 1)(x a 1)(ba 1) 0,ba 1 0,而x 1时x a 1 5,a 7,b 6。8.由x 1x 1ax ax bx bax b x 1x 1222x 1bax a bxx11x有x ax a b 0,即x(1a)(a b) 0，1a 0,a b 0,解出a 1,b 1。9.（1)limtan x sin xtan xsin xsin xsin x limlim limcosx lim11 0；x0x0x0x0x0xxxxxsin2x2sin2x2（2)lim lim2x；x0sin3xx0sin3x333xsinxx sinxx11 0。（3)lim limx0x sinxx0sinx111x110（1)lim(1x22x)x1 lim1xx22 x42 e4；x1221（2)lim(1) lim1xxxx22 x (1)21 11；lim 1 e1 exx22 11(2)x 1x2x21) lim (1)2 lim (1) e2。（3)lim(xx 1x1x1x 1x 1