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1、因子分析因子分析1 因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。 例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。1 引言引言2 但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，
2、对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为： 称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分 ，称为特殊因子。3注：注： 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；确的实际意义； 主成分分析与因子分析也有不同，主成分分主成分分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。型。 主成分分析主成分分析: :原始变量的线性组合表示新的原始变量的线性
3、组合表示新的综合变量，即主成分；综合变量，即主成分； 因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。的线性组合表示原始变量。4主成分分析和因子分析的条件主成分分析和因子分析的条件因子分析的前提是因子分析的前提是X1、X2Xn之间的相关性之间的相关性检验方法：检验方法：KMO样本测度：是简单相关系数平方和与样本测度：是简单相关系数平方和与偏相关系数平方和之差，偏相关系数平方和之差，0.7以上很合适，以上很合适，0.5以下不合适。以下不合适。巴特莱特球体检验：小于巴特莱特球体检验：小于可作因子分析。可作因子分析。偏相关系数是在排除了其他变量的影
4、响下计算变量间的相关系数。假设偏相关系数是在排除了其他变量的影响下计算变量间的相关系数。假设我们需要计算我们需要计算X和和Y之间的相关性，之间的相关性，Z代表其他所有的变量，代表其他所有的变量，X和和Y的偏相的偏相关系数可以认为是关系数可以认为是X和和Z线性回归得到的残差线性回归得到的残差Rx与与Y和和Z线性回归得到的线性回归得到的残差残差Ry之间的简单相关系数，即之间的简单相关系数，即pearson相关系数。相关系数。 5 2 因子分析模型因子分析模型 一、数学模型一、数学模型 设 个变量，如果表示为6 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个公
5、共因子包含的部分。并且满足：即不相关；即 互不相关，方差为1。7即互不相关，方差不一定相等， 。8二、二、 因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征 1. 1.因子载荷因子载荷a aijij的统计意义的统计意义 因子载荷 是第i个变量与第j个公共因子的相关系数 模型为 反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性，即表示Xi依赖Fj的份量，也表示第i个变量在第j 个公共因子上的载荷。绝对值越大，表明Xi与Fj相关的密切程度越高。9 2 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义定义：定义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。是m个公因子对第i 个变量的贡献。
6、记为统计意义统计意义：两边求方差 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。10 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义11 3 因子旋转（正交变换） 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。一、为什么要旋转因子一、
7、为什么要旋转因子12二、几种主要的正交旋转法：二、几种主要的正交旋转法：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。四次方最大法、方差最大法和等量最大法。方差最大法方差最大法 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一
8、部分的载荷趋于量拉开距离，一部分的载荷趋于 1 1，另一部分趋，另一部分趋于于0 0。13例：某地区人口资料如下：例：某地区人口资料如下：从主因子看从主因子看x1=0.581F1+0.806F2x1=0.581F1+0.806F2x2=0.767F1-0.545F2x2=0.767F1-0.545F2X3=0.672F1+0.726F2X3=0.672F1+0.726F2X4=0.932F1-0.104F2X4=0.932F1-0.104F2X5=0.791F1-0.558F2X5=0.791F1-0.558F2可见可见F1F1与与F2F2有一定相关关系。有一定相关关系。14旋转后旋转后F1F
9、1主要与主要与X2X2、X4X4、X5X5密切密切F2F2主要与主要与X1X1和和X3X3密切密切F1F1与与F2F2不相关，即为正交。不相关，即为正交。15 因子分析的数学模型为： 原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原变量的线性组合。 因子得分函数： 可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于pm，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。16 2、回归方法 17 5 因子分析的步骤 计算所选原始变量的相关系数矩阵计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判
10、断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 选择分析的变量选择分析的变量 用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强的相关性。一、 因子分析通常包括以下五个步骤18 提取公共因子提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因为
11、方差小于1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到85才能符合要求。 因子旋转因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。 19 计算因子得分计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析中的回归因子。 20 因子分析是十分主观的，在许多出版的资料中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有产生如此明确的结果。 如果在仔细检查因子分析的时候，研究人员能够喊出“哇，我明白这些因子”的时候，就可看着是成功运用了因子分析方法。21
