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1、高等数学（下）模拟试卷一一、一、 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）11z x yx y的定义域为（1）函数（2）已知函数z arctan20yzx，则x2yy2（3）交换积分次序，dyf (x, y)dx（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则(x y)ds L（5）已知微分方程y 2y3y 0，则其通解为二、选择题二、选择题（每空 3 分，共 15 分）x3y2z 1 0（1）设直线L为2x y10z 3 0，平面为4x2y z 2 0，则（）A.L平行于B.L在上C.L垂直于D.L与斜交（2）设是由方程xyz x2 y2 z22确定，则在点(1,0,1)处的dz
2、（）A.dx dyB.dx 2dyC.2dx 2dyD.dx 2dy222（3）已知是由曲面4z 25(x y )及平面z 5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（）A.22(x y )dv20dr3drdz0023502r25B.20dr3drdz0022250045C.20dr dr5dzD.，则其收敛半径（）0dr drdz（4）已知幂级数1A.2B.1C.2D.2xy 3y 2y 3x2eyy（5）微分方程的特解的形式为（）得分A.xxx(ax b)xe(axb)ceB.C.阅卷人D.(axb)cxe三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）x1y 2z 3x2y 1
3、zLL01且平行于直线2：211的平面方程1、 求过直线1:1zz22z f (xy ,x y)，求x，y2、 已知3、 设D (x, y) x y 4，利用极坐标求22x dxdyD24、 求函数f (x, y) e (x y 2y)的极值2x2x t sint(2xy3sin x)dx(x2ey)dy5、计算曲线积分L， 其中L为摆线y 1cost从点O(0,0)到A(,2)的一段弧xy1的特解xy y xe6、求微分方程满足x1四.解答题解答题（共 22 分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy22z x y，其中由圆锥面与上22z 2 x y半球面所围成的立
4、体表面的外侧(10)n1n(1)n13n12、 （1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛； （6）（2）在x(1,1)求幂级数n1nxn的和函数（6）高等数学（下）模拟试卷二一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分）4x y2z 22ln(1 x y )的定义域为；（1）函数（2）已知函数z e，则在(2,1)处的全微分dz ；xy（3）交换积分次序，e1dxlnx0f (x, y)dy2；（ 4 ） 已 知L是 抛 物 线y x上 点O(0,0)与 点B(1,1)之 间 的 一 段 弧 ， 则Lyds ；（5）已知微分方程y2y y 0，则其通解为.二选择题二选择题（每
5、空 3 分，共 15 分）x y3z 0（1） 设直线L为x y z 0， 平面为x y z 1 0， 则L与的夹角为 （） ；A.0B.2C.3D.4z33z 3xyz az f (x, y)（2）设是由方程确定，则x（） ；yzyzxzxy2222A.xy zB.z xyC.xy zD.z xy2xy 5y 6y xeyy（3）微分方程的特解的形式为（） ；2x2x2x2xA.(axb)eB.(ax b)xeC.(ax b)ceD.(ax b)cxe（4）已知是由球面x y z a所围成的闭区域,将三次积分为（） ；A2222dv在球面坐标系下化成a2020dsindr dr0a2B.20
6、20ddrdr02a0C.20ddrdr00aD.0dsindr2dr02n1nxn（5）已知幂级数n12，则其收敛半径（）.1A.2B.1C.2D.得分阅卷人2三计算题三计算题（每题 8 分，共 48 分）5、 求过A(0,2,4)且与两平面1: x2z 1和2: y 3z 2平行的直线方程 .zzxyz f (sin xcos y,e)，求x，y.6、 已知7、 设得分D (x, y) x y 1,0 y x，利用极坐标计算22arctanDydxdyx.22f (x, y) x 5y 6x10y 6的极值.8、 求函数9、 利用格林公式计算L(exsin y2y)dx(excos y2)
7、dy，其中222L为沿上半圆周(xa) y a , y 0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.3yy (x1)2x16、求微分方程的通解.四解答题解答题（共 22 分）1、 （1） （6）判别级数n1敛；(1)n12nsin3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收xn(1,1)（2） （4）在区间内求幂级数n1n的和函数 .2 、(12)利 用 高 斯 公 式 计 算z x2 y2(0 z 1)的下侧2xdydz ydzdx zdxdy，为 抛 物 面高等数学（下）模拟试卷三一一 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）1、 函数y arcsin(x3)的定义域为.(n2)2lim
8、22、n3n 3n2= .2y ln(1 x )，在x 1处的微分dy .3、已知4、定积分11(x2006sin x x2)dx 57 .dyy 2y x3x 0dx5、求由方程所确定的隐函数的导数 .二选择题（每空 3 分，共 15 分）x21y 2x 3x2的间断点1、x 2是函数（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡1 x2、积分= . (A) (B) (C) 0 (D) 1xy e x1在(, 0内的单调性是。3、函数10x2dx（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。4、1xsintdt的一阶导数为 .（A）sinx（B）sinx（C）
9、cosx（D）cos x5、向量a 1,1,k与b 2, 2, 1相互垂直则k .（A）3（B）-1（C）4（D）2三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）2x3x1)x2x11、求极限xsin xlimx32、求极限x0dyx3、已知y lncose，求dxlim(四计算题（4 小题，每题 6 分，共 24 分）t2x 2d2y21、已知y 1t，求dxx2、计算积分2cos xdx103、计算积分arctanxdx24、计算积分0五觧答题（3 小题，共 28 分）42y 3x 4x 1的凹凸区间及拐点。(8 )1、求函数2 x2dx 1x 01 xf (x) 21x 0f (x1)
10、dxx1(8 )1 e02、设求22y xy x所围图形的面积；(6)3、 （1）求由及（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)高等数学（下）模拟试卷四一一 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分）1y 1 x2x1、 函数的定义域为.02、eaxdx, a 0= .3、已知y sin(2x1)，在x 0.5处的微分dy .sin xdx11 x24、定积分= .143y 3x 4x 1的凸区间是 .5、函数二选择题（每空 3 分，共 15 分）x21y x1的间断点x 11、是函数（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡2、若 (A)1 (B)a (C)-1 (D)aa 0, f
11、(0) 0, f (0) 1,limx0f (ax)x=3、在0, 2内函数y xsin x是。（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。4、已知向量a 4, 3, 4与向量b 2, 2,1则ab为 .（A）6（B）-6（C）1（D）-3f (x0)为极值，y e5、已知函数f (x)可导，且0（C）0（D）（A）e（B）三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）f (x0)f (x)，则dydxxx0 .f (x )f (x0)1、求极限x0lim(1-kx)1cosx21kx2、求极限x0limsint2dtx sin x1x3、已知y e四
12、 计算题（每题 6 分，共 24 分）lnsindy，求dxdy1、设e xy 1 0所确定的隐函数y f (x)的导数dxyx0。2、计算积分3、计算积分arcsin xdx0sin3xsin5xdx3a x4、计算积分五觧答题（3 小题，共 28 分）3a0x22dx, a 03atx 1t22y 3at1t2，求在t 2处的切线方程和法线方程。1、(8)已知1lnalnb1(8 )a b 0aabb2、求证当时，3y x3、 （1）求由及y 0, x 2所围图形的面积；(6)（2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。(6)高等数学（下）模拟试卷五ln(x y)一一 填空题填空题z （每空
13、 3 分，共 21 分）y1函数的定义域为。x2已知函数z e2y2，则dz (1,0)。z3已知z exy，则x。2ds 224设 L 为x y1上点1,0到1,0的上半弧段，则L。5交换积分顺序1edxln x0f (x, y)dy 。(1)n6.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛？。7微分方程y sin x的通解为。二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）1函数z fx, y在点x0, y0的全微分存在是fx, y在该点连续的（）条件。A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要2平面1: x 2y z 1 0与2:2x y z 2 0的夹角为（） 。A6 B4 C2
14、 D3(x 5)nn3幂级数n1的收敛域为（） 。A4,6 B4,6 C4,6 D4,6y1(x)4设y1(x), y2(x)是微分方程y p(x)y q(x)y 0的两特解且y2(x)常数，则下列（）是其通解（c1,c2为任意常数） 。Ay c1y1(x) y2(x) By y1(x)c2y2(x)Cy y1(x) y2(x) Dy c1y1(x)c2y2(x)5zdv在直角坐标系下化为三次积分为 （） ，其中为x 3,x 0, y 3,y 0，3330333003z 0,z 3所围的闭区域。AD03dxdyzdz003003 Bdxdyzdz00 Cdxdyzdz3030dxdyzdz三计
15、算下列各题（共三计算下列各题（共21分，每题分，每题7分）分）z z,zln z e xy 0x y。1、已知，求x 1y 2z(1,0,2) 23的直线方程。2、求过点且平行直线122(x y )d22x y 4、y 0及y x所围的在第D3、利用极坐标计算，其中D 为由一象限的区域。四求解下列各题（共四求解下列各题（共20分，第分，第1题题8分，第分，第2题题12分）分）2x2(y e )dx (2xy 5x siny)dy1、利用格林公式计算曲线积分L，其中 L 为圆域D：x2 y2 4的边界曲线，取逆时针方向。2、判别下列级数的敛散性：(1)(1)n1n11n2(2)nnn13五、求解
16、下列各题（共五、求解下列各题（共23分，第分，第1、2题各题各8分，第分，第3题题7分）分）1f (x, y) x3y23x 3y 121、求函数的极值。dy y exy 2的特解。2、求方程dx满足x0x3、求方程y 2y8y 2e的通解。高等数学（下）模拟试卷六一、填空题一、填空题： （每题3分,共 21 分.）1函数z arccos(y x)的定义域为。2已知函数z ln(xy)，则zx2,1。3已知z sinx2 y2，则dz 。4设 L 为y x1上点(1,0)到0,1的直线段，则L2ds 。5将01dx1x20f (x2 y2)dy化为极坐标系下的二重积分。(1)n26.级数n1n
17、是绝对收敛还是条件收敛？。7微分方程y 2x的通解为。二、选择题选择题： （每题 3 分,共 15 分.）1函数z fx, y的偏导数在点x0, y0连续是其全微分存在的（）条件。A必要非充分， B充分， C充分必要， D既非充分，也非必要，xy2z 210与平面: x 2y z 3的夹角为（）2直线1。A6 B3 C2 D4l :xnn23幂级数n13 n的收敛域为（） 。A(3,3) B3,3 C(3,3 D3,3)*4. 设y (x)是 微 分 方 程y p(x)y q(x)y f (x)的 特 解 ，y(x)是 方 程y p(x)yq(x)y0的通解，则下列（）是方程y p(x)y q
18、(x)y f (x)的通解。*y(x) y (x)y (x)yy(x)A B C D(x) y(x)25z dvA在柱面坐标系下化为三次积分为 （） ，其中为x y z R的上半2222球体。2020drdrz2dz00RR B2020drdrz2dz00Rr Cddr0RR2r20z dz2 Ddrdr0RR2r20z2dz三、计算下列各题（共三、计算下列各题（共18分，每题分，每题6分）分）z z,3z 3xyz 5x y1、已知，求2、求过点(1,0,2)且平行于平面2x y 3z 5的平面方程。3、计算22(x y )dxdyD，其中 D 为y x、y 0及x 1所围的闭区域。四、求解
19、下列各题（共四、求解下列各题（共25分，第分，第1题题 7 7 分分, ,第第2题题8分，第分，第3题题10分）分）(x2 y)dx(xsiny)dy21、计算曲线积分L，其中 L 为圆周y 2x x上点(0,0)到(1,1)的一段弧。2、利用高斯公式计算曲面积分：，其中是由z 0,z 3,x2 y21所围区域的整个表面的外侧。xdydz ydzdx zdxdy3、判别下列级数的敛散性：n1n(1)(2)4 sinn(1)lnn3n2n1五、求解下列各题（共五、求解下列各题（共21分分, ,每题每题7分）分）1f (x, y) 3x2 6x y3 2y2131、求函数的极值。dy y exy1
20、的特解。2、求方程dx满足x03、求方程y5y 6y (x 1)e的通解。x高等数学（下）模拟试卷七一一 填空题填空题（每空 3 分，共 24 分）1z 2222(x y ) 25 x y1二元函数的定义域为21yt1yt35的通解为2一阶差分方程yz x3的全微分dz _4ydx xdy 0的通解为_zyx，则x_5设6微分方程y2y5y 0的通解为z arctan7若区域D (x, y) | x y 4，则222dxdy D1n8级数n02的和 s=二选择题：择题： （每题 3 分，共 15 分）1fx, y在点a,b处两个偏导数存在是fx,y在点a,b处连续的条件（A）充分而非必要（B）
21、必要而非充分（C）充分必要（D）既非充分也非必要2累次积分10dxx0f (x, y)dy改变积分次序为(A)（C）10dyf(x,y)dx01（B）10dyx01f(x,y)dx10dyy20f(x,y)dx（D ）10dy2f(x,y)dxy3xy5y6yxe3下列函数中，是微分方程的特解形式(a 、b 为常数)3x3xy(axb)eyx(axb)e（A ）（B）23x3xyx (axb)eyae（C）（D ）4下列级数中，收敛的级数是( 3)n( 1)nnn22n12n1n 1n 1n 1（A ）（B）（C）（D ）n 1nz222xyz4z5设，则xxxxx(A)z(B)2z(C)z2
22、(D)z得分三、求解下列各题三、求解下列各题（每题 7 分，共 21 分）xzz2zu lnv,而u,v3x4y,阅卷人y1. 设，求xy13nnn2n 12. 判断级数的收敛性3.计算xeD2y2dxdy22xy1所围， 其中 D 为区域四、计算下列各题四、计算下列各题（每题 10 分，共 40 分）1yylnxx1. 求微分方程的通解.2.计算二重积分Ixy dxdyD， 其中D是由直线yx,x1及x轴围成的平面区域.32f(x,y)yx6x 12y5的极值.3.求函数xn2nn44.求幂级数n 1的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题一、填空题： （每空 3 分，共 15
23、分）4xydx1f(x,y)dy220x(x,y)|xy0,xy0xy21、2、3、x3xyC eC e1224、5、二、选择题：二、选择题： （每空 3 分，共 15 分）1.C2.D3.C4A5.D三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解：A(1,2,3)s11,0,1s22,1,1 2in s1s2 12jk01 i 3 j k116平面方程为x3y z 2 082v x2y22、解： 令u xyzz uz vxu xv xzz uz vyu yv y3、解：D:0 2f1 y2 f22xy6f12xy f2x280 r 2，320232x dxdy r cosdrdDD
24、cos2dr3dr02482x2fx(x, y) e (2x2y 4y 1) 012x( , 1)fy(x, y) e (2y 2) 04解：得驻点24A fxx(x, y) e2x(4x4y28y4),B fxy(x, y) e2x(4y4),C fyy(x, y) 2e2x611f ( , 1) e22A 2e 0,AC B 4e 0极小值为228PQ 2x ,2yP 2xy3sin x,Q x ex5解：，有y曲线积分与路径无关2积分路线选择：L1:y 0, x从0，L2:x , y从0242(2xy 3sin x)dx(xLey)dy Pdx Qdy Pdx QdyL1L286解：3s
25、in xdx(2ey)dy 22e27002y11y ex P ,Q exxx2 P(x)dxdxdxP(x)dxxxxQ(x)edxCee edxC11通解为y e411exxdxC(x1)exCxx61xy (x1)e 1y1C 1x代入x1，得，特解为8四、解答题解答题1、解：22xzdydz yzdzdx z dxdy (2z z 2z)dv zdv4r3cossindrdd6方法一：原式方法二：原式20dcossind4020r3dr 121020drdr012r2rzdz 2r(1r2)dr 0210un1n1 3n11nnn1lim lim1 n1un (1)n3nn1nun33
26、n1n32、解： （1）令收敛，4n(1)n1n13绝对收敛。6n1（2）令s(x) nx xnxn1 xs1(x)nn1n1xn12x0s1(x)dx nxdx xnn10n1s(x) x(1 x)2xx1 s1(x) () 1 x1 x(1 x)25x(1,1)6高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题一、填空题： （每空 3 分，共 15 分）1、(x, y)| y 4x,0 x y 12、e dx2e dy3、2222210dyyf (x, y)dxee1(5 5 1)xy (C C x)e124、125、二、选择题：二、选择题： （每空 3 分，共 15 分）1.A2.B3.B4.
27、D5.A三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解：A(0,2,4)n11,0,2n20,1,32is n1n2 10jk02 2 i3 j k13xy 2z 4318直线方程为2xy2、解： 令u sin xcos yv e26zz uz v f1cosxcos y f2exyxu xv x6zz uz v f1(sin xsin y) f2exyyu yv y83、解：D:0 40 r 1，321yarctandxdy rdrd4drdr 00x648DDfx(x, y) 2x6 0fy(x, y) 10y 10 0得驻点(3,1)44解：A fxx(x, y) 2,B fx
28、y(x, y) 0,C fyy(x, y) 106A 2 0,AC B2 20 0极小值为f (3,1) 88xP e sin y 2y,5解：Q excos y 2，Q excos y,x2P excos y2,有y取A(2a,0),y 0, x从02a4QP()dxdy 2dxdy a2PdxQdyPdxQdyxyOADDL6Pdx Qdy222OAa原式a 0 a831P ,Q (x1)2x16解：2OA:通解为y e P(x)dxdxdxP(x)dxx1x12Q(x)edxC e(x1) edxC12131432 (x1)(x1) dxC (x1) (x1)2C38四、解答题解答题n1
29、un123lim lim1nnun3un (1)n12nsinn2nsinn3341、解： （1）令n2 sinn(1)n12nsinn3收敛，n13绝对收敛6n12n1sinxns(x) n1n（2）令nx1s (x) xn11 x，2n1nn1 s(x) s(x)dxs(0) ln(1 x)0x2、解：构造曲面1: z 1,上侧42xdydz ydzdx zdxdy 2xdydz ydzdx zdxdy120(211)dv 4dv 420drdr2dz81(1r2)rdr 20r11468I 22xdydz ydzdx zdxdy110 2dxdy Dxy12高等数学（下）模拟试卷三参考答
30、案一填空题一填空题： （每空 3 分，共 15 分）2210,0,X 1且x 01.；2.a；3.2dx；4.0；5.3或3二选择题：二选择题： （每空 3 分，共 15 分）1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.三计算题：三计算题：1. lim1kxx01(k)kx1kx2k4 ek22 2. limx01cosxsint2dtx3(sincos2x)(sin x) limx03x24 221lnsindy111 excos21dxxxsinx 3.四计算题：计算题：1lnsin11 2excotxxdydxyey x 03x0eyy y xy 02;x 0, y 01; 1.2.原式 x
31、arcsin xx11 x2x0；1d(1 x2)2dx2 xarcsin x 22 1 x232 xarcsin x 1 x2c3223220 3. 原式 4.原式(sin x) cosx dx(sin x) d sin x(sin x) dsin x3024153ad(3a2 x2)2 3a2 x230 3a2 x203a23a3a23a1。五解答题五解答题: :12112t46a12a11y ,t 2,k ,x , y ,切线:4x3y 12a 0 ,法线：3x-4y+6a=01t23552.1lnalnb12212设f (x) lnx,xb,a,a b 0 ,ln alnb (ab),
32、b a ,a2S 2x3dx2x4223.（1）04 40V 824 y3dy24y 35y382642y（2） 、0505高等数学（下）模拟试卷四参考答案一填空题一填空题： （每空 3 分，共 15 分）12121x61.2 x 4；2.3；3.dx；4.3；5.25y4。二选择题：二选择题： （每空 3 分，共 15 分）1.C；2.D；3.B；4.B；5.C。x32x332 lim13 13 3 2x125x2x111 limxx1三三1.2x 12x2x(2) e2312x1cosx2sin2x lim222 2.x03x2 lim21x03x26dy1(sinex)ex3 excot
33、ex3 3.dxcosex四2212 1.y 1t,d yt2dx2t t3 2；abb42.x2d sin x x2sin xsin x2xdx1012 x2sin x 2xcos x 2sin x c1201ln(1 x2)2 xarctan xxdx201 x42 3.242ln2221 4.x 2sint ,201sin2t22cost2costdtt 22。0五解答题五解答题y 12x312x2, y 36x224x,222x1 0,x2为拐点，3 2240、 ， 为凹区间，0，为33 1. 1.凸区间2.1,x 11211xf (x1),(2) dxdx(2) lnexx01e1x
34、1,x 11ex1ln(1e)2ln 2(2)102ln(1ex)10ln x1(2 ) 3.（1） 、103x324 22x x dx x 3031213122（2） 、Vxx x4dx01 x2x542503102高等数学（下）模拟试卷五参考答案一、填空题一、填空题： （每空 3 分，共 21 分）x2y2x2y2(x, y)x y, y 0dx2yedy122xe、，、，3、0,4、2，5、01dyeeyf (x, y)dx，6、条件收敛，7、y cosxc（c为常数） ，二、选择题：二、选择题： （每空 3 分，共 15 分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、B三、解：1、令F(x,
35、 y,z) ln z e xy1zFzyz xxFz1 zez4Fyzxz zyF1 zez71,2,322、所求直线方程的方向向量可取为x 1yz 2 237则直线方程为：13、原式四、解：1、令4 70dr3dr402P(x, y) y2 ex,Q(x, y) 2xy 5x sin2y,(DPQ 2y, 2y 5yx3原式QP)dxdyxy6 2082、(1)此级数为交错级数1n 1(n 1,2,)4故原级数收敛6(2)此级数为正项级数1因nlim1n 01，n1(n 1)2n113lim1n3n23n因4故原级数收敛62f (x, y) 3x 3 0，fy(x, y) 3 y 0得驻点(
36、1,3),(1,3)x1五、解： 、由2A fxx(1,3) 6,B fxy(1,3) 0,C fyy(1,3) 1在(1,3)处2AC B 0,，所以在此处无极值5因在(1,3)处A fxx(1,3) 6,B fxy(1,3) 0,C fyy(1,3) 12因AC B 0, A 0，所以有极大值f (1,3) 15282、通解y exedx cedx1dx3xx xe ce6yx0 c 2xy (x 2)e特解为83、1)其对应的齐次方程的特征方程为r2 2r 8 0有两不相等的实根r1 2,r2 42x4xy c e c e12所以对应的齐次方程的通解为（c1,c2为常数）*xy (x)
37、ae2)设其特解3将其代入原方程得5aex 2ex,a 252y*(x) ex56故特解3)原方程的通解为y c1ec2e2x4x2ex57高等数学（下）模拟试卷六参考答案一、一、填空题填空题： （每空 3 分，共 21 分）12222(x, y)x1 y x12xcos(x y )dx 2ycos(x y )dy,321、，2、，、20204、2 2，5、，6、绝对收敛，7、y x c（c为常数） ，二、选择题：二、选择题： （每空 3 分，共 15 分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D三、解：31、令F(x, y,z) z 3xyz 52df (r2)rdr1Fzyz x2xFzz
38、xy4Fyzxz 2Fzz xy6y2、所求平面方程的法向量可取为2,1,32则平面方程为：2(x 1) y 3(z 2) 0603、原式0136dx(x2 y2)dy1x4四、解：1、令原式P(x, y) x2 y,Q(x, y) (xsin y),121PQ 1yx3(x 0)dx(1siny)dy0065372、令P x,Q y,R z2 cos1原式(PQR)dvxyz57983、(1)此级数为交错级数1111 0因nlnn，lnnln(n 1)(n 2,3)4故原级数收敛5(2)此级数为正项级数1limn143lim1n34nsinn3因4故原级数发散52f (x, y) 4y y
39、0f (x, y) 6x 6 0yx五、解：1、由，得驻点(1,0),(1,4)3A fxx(1,0) 6,B fxy(1,0) 0,C fyy(1,0) 4(1,0)3dv4n1sin在处2AC B 0, A 0，所以有极小值f (1,0) 25因在(1,4)处A fxx(1,4) 6,B fxy(1,4) 0,C fyy(1,4) 42AC B 0,，所以在此处无极值7因2、通解y exe1dxdxcedx3x (xc)e5yx0c 1,xy (x1)e特解为71)对应的齐次方程的特征方程为r25r 6 0 ,有两不相等的实根r1 2,r2 33、2x3xy c e c e312所以对应的
40、齐次方程的通解为（c1,c2为常数）*xy (x) (ax b)e2)设其特解152ax3a2b x1,a ,b 24将其代入原方程得15y*(x) (x)ex624故特解3)原方程的通解为y c1e2x c2e3x15(x)ex247高等数学（下）模拟试卷七参考答案一填空题：一填空题： （每空（每空 3 3 分，共分，共 2424 分）分）2t3y C( ) y1yt(x, y)|0 x y 25yxdx x ln xdy351. 2. 3.22y 4.y Cx 5.1 x2y2 6.y ex(C1cos2x C2sin 2x)二选择题：二选择题： （每题（每题 3 3 分，共分，共 151
41、5 分）分） 1. D 2. D 3. B 4. C 5. B三求解下列微分方程（每题三求解下列微分方程（每题 7 7 分，共分，共 2121 分）分）zz uz v2x3x21.解：xu xv xy2ln(3x4y)(3x4y)y2zz uz v2x24x2yu yv yy3ln(3x4y)(3x4y)y23n12.解： limun1(n1)2n1xu limnx3n(5分)n2n321(6分)所以此级数发散(7分)3. 解：ex2y2dxdyD= 21r2 0d0e rdr(5分)= 21 02er210d(e1)(7分)四计算下列各题（每题四计算下列各题（每题 1010 分，共分，共 4
42、040 分）分）1.解：原方程的通解为y e1xdxln xe1xdxdx c(6分)=xln x1xdx C xln xd ln x C x1(ln x)2C(10分)288. 2(4 分)(7 分) 7.1x2. 解：x ydxdy=dxD 0 0x ydy(6分) 1 131x1=xyy2dx x2dx (10分) 0 02022fx(x, y) 2x6 03.解：得驻点(3， 2)和(3， -2)2f (x, y) 3y 12 0yfxx(x, y) 2, fxy(x, y) 0, fyy(x, y) 6y(4分)在点(3， 2)处，A=-2，B=0，C=12，AC B2=-240，且A0，1n24n lim 4n1(n1)24n1(10分)(6分)nx 4时幂级数变为1是收敛的p-级数2nn=1(-1)nx 4时幂级数变为2绝对收敛n=1nxn所以2n收敛域为-4， 4n1n 4(8分)(10分)
