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1、 2.3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律（Maxwell s law of distribution of speeds）一一 . 速率分布函数速率分布函数深入研究气体的性质，不能只研究一些平均值，深入研究气体的性质，不能只研究一些平均值，还应该进一步弄清分子按速率、还应该进一步弄清分子按速率、能量的能量的分布分布情况。情况。viNi0用分立数据描写：用分立数据描写： v1， v2 N1，N2 这种描写繁琐，规律性不强。这种描写繁琐，规律性不强。用连续的分布函数来描述：用连续的分布函数来描述：设：设：dNv为速率为速率v v +dv 区间内的分子数，区间内的分子数， 率区间内分子数占率区
2、间内分子数占N 为总分子数，为总分子数，则：则：令令即：即： 在在v 附近，单位速附近，单位速总分子数的比例总分子数的比例对一个分子而言，对一个分子而言，f(v)dv就是指它处在上述速度间隔中的概率。就是指它处在上述速度间隔中的概率。称称速率分布函数速率分布函数归一化条件归一化条件f(v) 概率密度概率密度麦克斯韦麦克斯韦James Clerk Maxwell (1831-1879) 1859年年麦麦克克斯斯韦韦导导出出了了理理想想气气体体在在无无外外场场的的平平衡衡态态（T）下下分子的分子的速率分布函数速率分布函数. . 二二. 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 （Maxwells la
3、w of distribution of velocities）vzvxvy0速度空间速度空间令令则分布于则分布于 附近小体积元附近小体积元内的分子数为：内的分子数为：的意义：的意义：速度速度附近，附近， 单位速度空间内的单位速度空间内的分子数占总分子数的比例。分子数占总分子数的比例。 在平衡态，容器内各处分子的平均数密度是均匀在平衡态，容器内各处分子的平均数密度是均匀的。依据这一事实，麦克斯韦提出：分子向任何方向的。依据这一事实，麦克斯韦提出：分子向任何方向运动的概率相等（各向同性）。按照这一假设，运动的概率相等（各向同性）。按照这一假设，应只决定于速度的大小，与其方向无关。即：它实际应只决
4、定于速度的大小，与其方向无关。即：它实际上是速率的函数，可以写成上是速率的函数，可以写成 麦克斯韦还假定，在任选的三个正交的方向上，麦克斯韦还假定，在任选的三个正交的方向上，三个分速度是独立的，三个分速度在各自的坐标轴上三个分速度是独立的，三个分速度在各自的坐标轴上的概率密度，只决定于这个分速度的大小，与其他分的概率密度，只决定于这个分速度的大小，与其他分速度无关。因速度分布是各向同性的，三个分速度的速度无关。因速度分布是各向同性的，三个分速度的概率密度必有相同的函数形式，可以写成概率密度必有相同的函数形式，可以写成只能是指数函数。只能是指数函数。 按照概率论，同时事件的概率应该是各独立事件按
5、照概率论，同时事件的概率应该是各独立事件概率的乘积。概率的乘积。 如果取如果取A为正数，则当速度增大时，分子数随之为正数，则当速度增大时，分子数随之增大，这样，分子总数将为无穷大。所以增大，这样，分子总数将为无穷大。所以A应为负数，应为负数，并令并令 是关于是关于vx的一维概率密度的一维概率密度，应满足归一化条件。，应满足归一化条件。 利用利用 根据求统计平均值的计算方法根据求统计平均值的计算方法 即即 由压强微观公式和理想气体状态方程曾得到由压强微观公式和理想气体状态方程曾得到 故故g(vx)vx0的函数形式相同的函数形式相同麦麦克斯韦速度分布函数克斯韦速度分布函数vzvxvy0dv速度空间
6、速度空间三三 . 麦斯韦速率分布函数麦斯韦速率分布函数 速率在速率在(v, v+dv)中这一事件，等价于速度（矢头）中这一事件，等价于速度（矢头）在两球面所夹区域中。在该区域中，速度有均匀的概率在两球面所夹区域中。在该区域中，速度有均匀的概率密度密度该区域的体积为该区域的体积为4 v2dv。因。因此分子的速率在此分子的速率在(v, v+dv)的的概率为概率为 (1) (2) 由由(1)、(2)可得可得f(v)。 f(v)0vpv v +dvT，m 一定一定vvp最概然速率最概然速率(most probable speed) f(v)0vp1m 一定一定vvp2T1T2 T1对同种气体（对同种气
7、体（m 一定）一定）思考思考 T 一一 定，定，m2 m 1，速率分布曲线如何？速率分布曲线如何？ （自己画出）。（自己画出）。 麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率概率的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小很小和和v 很大的概率都必然很小。很大的概率都必然很小。 麦克斯韦速率分布函数的另一种表示：麦克斯韦速率分布函数的另一种表示：令令则有：则有：例例1 O2，取取 即：速率为即：速率为790800m/s的分子数占总分子的分子数占总分子
8、数的比例为万分之数的比例为万分之2.58 。四四. 平均速率平均速率（average speed）分立：分立：连续：连续： vi v，Ni dNv=N f (v)dv，对麦氏速率分布有：对麦氏速率分布有：高斯积分高斯积分具有下列形式的定积分称为高斯积分具有下列形式的定积分称为高斯积分:(a0, n=1, 2, 3, )?误差函数误差函数 高斯积分是上下限固定的定积分，在概率论和统计高斯积分是上下限固定的定积分，在概率论和统计物理中常需要计算任意积分限的数值，人们建立了误差物理中常需要计算任意积分限的数值，人们建立了误差函数函数(error function)的概念，其定义为的概念，其定义为因不
9、能用常规的积分运算得到因不能用常规的积分运算得到erf(x)的表示的表示 式，只能在式，只能在给定给定x数值后，通过数值计算得到数值后，通过数值计算得到erf(x)的数值。的数值。xerf(x)xerf(x)xerf(x)001.00.84272.00.99530.20.22271.20.91032.20.99810.40.42841.40.95232.40.99930.60.60391.60.97632.60.99980.80.74211.80.98912.80.9999例例2 对于一个经典气体系统，证明速率小于最概然速率对于一个经典气体系统，证明速率小于最概然速率的分子数占总分子数的比率与
10、温度无关，并计算这一比的分子数占总分子数的比率与温度无关，并计算这一比率率。解：解： 依题意，系统中分子的速率分布可以表示为依题意，系统中分子的速率分布可以表示为因为最概然速率因为最概然速率则上述速率分布又可以表示为则上述速率分布又可以表示为令令t=v/vp，则速率，则速率v附近区间附近区间dv内的分子数可以表示为内的分子数可以表示为速率小于一确定值速率小于一确定值v0的分子数为的分子数为对于对于，速率小于最概然速率的分子数占为总分子数的比率速率小于最概然速率的分子数占为总分子数的比率与温度无关。与温度无关。例例3 试求在标准状况下氮分子速度的试求在标准状况下氮分子速度的x分量在分量在0 800 m/s的的分子数占全部分子数的百分比分子数占全部分子数的百分比。解：解： 首先求出首先求出273K时氮气分子的最概然速率时氮气分子的最概然速率令令，则，则查表得查表得erf(2)=0.9953，故这种分子所占百分比为，故这种分子所占百分比为
