《132杨辉三角与二项式系数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《132杨辉三角与二项式系数的性质（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习二项式定理(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1= Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= C
2、nm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+杨辉三角杨辉三角九九章章算算术术杨杨辉辉详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表杨辉三角杨辉三角二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得
3、到图象的对称轴：图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质增减性与最大值增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定二项式系数的性质二项式系数的性质由由： 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，由的，由对称性可知它的对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 可知，当可知，当 时，时，二项式系数的性质二项式系数的性质增减性与最大值增减性与最大值 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时
4、, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 特值法特值法1.(
5、 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( )(A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD练习4或5-2-10941093练习变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？解(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。小结小结两个计数原理两个计数原理两个计数原理两个计数原理排列，排列数公式排列，排列数公式排列，排列数公式排列，排列数公式组合，组合数公式组合，组合数公式组合，组合数公式组合，组合数公式二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理应用应用应用应用
