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1、第三部分第三部分 专专 题题 探探 究究数学 九年级 全一册 配人教版专题五专题五 动点问题专题动点问题专题考点突破考点突破考点一考点一: :二次函数中的动点问题二次函数中的动点问题【例1】 （2019黄冈）如图3-5-1，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-2,2)，B(-2,0)，C(0,2)，D(2,0)四点，动点M以每秒2个单位长度的速度沿BCD运动 (M不与点B，点D重合），设运动时间为t（s). （1）求经过A,C,D三点的抛物线的解析式； （2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM，求点P的坐标；（3）如图3-5-1,当M在CD上运动时过点M作MFx轴，垂
2、足为F，MEAB，垂足为E设矩形MEBF与BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.解：（解：（1 1）设抛物线的解析式为）设抛物线的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c. +bx+c. 将点将点A A(-2,2),C(0,2),D(2,0)(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入，代入，得得 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=- xy=- x2 2- x+2. - x+2. （2 2）PAMPBMPAMPBM， PA=PB PA=PB，MA=MB. MA=MB. 点点P P为为ABAB的垂直平分线与抛物线的交点的垂直平分线与抛物线的交点. . AB=
3、2AB=2，点点P P的纵坐标是的纵坐标是1. 1. 1=- +2. 1=- +2. 解得解得x=-1+ x=-1+ 或或x=-1- . x=-1- . P(-1- ,1)P(-1- ,1)或或P(-1+ P(-1+ ，1).1).（3 3）CM= t-2 CM= t-2 ，MG= CM=2t-4MG= CM=2t-4， MD=4 -(BC+CM)=4 -(2 + t-2 )MD=4 -(BC+CM)=4 -(2 + t-2 )=4 - t=4 - t，MF= MD=4-tMF= MD=4-t， BF=4-4+t=t. BF=4-4+t=t. S= S= (GM+BF)(GM+BF)MF= M
4、F= (2t-4+t)(2t-4+t)(4-t)=- (4-t)=- t t2 2+8t-8=-+8t-8=-当当t= t= 时，时，S S有最大值，最大值为有最大值，最大值为 . .变式诊断变式诊断1. 如图3-5-2，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点
5、M到达点B时，点M,N同时停止运动，问点M,N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积解：（解：（1 1）将）将A(1,0)A(1,0)和和C(0,3)C(0,3)代入代入y=xy=x2 2+bx+c,+bx+c,得得 二次函数的表达式为：二次函数的表达式为：y=xy=x2 2-4x+3.-4x+3.（2 2）令）令y=0y=0，则，则x x2 2-4x+3=0-4x+3=0，解得，解得x=1x=1或或x=3x=3，B(3,0).BC=3 B(3,0).BC=3 ，点，点P P在在y y轴上，轴上，当当PBCPBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如答图为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如
6、答图3-5-23-5-2，当当CPCP1 1=CB=CB或或CPCP2 2=CB=CB时，时，P P1 1C=PC=P2 2C=3 C=3 ，OPOP1 1=OC+P=OC+P1 1C=3+3 C=3+3 或或OPOP2 2=P=P2 2C-OC=3 -3.C-OC=3 -3.PP1 1(0,3+3 )(0,3+3 )，P P2 2(0,3-3 ).(0,3-3 ).当当BPBP3 3=BC=BC时，时，OPOP3 3=OB=3=OB=3，PP3 3(0,-3).(0,-3).当当P P4 4B=PB=P4 4C C时，时，OC=OB=3,OC=OB=3,此时此时P P4 4与与O O重合，重
7、合，PP4 4(0,0).(0,0).综上所述，点综上所述，点P P的坐标为的坐标为(0,3+3 )(0,3+3 )或或(0,3-3 )(0,3-3 )或或(0,-3)(0,-3)或或(0,0).(0,0).（3 3）如答图）如答图3-5-33-5-3，设点，设点A A运动时间为运动时间为t t，由，由AB=2AB=2，得，得BM=2-tBM=2-t，则，则DN=2tDN=2t，SSMNBMNB= = (2-t)(2-t)2t=-(t-1)2t=-(t-1)2 2+1+1，当当t=1t=1时，时，S SMNBMNB有最大值为有最大值为1.1.即当即当M(2,0),N(2,2)M(2,0),N(
8、2,2)或或N(2,-2)N(2,-2)时时,MNB,MNB面积最大，面积最大，最大面积是最大面积是1 1考点突破考点突破考点二考点二: :动点与面积问题动点与面积问题【例2】如图3-5-3，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数y （x0，k0） 的图象经过线段BC的中点D. （1）求k的值； （2）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PRy轴于点R，作PQBC所在的直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围. 解：（解：（1 1）正方形正方形OA
9、BCOABC的边的边OAOA，OCOC分别在分别在x x轴轴,y,y轴轴上，点上，点B B的坐标为（的坐标为（2 2，2 2），）， C C（0 0，2 2）. . D D是是BCBC的中点，的中点， D D（1 1，2 2）. . 反比例函数反比例函数y y （x x0 0，k0k0）的图象经过点）的图象经过点D D， k=2. k=2. （2 2）点点P P（x x，y y）在该反比例函数的图象上运动，）在该反比例函数的图象上运动， y= y= 当点当点P P在直线在直线BCBC的上方，即的上方，即0 0x x1 1时，时，如答图如答图3-5-13-5-1， SS四边形四边形CQPRCQP
10、R=CQ=CQPQ=xPQ=x =2-2x =2-2x（0 0x x1 1）. . 当点当点P P在直线在直线BCBC的下方，即的下方，即x x1 1时时, ,如答图如答图3-5-1, 3-5-1, SS四边形四边形CQPRCQPR=CQ=CQCRCR=x=x =2x-2 =2x-2（x x1 1）. . 综上所述，综上所述，S=S=变式诊断变式诊断2. 如图3-5-4，在平面直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3. 动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动. 当两个动点运动
11、了x s（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由. 解：（解：（1 1）根据题意，得）根据题意，得MA=xMA=x，ON=1.25xON=1.25x， 在在RtOABRtOAB中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OB=5OB=5，如答图如答图3-5-4,3-5-4,过点过点N N作作NPOANPOA于点于点P,P,则则NPABNPAB，OPNOAB.OPNOAB.
12、解得解得OP=xOP=x，PN= x.PN= x.点点N N的坐标是的坐标是 （2 2）如答图）如答图3-5-43-5-4，在，在OMNOMN中，中，OM=4-xOM=4-x，OMOM边边上的高上的高PN= xPN= x，S= OMS= OMPN= PN= （4-x4-x） x= x= x x2 2+ x. + x. SS与与x x之间的函数表达式为之间的函数表达式为S=S= x x2 2+ x+ x（0 0x x4 4）. .当当x=2x=2时，时，S S有最大值，最大值是有最大值，最大值是 . . （3 3）存在某一时刻，使）存在某一时刻，使OMNOMN是直角三角形是直角三角形. .理由如
13、理由如下，分两种情况：下，分两种情况：若若OMN=90OMN=90，如答图，如答图3-5-4,3-5-4,则则MNABMNAB，此时，此时OM=4-xOM=4-x，ON=1.25x. ON=1.25x. MNABMNAB，OMNOAB. OMNOAB. 解得解得x=2.x=2.若若ONM=90ONM=90，如答图，如答图3-5-4,3-5-4,则则ONM=OABONM=OAB，此时此时OM=4-xOM=4-x，ON=1.25x.MON=BOAON=1.25x.MON=BOA，OMNOBA.OMNOBA. 解得解得x= .x= .综上所述综上所述,x,x的值是的值是2 2或或 基础训练基础训练3
14、. （2019鄂州）如图3-5-5，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，AB=4，交y轴于点C，对称轴是直线x=1（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q设运动时间为t(t0) s若AOC与BMN相似，请直接写出t的值.解：（解：（1 1）点点A,BA,B关于直线关于直线x=1x=1对称，对称，AB=4,AB=4,A(-1,0),B(3,0).A(-1,0),B(3,0).将点将点A,
15、BA,B的坐标代入的坐标代入y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c中，中，得得 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.CC点坐标为点坐标为(0,3).(0,3).（2 2）设直线）设直线BCBC的解析式为的解析式为y=mx+n.y=mx+n.将点将点B B，C C的坐标代入，有的坐标代入，有 解得解得 直线直线BCBC的解析式为的解析式为y=-x+3.y=-x+3.点点E,FE,F关于直线关于直线x=1x=1对称，对称，又又点点E E到对称轴的距离为到对称轴的距离为1 1，EF=2.EF=2.点点F F的横坐标为的横坐标为2.2.将将x=2
16、x=2代入代入y=-x+3y=-x+3中，中，得得y=-2+3=1.F(2,1).y=-2+3=1.F(2,1).（3 3）如答图）如答图3-5-53-5-5，MN=-4tMN=-4t2 2+4t+3+4t+3，MB=3-2t MB=3-2t AOCAOC与与BMNBMN相似，则相似，则 即即 解得解得t= t= 或或- - 或或1 1t=1.t=1.拓展提升拓展提升4. 如图3-5-6，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3)，点C与点D关于抛物线的对称轴对称（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以P
17、D，PB为边作 PDNB，是否存在这样的点P，使得 PDNB是矩形？若存在，请求出tanBDN的值；若不存在，请说明理由；（3）点Q在y轴右侧抛物线上运动，当ACQ的面积与ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标解：（解：（1 1）把）把B(3,0),C(0,3)B(3,0),C(0,3)代入代入y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c中，中，得得 解得解得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.（2 2）y=-xy=-x2 2+2x+3=-(x-1)+2x+3=-(x-1)2 2+4,+4,抛物线对称轴为直线抛物线对称轴为直线x=1.x=1.设点设点
18、P P的坐标为的坐标为(1,n).(1,n).如答图如答图3-5-6,3-5-6,连接连接CD,CD,交对称轴于点交对称轴于点E.E.设对称轴与设对称轴与x x轴轴的交点为的交点为F.F.CE=1,PE=3-n,PF=n,BF=2.CE=1,PE=3-n,PF=n,BF=2.四边形四边形PDNBPDNB为矩形，为矩形，BPD=90BPD=90.DPE+BPF=90.DPE+BPF=90. .DPE+PDE=90DPE+PDE=90, ,PDE=BPF.PDE=BPF.DEP=BFP=90DEP=BFP=90,PDEBPF.,PDEBPF. 解得解得n=1n=1或或2.2.当当n=1n=1时，时，tanBDN=tanBDN=当当n=2n=2时时,tanBDN=,tanBDN=tanBDNtanBDN的值为的值为1 1或或 . .（3 3）点）点Q Q的坐标为的坐标为 或或(4,-5)(4,-5)
